讲座3：圆锥曲线

1、第三讲 圆锥曲线讲座导读1掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程2掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质4了解圆锥曲线的初步应用，直线与圆锥曲线的位置关系知识网络圆锥曲线椭圆定义标准方程几何性质双曲线定义标准方程几何性质抛物线定义标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义直线与圆锥曲线的位置关系椭圆双曲线抛物线a、b、c关系高考导航圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值2

2、1分24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解圆锥曲线的几何性质的应用2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法3有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现4求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大

3、，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，是高考命题的一个趋势 例题解析考点一. 圆锥曲线标准方程和轨迹问题理解圆锥曲线标准方程中各个量的关系，注意判断焦点位置。求指定的圆锥曲线的方程是命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定

4、量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.用标准方程确定参数例题1、若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 .（2）表示x型椭圆，则实数k的取值范围是 .（3）表示y型椭圆，则实数k的取值范围是 .（4）表示双曲线，则实数k的取值范围是 .待定系数法求标准方程例题2、（1）若椭圆经过点，则该椭圆的标准方程为 。（2）与双曲线有共同的渐近线，且过点，则该双曲线的标准方程为 。

5、变式训练：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。利用第一定义求标准方程例题3、（1）若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 （2）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一支 D. 抛物线例题4、已知动圆A与圆B：(x+5)2+y2=81和圆C：(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心A的轨迹方程。变式训练：设点Q是圆C：上动点,点A（1，0）是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程。 圆锥曲线统一定义研究方程例题5、（1）已知动点 M（x，y）满足，则点M的轨迹是（ ）。（A）椭圆

6、 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）两条相交直线（2）设圆F：上动点, 动圆P与Y轴和圆F都相切，求动圆圆心P的轨迹方程。 变式训练：（1）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ）A（0，1） B. （1，+） C. （0，5） D. （5，+）考点二：.圆锥曲线定义的应用在解题中要充分利用圆锥曲线的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效解与焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑。涉及椭圆双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义来解决;涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用

7、统一定义解决问题.例1、椭圆 上一点P到右焦点F2的距离为10，求P到左焦点的距离。变式1:求点P到左准线的距离? 变式2:求点P到右准线的距离?例2（1）设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则（2）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_.变式训练：（1）如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是 (2)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在

8、点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）A4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能例3已知AB为过双曲线1(ab0)焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与双曲线的准线( )A相交 B相切 C相离 D与a、b的取值有关例4过椭圆左焦点F，倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D)例5（1）给定A（-2，2），已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取 最小值时，求B点坐标。（2）已知双曲线y2=1，M为其右支上一动点，F为其右焦点，点A（3，1），则的最小值为 。变

9、式训练：点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若 取得最小值，求点P的坐标。例6：已知双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是它左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为yx，问是否存在点P，使d、PF1、PF2成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由变式训练：设、分别为双曲线的左、右焦点，为左准线，为双曲线左支上一点，点到的距离为，已知，成等差数列，求的值例7、已知某椭圆的焦点F1（4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且F1BF2B10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足

10、条件F2A，F2B，F2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.考点三：焦点三角形焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1r22a (2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面积：r1r2 sin2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)例题1：设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为 。变式：1、已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点若，求的面积2、设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？例题2：已知椭圆，F1,F2是椭圆左右两个焦点，P是椭圆的任一点若，求椭圆离心率的取值范

11、围。变式：在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 例题3：设点是椭圆上的一点，是焦点，的内切圆半径为，求点坐标。例题4：由双曲线上的一点与左、右两焦点、构成，求的内切圆与边的切点坐标.变式训练：已知双曲线左支上一点P到两焦点F1,F2的三角形的内切圆的圆心的横坐标( ) A. a B. b C.c D.a+b-c 考点四：离心率的有关问题离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据；双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要数据；而抛物线的离心率是1.圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物

12、线的类型.求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法: .利用曲线定义。圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题.利用曲线变量范围。圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是重要的解题途径5. 用根的判别式根据条件建立与、相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解6. 构造关于e的方程求

13、解. 7. 联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解8. 三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。例题1：已知动点 M（x，y）满足，则离心率为 例题2：已知F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点若满足的点总在椭圆的内部，求椭圆离心率的取值范围。例题3：已知椭圆的两焦点为F1(-c,0),F2(c,0),P是直线上的一点，的垂直平分线恰过点，求椭圆离心率的

14、取值范围。例题4：已知椭圆，F1,F2是椭圆左右两个焦点，以F1F2 为边做正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，求椭圆离心率。例题5：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。例题6：椭圆过左焦点F1且倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点，若，求椭圆离心率e。例题7：点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 例题8：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且

15、只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）（A）（B）（C）（D）例题9：直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e B.1e C.1e例题10：设双曲线 与（a0，b0）的离心率分别为e1、e2，则当a、b变化时，的最小值是（ ） （A）2 (B)4 (C)4 (D)考点五：直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力

16、、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”。1直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为，0时，有两个公共点，0时，有一个公共点，0时，没有公共点但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与

17、量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 当弦过圆锥曲线的焦点时， 可用焦半径进行运算3对称问题，要注意两点：垂直和中点 再利用好中点与椭圆的位置关系。直线与圆锥曲线的位置关系例1：直线y = k x + 1与椭圆恒有公共点,则的的取值范围为( )A. B. C. D. 例2：经过点且与双曲线仅交于一点的直线条数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式训练：不论k为何值, y = k (x-2) + b与总有公共点,则b的取值范围为( ).A. B. C. D. 变式训练：直线m的方程为，双曲线C的方程为，若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是（ ） A. B

18、. C. D.例3：直线与曲线的交点的个数 。变式训练：直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2|x|的公共点的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例4：直线y=kx+1与双曲线相交于A、B两点.(1)当k为何值时,A与B位于同一支上? 当k为何值时,A与B位于不同的支上?(2)当k为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点? 例5：直线与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S； (1)求在k=0，0b1的条件下，S的最大值； (2)当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程。焦点弦问题例1:过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有 条 条 条 不存在变式：若将上

19、题中的“”改为“”则满足什么条件时，这样的直线有（1）0条； （2）2条 （3）3条 （4）4条变式训练：过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无数条D不存在例2：过双曲线1(ab0)右焦点F的弦AB, 则以AB为直径的圆与双曲线的右准线( )A相交 B相切 C相离 D与a、b的取值有关 例3: 过椭圆左焦点F，倾斜角为60的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为( )(A) (B) (C) (D) 例4过抛物线y22px的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点，则线段AB被焦点分

20、的比为 设抛物线y22px的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是 中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是考试的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。（一）、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。（二）、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆上一点P（-

21、8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。（三）、弦中点的坐标问题例3、求直线被抛物线截得线段的中点坐标。（四）、中点弦综合问题例4.椭圆与直线y=1-x交于M与N 两点,原点与MN中点的连线斜率为,则的值 . 例5、已知双曲线中心在原点，一个焦点为，直线与其交于两点，线段中点的横坐标为，则双曲线的方程为 例6、已知双曲线方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线，使与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由例7、已知椭圆，椭圆上有不同的三点A，B，且

22、 成等差数列，（1）求弦AC的中点M的横坐标；（2）设弦AC的垂直平分线的方程为存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。对称问题，要注意两点：垂直和中点 再利用好中点与椭圆的位置关系。例1、已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。例2、在抛物线y24x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围例3、已知双曲线上存在两点关于直线y=kx+4对称,求实数k的取值范围.例4、已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的

23、右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.例5、直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A 两点. （1）求证：; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.定值问题、最值问题例1：直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点. 求证：; 例2：设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，（1）求证：; ； （2）求点M的轨迹方程例3. 椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_例4、（1）给定A（-2，2），已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取 最小值时，求B点坐标。（2）已知双曲线y2=1，M为其右支上一动点，F为其右焦点，点A（3，1），则的最小值为 。例5已知椭圆E：，（1）直线与椭圆E有两个不同的公共点，求的取值范围；（2）以椭圆E的焦点、为焦点，经过直线：上一点作椭圆，当椭圆的长轴最短时，求椭圆的方程。圆锥曲线的综合问题例1、直线关于原点对称的直线为.若与椭圆的交点为A与B,点P 为椭圆上的动点,则使的面积为的点P的个数为 例2、直线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不