GRD建模及内插

1、模型内插概述模型内插概述模型整体内插方法模型整体内插方法模型分快内插模型分快内插方法方法模型逐点移面内插模型逐点移面内插方法方法模型内插的效率问题模型内插的效率问题第五讲、第五讲、 DEMDEM表面内插方法表面内插方法基于内插的基于内插的GRD模型生成模型生成DEMDEM地形表面重建的数学机理地形表面重建的数学机理一、一、DEMDEM地形表面重建的数学机理地形表面重建的数学机理二维平面的规则镶嵌数据模型：二维平面的规则镶嵌数据模型： 用规则的小面块集合来逼近不规则分布的地形表面。用规则的小面块集合来逼近不规则分布的地形表面。二维平面的不规则镶嵌数据模型：二维平面的不规则镶嵌数据模型： 用相互关

2、联的不规则形状与边界的小面块集合来逼近不规则用相互关联的不规则形状与边界的小面块集合来逼近不规则分布的地形表面。分布的地形表面。（-回顾：二维平面的镶嵌数据模型）回顾：二维平面的镶嵌数据模型）一、一、DEMDEM地形表面重建的数学机理地形表面重建的数学机理DEMDEM实现地形起伏的数字化表示，其对地形的模拟程度取决于实现地形起伏的数字化表示，其对地形的模拟程度取决于地形地形采样点的分布、地形的空间分布特征采样点的分布、地形的空间分布特征以及以及模拟方法模拟方法。三维空间分布的地形常借助三维空间分布的地形常借助二维空间建模二维空间建模来描述来描述（如等高线地形图），（如等高线地形图）， 函数形式

3、：函数形式： H H f (xf (x，y)y)但但单值光滑连续的单值光滑连续的函数难以表征各种不满足单值光滑连续函数条件的函数难以表征各种不满足单值光滑连续函数条件的特征地貌如断裂线、绝壁、尖峰等。特征地貌如断裂线、绝壁、尖峰等。局部化局部化： 借助二维平面的借助二维平面的镶嵌数据模型镶嵌数据模型将复杂的地形曲面按某种法则分割将复杂的地形曲面按某种法则分割划分成满足划分成满足单值、连续的单值、连续的局部地形表面。局部地形表面。 数字高程模型实质就是一个数字高程模型实质就是一个分片分片的曲面（平面）模型，的曲面（平面）模型，数学特征有两点：数学特征有两点： 单值性单值性（2.52.5维）、维）

4、、表面连续但不一定表面连续但不一定光滑光滑。DEMDEM表面重建通用多项式表面重建通用多项式独立项独立项 项次项次表面性质表面性质项数项数Z = a0 0平面平面1 + a1X + a2Y 1线性线性2 + a3XY + a4X2 + a5Y2 2二次抛物面二次抛物面3 + a6X3 + a7Y3 + a8X Y2 + a9X2 Y 3三次曲面三次曲面4 + a10X4 + a11Y4 + a12X3Y + a13X2Y2+ a14XY3 4四次曲面四次曲面5 + a15X5 + a16Y5 + 5五次曲面五次曲面6 某一特定建模程序在建立实际表面时，一般只使用函数中的其某一特定建模程序在建立

5、实际表面时，一般只使用函数中的其中几项，并不一定需要这个函数中的所有各项，而某一项的选择由中几项，并不一定需要这个函数中的所有各项，而某一项的选择由系统设计者或实现者决定。只有在极少数情况下，才有可能由用户系统设计者或实现者决定。只有在极少数情况下，才有可能由用户决定使用哪几项来建立某一特定地形的模型。决定使用哪几项来建立某一特定地形的模型。基于点的表面建模基于点的表面建模 是数字高程模型中最简单的数据组织形式。是数字高程模型中最简单的数据组织形式。 只使用多项式的零次项来建立只使用多项式的零次项来建立DEMDEM表面。表面。 对每一数据点都可建立一水平平面。对每一数据点都可建立一水平平面。

6、通过测量直接获取地球表面的原始或没有被整理过的数据。通过测量直接获取地球表面的原始或没有被整理过的数据。 采用点往往是非规则网离散分布的地形特征点。采用点往往是非规则网离散分布的地形特征点。 特征点之间相互独立，彼此没有任何联系。特征点之间相互独立，彼此没有任何联系。 所建立表面的不连续性，因而并不是一种真正实用的方法。所建立表面的不连续性，因而并不是一种真正实用的方法。基于格网的表面建模基于格网的表面建模 使用多项式中的前三项与使用多项式中的前三项与a3XYa3XY项，项，4 4点确定一个双线性点确定一个双线性 表面。表面。 正方形格网为最佳的选择。正方形格网为最佳的选择。 常用于处理覆盖平

7、缓地区的全局数据。常用于处理覆盖平缓地区的全局数据。 不适合有陡峭斜坡和大量断裂线等地形形态的地区。不适合有陡峭斜坡和大量断裂线等地形形态的地区。 建模所需要的最少高程点的数目由多项式的项数决定。建模所需要的最少高程点的数目由多项式的项数决定。 基于三角形的表面建模基于三角形的表面建模 是数字高程模型表面建模的主要方法之一。是数字高程模型表面建模的主要方法之一。 使用通用多项式的前三项来建立使用通用多项式的前三项来建立DEMDEM表面。表面。 对每三个数据点建立一平面三角形。对每三个数据点建立一平面三角形。 整个整个DEMDEM表面可由一系列相互连接的相邻三角形组成。表面可由一系列相互连接的相

8、邻三角形组成。 能容易地融合断裂线、生成线或其他任何数据。能容易地融合断裂线、生成线或其他任何数据。 回顾：格网回顾：格网DEMDEM生产流程生产流程内插和外推内插和外推内插内插: :在已观测点的在已观测点的区域内区域内估算未观测点的数据的过程；估算未观测点的数据的过程；外推外推: :在已观测点的在已观测点的区域外区域外估算未观测点的数据的过程估算未观测点的数据的过程预测预测。内插内插外推外推空间插值的理论假设空间插值的理论假设 空间插值的理论假设是：空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的能具有相似的特征值，

9、而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。可能性越小。空间插值方法正是依据该假设设计的，分为空间插值方法正是依据该假设设计的，分为整体插值方法和部分插值方法两类。整体插值方法和部分插值方法两类。 整体插值：整体插值：用研究区域所有采样点的数据进行全区域用研究区域所有采样点的数据进行全区域特征拟合，如特征拟合，如边界内插法、趋势面分析边界内插法、趋势面分析等。等。 部分插值：部分插值：仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值，仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值，如如最邻近点法最邻近点法( (泰森多边形方法泰森多边形方法) )、移动平均插值方法移动平均插值方法( (距离距离倒数插值法倒数插值法) )、样

10、条函数插值方法、空间自协方差最佳插值样条函数插值方法、空间自协方差最佳插值方法方法( (克里金插值克里金插值) )等。等。模型内插概述（模型内插概述（1 1）地球表面起伏不平，崎岖曲折，很难用一定数学规律地球表面起伏不平，崎岖曲折，很难用一定数学规律（曲面函数）来描述，只得借助于原始高程采样数据。（曲面函数）来描述，只得借助于原始高程采样数据。 数字高程模型原始样点数字高程模型原始样点( (参考点参考点) )的位置和密度不一定能的位置和密度不一定能满足专题应用的要求。满足专题应用的要求。 为何需要对模型进行内插为何需要对模型进行内插? ?模型内插的数学基础：模型内插的数学基础： 数学基础是二元

11、函数逼近，即利用已知离散点集的数学基础是二元函数逼近，即利用已知离散点集的三维空间坐标数据，展铺一张连续数学曲面，将任三维空间坐标数据，展铺一张连续数学曲面，将任一待求点的平面坐标代入曲面方程，可算得该点的一待求点的平面坐标代入曲面方程，可算得该点的高程数值；实际是利用地形局部的光滑起伏，即邻高程数值；实际是利用地形局部的光滑起伏，即邻近采样点间的空间相关性。近采样点间的空间相关性。 模型内插概述（模型内插概述（2 2）模型内插的两个应用需求：模型内插的两个应用需求：模型内插的特点：模型内插的特点：要求保形甚于光滑要求保形甚于光滑( (保凸性保凸性) )将离散型分布的数据点转化成规则格网分布的

12、数值，即将离散型分布的数据点转化成规则格网分布的数值，即离散数据的网格化；离散数据的网格化； 使原始数据更加满足应用的要求，需要加密数据。使原始数据更加满足应用的要求，需要加密数据。模型内插的实质：模型内插的实质： 实施插值运算，也就是以取样点为已知数据，用一定的数学实施插值运算，也就是以取样点为已知数据，用一定的数学方法进行插值加密，也就是插值逼近或曲面拟合；内插的中方法进行插值加密，也就是插值逼近或曲面拟合；内插的中心问题是邻域的确定和选择适当的插值函数。心问题是邻域的确定和选择适当的插值函数。DEMDEM内插方法分类内插方法分类DEMDEM内插内插内插曲面与采内插曲面与采样点关系样点关系

13、内插函数性质内插函数性质地形特征理解地形特征理解规则分布内插法规则分布内插法不规则分布内插法不规则分布内插法等高线数据内插法等高线数据内插法数据分布数据分布内插范围内插范围整体内插法整体内插法局部内插法局部内插法逐点内插法逐点内插法纯二维内插纯二维内插曲面拟合内插曲面拟合内插KrigingKriging法、多层曲面叠加内插法、法、多层曲面叠加内插法、加权平均值内插、分形内插、加权平均值内插、分形内插、傅立叶级数内插法傅立叶级数内插法样条内插法样条内插法有限元内插法有限元内插法最小二乘配置内插法最小二乘配置内插法多项式内插（线性插值、双线性插值、多项式内插（线性插值、双线性插值、高次多项式插值）

14、高次多项式插值）2 2、模型整体内插、模型整体内插 整体内插整体内插：在：在整个研究区域整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面用一个数学曲面函数来逼近地形表面模型整体内插原理模型整体内插原理 就是就是在在整个研究区域整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表用一个数学曲面函数来逼近地形表面面，整体内插函数通常采用，整体内插函数通常采用高次多项式高次多项式。不能提供内插区域。不能提供内插区域的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势宏观变化趋势。 特点：特点： 主体函数：主体函数： 要求地形采样点的数目要求地形采样点的数目等于等于或或大于大于多

15、项式的系数个数，分多项式的系数个数，分别对应别对应纯二维插值纯二维插值和和曲面拟合插值。曲面拟合插值。 在使用某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中在使用某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去去除除一些一些不符合总体趋势不符合总体趋势的宏观地物特征或用于的宏观地物特征或用于粗差检测粗差检测。 主要用途：主要用途：整体内插的缺点整体内插的缺点整体内插保凸性较差整体内插保凸性较差：大范围内的地形很复杂，大范围内的地形很复杂，用整体内插法若选取参考点个数较少时，不足以用整体内插法若选取参考点个数较少时，不足以描述整个地形；而若选用较多的参考点则多项式描述整个地形；而若选用较多的参考点则多项

16、式易出现易出现振荡现象振荡现象，导致保凸性较差。，导致保凸性较差。很难获得稳定的数值解很难获得稳定的数值解: : 高阶线性方程组结算时高阶线性方程组结算时的计算舍入误差和采样误差会引起高阶多项式系的计算舍入误差和采样误差会引起高阶多项式系数的极大变化。数的极大变化。高阶多项式系数无明显物理意义。高阶多项式系数无明显物理意义。不能提供区域的局部地形特征。不能提供区域的局部地形特征。DEM通常不采用整体内插法通常不采用整体内插法,原因在于：原因在于：3 3、分块内插、分块内插分块内插：分块内插：将地形区域按一定的方法进行分块将地形区域按一定的方法进行分块,对每一个对每一个分块根据地形曲面特征单独进

17、行曲面拟合和高程内插。分块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。分块内插原理分块内插原理 采用采用局部局部函数内插函数内插 ，在陆地表面随机划出一个范围，在陆地表面随机划出一个范围, ,范范围的面积愈小围的面积愈小, ,内部的起伏变化会愈简单，可用内部的起伏变化会愈简单，可用简单曲面函简单曲面函数数较好描述地形曲面较好描述地形曲面。 主要优点：主要优点： 分而治之分而治之把需要建立数字高程模型的地形区域按一把需要建立数字高程模型的地形区域按一定的方法进行分块（切割成有定的方法进行分块（切割成有一定尺寸一定尺寸的规则分块的规则分块, ,形状通形状通常为正方形；它的尺寸根据地区地貌复杂程度和

18、数据源的比常为正方形；它的尺寸根据地区地貌复杂程度和数据源的比例尺选定）例尺选定）, ,对每一个分块根据地形曲面特征单独进行曲面对每一个分块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。拟合和高程内插。 重点在于重点在于如何分块如何分块并保证并保证各分块的连续性各分块的连续性。基本思路基本思路 ： 不同的分块单元可采用不同的内插函数，常用的内插方不同的分块单元可采用不同的内插函数，常用的内插方法有法有线性内插、双线性内插、多项式内插、样条函数内插、线性内插、双线性内插、多项式内插、样条函数内插、多层曲面叠加多层曲面叠加内插等。内插等。常用内插方法：常用内插方法：分块内插原理分块内插原理l 利用利

19、用局部范围局部范围内的已知采样点的数据内插内的已知采样点的数据内插出未知点的数据。出未知点的数据。具体方式：具体方式：1 1、线性内插；、线性内插；2 2、双线性多项式内插；、双线性多项式内插；3 3、双三次多项式、双三次多项式( (样样条函数条函数) )内插。内插。4 4、多面函数内插、多面函数内插3.13.1、线性内插、线性内插 使用最靠近插值点的三个已知数据点，确定一个使用最靠近插值点的三个已知数据点，确定一个平面，继而求出内插点的高程值。基于平面，继而求出内插点的高程值。基于TINTIN的内插广的内插广泛采用这种简便的方法。泛采用这种简便的方法。 基本思路：基本思路： Z = a0 +

20、 a1X + a2YZ = a0 + a1X + a2Y a0a0，a1a1，a2a2可以根据三个已知参考点如可以根据三个已知参考点如P1(x1P1(x1，y1y1，z1)z1)， P2(x2P2(x2，y2y2，z2)z2)， P3(x3P3(x3，y3y3，z3)z3)计算求得。这三个参数可以根据下面的式计算求得。这三个参数可以根据下面的式子进行严密计算：子进行严密计算： 函数形式函数形式 ：3.23.2、双线性内插、双线性内插 使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四边形边形, ,确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。确定一个双线性多项式来内

21、插待插点的高程。基于格网的内插广泛采用这种方法。基于格网的内插广泛采用这种方法。 基本思路：基本思路： Z=f(x,y)=aZ=f(x,y)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2y+ay+a3 3xyxy a a0 0,a,a1 1,a,a2 2,a,a3 3, ,可以通过四边形的可以通过四边形的4 4个顶点个顶点P1(x1P1(x1，y1,z1), y1,z1), P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)，P4(x4,y4,z4) P4(x4,y4,z4) 的抽样数值代入上式即可。的抽样数值代入上式即可。 函数形式函数形式 ：双

22、线性多项式曲面插值双线性多项式曲面插值 )(1 ()()(1 ()1)(1 (1234LyLxZLyLxZLxLyZLyLxZZPPPPPPPPP3.33.3、样条函数内插、样条函数内插 为保证各分块曲面间的光滑性为保证各分块曲面间的光滑性, ,按照弹性力学条按照弹性力学条件使所确定的件使所确定的n n次多项式曲面与其相邻分块的边界上次多项式曲面与其相邻分块的边界上所有所有n-1n-1次导数都连续。次导数都连续。 算法来源：算法来源：方格网数据点条方格网数据点条件下件下 ：样条函数内插样条函数内插 双三次多项式函数形式：双三次多项式函数形式：32333231302322212013121110

23、03020100321, 1yyyCCCCCCCCCCCCCCCCxxxzl是一种是一种分段函数分段函数, ,每次只用少量的数据点，故内每次只用少量的数据点，故内插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可用于精确的内插；可用于平滑处理。用于精确的内插；可用于平滑处理。将内插点周围的将内插点周围的1616个点个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。的数据带入多项式，可计算出所有的系数。1616个点个点3.43.4、多面函数内插、多面函数内插 任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若干个简单面干个简单面( (或

24、称单值数学面或称单值数学面) )来叠加逼近。来叠加逼近。 在每个数据点上建立一个曲面在每个数据点上建立一个曲面, ,然后在然后在Z Z方向上将方向上将各个曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面各个曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面, ,使使之严格地通过各个数据点。之严格地通过各个数据点。 基本思路：基本思路：函数表达函数表达 ：Q(x,y,xQ(x,y,xi i,y,yi i) )为参加插值计算的简单数学面为参加插值计算的简单数学面, ,又称多面函数的核函数又称多面函数的核函数; ;n n为简单数学面的张数为简单数学面的张数, ,或多层叠加面的层数或多层叠加面的层数, ,它的值与分块扩充范

25、围内参考点它的值与分块扩充范围内参考点的个数相等的个数相等; ;Ki(i=1,2,3,.,n)Ki(i=1,2,3,.,n)为待定参数为待定参数, ,它代表了第它代表了第i i个核函数对多层叠加面的贡献。个核函数对多层叠加面的贡献。 多面函数内插的核函数多面函数内插的核函数 为了计算方便为了计算方便, ,多层叠加面中的多层叠加面中的n n个核函数一般选用同个核函数一般选用同一类型的简单函数一类型的简单函数, ,通常是围绕竖向轴旋转的曲面通常是围绕竖向轴旋转的曲面, ,这条竖这条竖轴正好通过某一参考点轴正好通过某一参考点, , 锥面：锥面： QQ1 1(x,y,x(x,y,xi i,y,yi i

26、)=C + (x-x)=C + (x-xi i) ) 2 2 + (y-y + (y-yi i) )2 2 1/2 1/2双曲面：双曲面： QQ2 2(x,y,x(x,y,xi i,y,yi i)=(x-x)=(x-xi i) ) 2 2 + (y-y + (y-yi i) )2 2 + 6+ 6 1/2 1/2三次三次曲面：曲面： QQ3 3(x,y,x(x,y,xi i,y,yi i)=C+(x-x)=C+(x-xi i) ) 2 2 + (y-y + (y-yi i) )2 2 3/2 3/2旋转面：旋转面： QQ4 4(x,y,x(x,y,xi i,y,yi i)=1)=1D Di i

27、2 2/a/a2 2 多面叠加一个重要的优点是如果希望对地形增加各种多面叠加一个重要的优点是如果希望对地形增加各种约束和限制约束和限制, ,则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函数体内。数体内。 3.53.5、最小二乘拟合法、最小二乘拟合法 也即趋势面分析法也即趋势面分析法趋势面分析法趋势面分析法是用一定的函数对空间现象的空间分布是用一定的函数对空间现象的空间分布特征进行分析，用函数所代表的数学表面来逼近特征进行分析，用函数所代表的数学表面来逼近( (或拟或拟合合) )现象的实际表面现象的实际表面这种数学表面叫这种数学表面叫趋势面趋势面。 总之，趋势面

28、分析就是用总之，趋势面分析就是用多项式方程多项式方程来近似的拟合来近似的拟合已知数据的点（已知数据的点（Davis1986Davis1986，BaileyBailey等等19951995）。利用已）。利用已知数据建立的拟合方程叫知数据建立的拟合方程叫趋势面模型趋势面模型，能够用来估算，能够用来估算其它点的数值。其它点的数值。3.53.5、最小二乘拟合法、最小二乘拟合法 根据一系列离散的已知数据点根据一系列离散的已知数据点xixi，yi yi，zizi，采用按距离，采用按距离加权的最小二乘法，为局部内插拟合一个曲面。如二次加权的最小二乘法，为局部内插拟合一个曲面。如二次多项式趋势拟合多项式趋势拟

29、合20211220011000),(ycxycxcycxccyxfz z值的误差方程为：值的误差方程为：在最小二乘的意义下：在最小二乘的意义下：min,1221niiiNiiiiiwvvvwzyxfwQ最小二乘拟合法最小二乘拟合法 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiwywyxwyxwywyxwywyxwxwyxwyxwxwxwyxwyxwyxwyxwyxwyxwywyxwyxwywyxwywyxwxwyxwyxwxwxwywxwyxwywxwA422

30、332222432323322223222232222654321cCcCCCCiiiiiiiiiiiiiiiiiiwzywzxwzyxwzywzxwzL22注意：采用最小二乘曲面拟合注意：采用最小二乘曲面拟合必须注意其适用条件和约束。必须注意其适用条件和约束。自然表面的拟合要求自然表面的拟合要求l多数自然现象的分布比较复杂，即比一次多数自然现象的分布比较复杂，即比一次趋势面生成的倾斜面更加复杂。因此，拟合趋势面生成的倾斜面更加复杂。因此，拟合更加复杂的面要求用更高次的趋势面模型。更加复杂的面要求用更高次的趋势面模型。比如比如三次趋势面模型三次趋势面模型。3928273625423210,yb

31、xybyxbxbybxybxbybxbbzyx趋势面趋势面(trend)(trend)方法方法 趋势面分析是一种整体内插法，这种方法假设地形趋势面分析是一种整体内插法，这种方法假设地形表面的一般趋势与高程值的局部变化无关，并利用曲表面的一般趋势与高程值的局部变化无关，并利用曲面方程来模拟待定点附近地形表面的一般趋势。面方程来模拟待定点附近地形表面的一般趋势。 通常使用的是一次、二次、三次趋势面，过高次的通常使用的是一次、二次、三次趋势面，过高次的趋势面不利于反映空间趋势，并可能存在趋势面的趋势面不利于反映空间趋势，并可能存在趋势面的“畸变畸变”。其中，二次趋势面可用待定点附近的。其中，二次趋势

32、面可用待定点附近的6 6个个数据点来计算方程式系数。若取用的点数多于数据点来计算方程式系数。若取用的点数多于6 6个，个，则要用测量平差方法来拟合。则要用测量平差方法来拟合。 趋势面趋势面(trend)(trend)方法产生的方法产生的DEMDEM难以反映地形起伏的难以反映地形起伏的特性。特性。 克里金克里金(Kriging)(Kriging)插值插值KrigingKriging插值方法在空间相关范围分析的基础上，用相关范围插值方法在空间相关范围分析的基础上，用相关范围内的采样点来估计待插点属性值。内的采样点来估计待插点属性值。（1 1）数据检验与分析，删去明显偏离实际的采样数据点。）数据检验

33、与分析，删去明显偏离实际的采样数据点。（2 2）数据预处理。）数据预处理。（3 3）绘制方差图，了解空间变量的集聚范围与方向。）绘制方差图，了解空间变量的集聚范围与方向。（4 4）克里金插值估计。）克里金插值估计。 相对来说，克里金插值则能较好地反映各种地形变化，但克相对来说，克里金插值则能较好地反映各种地形变化，但克里金方法的计算量很大，因此在对大面积区域大数据量内插里金方法的计算量很大，因此在对大面积区域大数据量内插时，这是一个不能不考虑的因素。时，这是一个不能不考虑的因素。 4 4、模型逐点移面内插、模型逐点移面内插逐点移面内插逐点移面内插：以待插点为中心，确定一个邻域范围，用该邻：以待

34、插点为中心，确定一个邻域范围，用该邻域内的采样点计算内插点的高程值。域内的采样点计算内插点的高程值。剖分内插剖分内插可以有可以有不同的形状和大小不同的形状和大小，但它们的，但它们的位置是位置是固定固定的（如的（如TINTIN）。）。 分块内插分块内插的分块范围在内插过程中一经确定，其的分块范围在内插过程中一经确定，其形状、形状、大小和位置都保持不变大小和位置都保持不变，凡落在分块上的待插点都用，凡落在分块上的待插点都用展铺在该分块上的唯一确定的数学面进行内插。展铺在该分块上的唯一确定的数学面进行内插。逐点移面法逐点移面法一般一般有相同的形状和面积，位置有相同的形状和面积，位置却随内插却随内插点

35、位置而点位置而移动移动，其以待插点为中心，定义一个局部函，其以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，以适当半径或边长的圆或正数去拟合周围的数据点，以适当半径或边长的圆或正方形作为移动面去捕捉适当数目的数据点，并以此展方形作为移动面去捕捉适当数目的数据点，并以此展铺一张数学面，内插该中心的高程。数据点的范围随铺一张数学面，内插该中心的高程。数据点的范围随待插点位置的变化而变化。待插点位置的变化而变化。逐点移面内插与分块、剖逐点移面内插与分块、剖分内插的区别分内插的区别 以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合以待插点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点，以适当半径或边长的圆或正方

36、形周围的数据点，以适当半径或边长的圆或正方形作为移动面去捕捉适当数目的数据点，并以此展作为移动面去捕捉适当数目的数据点，并以此展铺一张数学面，内插该中心的高程。数据点的范铺一张数学面，内插该中心的高程。数据点的范围随待插点位置的变化而变化。围随待插点位置的变化而变化。 主要特点：主要特点：模型逐点移面内插原理模型逐点移面内插原理基本步骤：基本步骤：定义内插点的定义内插点的邻域范围邻域范围确定落在邻域内的确定落在邻域内的采样点采样点选定选定内插数学模型内插数学模型计算内插点的高程计算内插点的高程4.14.1、邻域及其内点的确定、邻域及其内点的确定(1)(1)利用利用搜索圆搜索圆实现对数据点的搜索

37、实现对数据点的搜索 nAkrk一般取一般取7按方位取点图示按方位取点图示4.14.1、邻域及其内点的确定、邻域及其内点的确定(2)(2)nkAs/利用利用搜索矩形搜索矩形实现对数据点的搜索实现对数据点的搜索 k一般取一般取7若内插点若内插点(x, y)与采样点与采样点(xi, yi) 满足下式则为邻域点：满足下式则为邻域点：4.24.2、邻域点权值计算、邻域点权值计算注：注： Pi Pi是参考点的权，是参考点的权，R R是圆的半径，是圆的半径，didi是待插点到参考点的距离。是待插点到参考点的距离。 常用的权函数常用的权函数 ：赋权依据赋权依据： 地形表面具有地形表面具有自相关性自相关性，较接

38、近的采样点对内插点的影，较接近的采样点对内插点的影响要大一些。响要大一些。 因此采用内插点和采样点的因此采用内插点和采样点的距离距离来刻画采样点对内插点来刻画采样点对内插点的的贡献程度贡献程度，即，即距离越近贡献越大，反之就小距离越近贡献越大，反之就小。4.34.3、内插函数模型、内插函数模型(1)(1) 是移动拟合法的特例，它是在解算待定点的高程时，是移动拟合法的特例，它是在解算待定点的高程时，使用加权平均值代替误差方程：使用加权平均值代替误差方程：反距离加权平均法反距离加权平均法 Z Zp p是待定点户的高程，是待定点户的高程，Z Zi i是第是第i i个参考点的高程值，个参考点的高程值，

39、n n为参考点的个数，只是第为参考点的个数，只是第i i个参考点的权重，权函数个参考点的权重，权函数及参考点范围的选取与移动拟合法相同。及参考点范围的选取与移动拟合法相同。利用内插点邻域内的采样点，可选用各种方法来计算利用内插点邻域内的采样点，可选用各种方法来计算内插点的高程值，如内插点的高程值，如多层曲面叠加法、曲面拟合法、多层曲面叠加法、曲面拟合法、最小二乘法、有限元法、加权平均法最小二乘法、有限元法、加权平均法等。等。4.34.3、内插函数模型、内插函数模型(2)(2) 对于每个待插的点，可选取其邻近的对于每个待插的点，可选取其邻近的n n个数据点个数据点( (可称其可称其为参考点为参考

40、点) )拟合一多项式曲面，拟合的曲面可选用如下的形拟合一多项式曲面，拟合的曲面可选用如下的形式：式：Z = AXZ = AX2 2 + BXY + CY+ BXY + CY2 2 + DX + EY + F+ DX + EY + F 式中，式中，X X、Y Y、Z Z是各参考点的坐标值，是各参考点的坐标值，A A、B B、C C、D D、E E、F F为待定的参数。多项式中的各参数可由为待定的参数。多项式中的各参数可由n n个选定的参考点个选定的参考点用最小二乘法进行求解。用最小二乘法进行求解。 移动曲面拟合法移动曲面拟合法1 1）、如何确定待插点的最小邻域范围以保证有足够）、如何确定待插点的

41、最小邻域范围以保证有足够 的参考点；的参考点；2 2）、如何确定各参考点的权重。）、如何确定各参考点的权重。 关键问题：关键问题：4.44.4、考虑地貌特征的逐点内插、考虑地貌特征的逐点内插 1 1）、搜索地貌特征线，或按地貌特征）、搜索地貌特征线，或按地貌特征线将数字高程模型覆盖地区划分为不含线将数字高程模型覆盖地区划分为不含地貌特征线的子区地貌特征线的子区. . 主要步骤：主要步骤：2 2）、根据参考点密度按下式确定移面）、根据参考点密度按下式确定移面尺寸尺寸R R。R=KDR=KD。 采用圆形移面时，采用圆形移面时，R R代表移面半径，正方形移面时代表移面半径，正方形移面时R R代代表正方形边长，表正方形边长，K K为大于为大于1 1的乘系数，的乘系数，D D为数字高程模型覆盖地区参考点为数字高程模型覆盖地区参考点的平均间距，可用下式估算：的平均间距，可用下式估算：A A为数字高程模型覆盖地区面积，为数字高程模型覆盖地区面积，n n为参考点总数为参考点总数. . 3 3）、判断单点移面内部有否地貌特征线穿越）、判断单点移面内部有否地貌特征线穿越. .4 4）、将贯穿地貌特征线的移面再次分割为不含地貌特