幂零矩阵性质及应用

1、-/0。证明:Q A为幕零矩阵s.tAk令0为A任意一个特征值，则0, s.t幂零矩阵性质及应用性质1: A为幕零矩阵的充要条件是 A的特征值全为J1J2丄L , Js为幕零矩阵得证由引理7知，；为Ak的特征值k0 s.t A从而有=0即有又有Ak 0,知00* E AAkAk(1)k A(1)k00为A的特征值。由0的任意性知，A的特征值为Q A的特征值全为0A的特征多项式为f ()由引理2知，f(A) An所以A为幕零矩阵。得证性质2： A为幕零矩阵的充要条件为trAk证明： Q A为幕零矩阵，由性质A的特征值全为0 即由引理7,知kA的特征值为从而有trAk1k2k L由已知,kktrA

2、 12k L(1.1)2,L L ,t为A的不为0的特征值且i互不相同重数为ni (i 1,2,L L ,t)由(1.1 )式及引理7,得方程组n1 1n2 2Lnt t02 n1 12n2 2Lntt2 033L3n1 1门2 2ntt 0(1.2)L Lt n1 1t 门22Lnttt0由于方程组(1.2 )的系数行列式为12Lt11 L1B2 2 | 212Lt1 2 L t12 LtM M LMM M LMt t lt12 Jtt t L t12tt(j)又i (i 1,2丄L t)互不相同且不为o,从而知，方程(1.2)只有0解，即ni0 (i 1,2,L L ,t)即A没有非零的特

3、征值得证A的特征值全为0，由性质1,得 A为幕零矩阵 性质3:若A为幕零矩阵则A的若当标准形J的若当块为幕零若当块，且J和主对角线上的元素为0证明：A为幕零矩阵,由性质1，知 A的特征值全为0由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵 T,使得J2J1T 1ATJs其中Ji阶数为 ni(i 1,2,L ,s)由引理4知i(i1,2,L ,s)为J和特征值又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值所以i 0(i 1,2,L ,s)即J的主对角线上的元素全为0nn -由引理 8,知 J OgE) i (Ji) i 0 (i 1,2,L , s)-/性质4:若A为幕零矩阵，则A 一定不可逆但有证明：Q

4、 A为幕零矩阵，k Zks.t Ak 0-kk-0 Ak A A 0 A 一定不可逆由性质1，得 A的特征值为12 L n 0由引理7,得A E, E A的特征值分别为2 L n 0 11,1且有 A E 1 2gL g n 1n 1E A 1 2 g- gn 1n 1即 A E 1 , E A 1性质5:若A E为幕零矩阵，则 A非退化 证明：令1, 2 , L L , n为A的特征值得证若A退化，则有 A 0由引理7, 得A 1 2gL L g n 0至少存在i0 =0为A的特征值又由引理7,得0为A E的一特征值这与A E为幕零矩阵矛盾得证A为非退化性质6：若A为幕零矩阵,B为任意的n阶

5、矩阵且有ABBA，则AB也为幕零矩阵。即与幕零矩阵可交换的矩阵也是幕零矩阵证明：Q A为幕零矩阵k小k Z s.t A 0又 AB BA(AB)k AkBk 0 Bk 0AB也为幕零矩阵得证性质7:若A为幕零矩阵且 Ak 0，（2）（mEA) 1丄E12A丄A2L L ( 1)k 1 1k Ak 1(m 0)mmmm证明：Q Ak0E EAkEk Ak(EA)(EA A2L LAk 1)即（EA) 1E AA2 LL Ak1任意m0，有mEmEAk mE k AkmEk()kmm(E)(E11 A12A2L L(1)k 11 1 Ak1 )mmmm(mEA)(EaA A2L L(1)k 11

6、1 Ak 1)mmm111 2k 11k 1即有（mEA)(E1 A2 AL L (:1)k 1 A )Emmmm1 111 2k 11k1(mEA)-(E1 A2 AL L(1)k 1 A)mmmmE11 A 1八 k11.k12 A3 A LL (1)k 1 k Amm mm性质&若A为幕零矩阵且 A 0，则A不可对角化但对任意的n阶方阵B,存在幕零矩阵 N，使得B N可对角化证明：Q A为幕零矩阵k Z s.t Ak 0且a的特征值全为零f（ ） E A n为A的特征多项式且 f（A） An 0令mA（）为A的最小多项式，则有 mA（ ） | f （）ko从而有 mA（ ）0（1 ko

7、n）k由于A 0 , k0 1，又此时mA（ ）0ko 2即A的最小多项式有重根，由引理5，知A不可对角化Q B为n阶方阵由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵 T,使得J1T 1BTJ2其中 JiJs令 Di阶数为ni(i则有 J iJiDi由引理 8，知 (JiEni)ni(Ji)niJ1现令 JJ2JsJ1J1D1T 1BTJ2Js即 B T(JD)T 1TJ T又 D 为对角阵，由(1)式知令 N=TJT1且取JkNkJ1kJ2k1,2,L,s)阶数为 ni(i 1,2,L ,s)阶数为 ni (i1,2,L ,s)D1J2TDT 1B TJ T 1max( n1, n2,L LJ1k(

8、 TJT1)k ( )kT(J)kT1 ( )kT即JiD2D2OL (1)TDT,ns)J2k为幂零矩阵 (i1,2,L ,s)JsDsDs11 可对角化则有T1( )k T0T 1 0Jsk即有 B N 可对角化且 N 为幂零矩阵 得证性质 9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于 n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数证明；令 A 为 n 阶幂零矩阵由性质 3 知，存在可逆矩阵使得J1T 1 ATJ2Js其中 Ji阶数为 ni （i1,2,L ,s)且 (J i )nini(i 1,2,L,s)max( n1,n2,L L,ns)，则 k且有J1J1Ak(TJ2O1)kJ2k

9、0 L (1.5)若令JsJskAkk0 为的幂零指数，则k0Ak0若 k0 k ，则 i0s.tni0k0且 Ji0k0J1k0A 0 (TJ21)k0k02Jsk0s这与 Ak00 矛盾。k0得证由（ 1.5）式，得k0J1性质 10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 证明：令 A 为幂零矩阵，则 A 的特征值全为 0若B与A相似 由引理6，得 A与B有相同的特征值B 的特征值也全为 0 ，由性质 1，知 B 也为幂零矩阵A 为幂零矩阵由性质 3 知， 存在可逆矩阵 T 使得J1T 1ATJJ2OJs01其中 JiOOO1阶数为 ni(i1,2,L ,s)0

10、且 (J i )ni01ni n(i 1,2,L,s)由性质 9，知kAmax(n1,n2,L L,ns)为A的幕零指数又 A 与 B 相似， A 与 J 相似从而有 B 也与 J 相似J1可逆矩阵 P使得 P 1BP JJ2OJs性质又由性质 9，从而有又 Ji11：若kBmax(n2 ,L L ,ns)为B的幕零指数kAkBJ1J2(i 1,2,L ,s) 为严格上三角也为严格上三角形Js都相似于严格上三角形得证为幂零矩阵，则 A,A, A, mA(m Z ) 都为幂零矩阵，特别有2(A )20证明：Q A 为幂零矩阵kZs.tAk 0由引理 1，知(A)k(Ak)00(A )k (Ak)

11、00(A)k ( 1)k Ak ( 1)k 0 0A , A , A都为幕零矩阵kk kk(mA) (m) A (m)00mA(m Z )也为幕零矩阵又Q A为幕零矩阵|A 0 即r(A) n 1若r(A) n 1,则有A的所有n 1阶代数余子式都为 0则有 A 0 从而有(A )2 A 0若r(A) n 1,则由性质3知，J1T 1AT其中Ji2OJs阶数为 ni(i 1,2,l , s)且 r(Ji) ni 10r(A)r(J)r(Ji)i 1(mi 11)nj s n s n 1i 1011Os1即有T 1AT JB(1.3)OO1 00LL (1)n 1OM2又B(B )0OMss又显

12、然A与J，所以有s01 1由(1.3)式及引理1，知 A (TBT ) (T ) B T(A )2 (T 1) B T 2 (T 1) (B )2T0 得证21、A为实对称矩阵且 A0,则有A 0证明：令A (aj)n n，则由A实对称n n且 A2 A Aaij20i 1 j 1又 aij 为实数aij 0 i, j 1,2, ,n即 A 02、所有n阶幕零指数等于其阶数的幕零矩阵都是相似证明：令A为n阶n次幕零矩阵即An 0 Ak 0(k n)A的最小多项式m A ()从而有 dn 1()d2( ) d1( )1又A幕零矩阵A的特征值全为0A的特征多项式为f ()E AnDn()由引理9，

13、知dn( ) mA()nDn()n又 dn()Dn 1()1Dn 1()所以所有的n阶n次幕零矩阵的不变因子都是1,1,1,所以所有n阶幕零指数等于其阶数的幕零矩阵都相似3、所有n阶n 1次幕零矩阵相似(n 1为幕零指数)证明：令A为n阶n 1次幕零矩阵，则An 1 0 Ak 0(k n 1)A的最小多项式mA()1 1又A幕零矩阵A的特征值全为0A的特征多项式为f ()E AnDn()又 dn( )nDn 1()D n 1 ()dn()又 f( ) E A从而有 dn 1()dn 2()d2( ) d1( )1所以所有1次幕零矩阵具有相同不变因子1,1,1, , n 1所以所有1次幕零矩阵都

14、相似1、设n阶方阵,求证:k(1)存在k Z，使得r(A )/ 八 k 1、 r(A )证明：(1)、由引理jT 1AT(2)存在k Z，而且1 kr(Ak)r(Akk s、r(A )在复数域上，可逆矩阵使得OJs(1.4)其中Ji阶数为ni i 1,2,s,Jt0的若当块i1,2,t2,0的若当块1,t2,s由于Ji由引理8, 得(Ji)ni且(Ji)ii 1,2,tJi(J)max( nn2,nji 1,2,tni i0 即J i可逆 it 1,t2,srr(J)i 0 有 r(Ji )r(Ji)ni1,t2,s由(1.4)式,知A与J相似，且J1P(T 1AT)P T1APT T 1Jt

15、Jt 1p从而，得Ap与J p相似,-/综上可得，r(Ak)sr(Jk)i 1r(Jik)ssr(Jik)r(Jik p)i t 1i t 1且 k max(，n2,nJp Z即得证r(Ak)r(Ak 1)r(Ak s)2、A,证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T,使得T 1AT1BT又B为幕零矩阵所以B的特征值全为(2 )、由(1)知，kmax( n1, n 2,nJ使得k、r(A )kr( A1)r(A )又已知1nin i1,2,t1k n得证特别当r(A)r(A2)时,可得r(A)2134r(A ) r(A ) r(A )B为n阶方阵，B为幕零矩阵且 ABBA，则有1T 1BT

16、T 1(AB)T1AT T 1BTT 1(AB)TA BT-/又 T可逆由 T 1ATn为A的特征值由引理7,从而得证3、A为n阶方阵，求证 证明：由性质3，知存在幕零矩阵N，B可对角化,C为幕零矩阵且BC CB即存在可逆T，即有A TDT由性质11,知使得A使得 T1( N)N可对角化1(AN)TN幕零矩阵则-N也幕零矩阵又TDT 1与D相似,TDT11可对角化令 B TDT 1 CN，则有ABC1B TDT 1可对角化N为幕零矩阵又 D为对角阵1 1BC TDT C TT DCDC CD CDTT1CTDT CB得证4、A，B，C为n阶方阵，且ACCABCCBC AB BA，证明：存在自然

17、数 k n：,s.tCk0证明：由于AC CA BCCBCABBA，m ZCm Cm 1(AB BA)A(Cm 1B) (CCm 1ABm 1B)ACm1BAA(Cm 1B) (BCm 1)A由引理 11，得tr(A(Cm 1B) tr ( BC m 1)A)tr(Cm) tr(A(Cm 1B) (BC m 1)A) tr(A(Cm 1B) tr ( BC m 1)A) 0 由性质 2，得 C 为幂零矩阵由性质 9，知 k n , s.t C k 0 得证5、在复数域上， n 阶方阵 A 相似于对角阵等价于证明：因为 A 对角化，则存在可逆矩阵 T ，使得对于 A 的任一特征值 ，有 AE 与

18、 (AE)2 的秩相同。1T 1AT2从而有OnT 1(A E)T12On( 1)2T 1(A E)2T( 2)2O(n)2所以 T 1(AE)T 与 T 1(AE)2T 相同由于在复数域上，存在可逆矩阵 TJ1J2OJsT 1AT其中Ji使得i1OO阶数为ni(i 1,2,L ,s)若 J i (i1,2,L,s) 不全为对角阵，则不妨令J 1不可对角化，且有 ni 1 ，与 (A E)2 的秩相同0J1 En1OOO1000O2(J1 En1 )2 1 O O OOO1 0 0从而 知 J1 En1 的秩大 于 (J1 En1)2 的 秩，即 有 T 1(AE)T 的 秩大 于12T 1(

19、A E)2T 的秩-/也即A E的秩大于（AE）2的秩，这与已知矛盾所以所有Ji （i1,2丄,s）为对角阵，从而得证A相似于对角阵x y 0 例OxyA0 0 00 0 0主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆xy0001000001000解A0xy000100000100xy000xy00010000010000x0000100000nnxE yJ10 1 0 0 0其中 0 0 10 0且有J：0Jn0 000 10 000 01n 1汇 L ( 1rynxxxA 1 (xEyJn)1E山 L L23ln 1(1)n Jnn01xn 2L( 1)n 2 yn 1xxx xx00OM00L丄

20、x例1 aa2an1求A特别的a也是1、广f . Lr -L4 厶At厶A Zr-L h卄 FrA0 1Aaan 1可表为右当块的幂的矩阵和逆a0 01a0 001n n1a a2n a解:01 aan 1AEaJna2Jn2anJn 1n001a0001其中0 1 00 0 10 0 00 0 000000100n n1 0 00 1 0E0 0 00 0 0aJ-/10性质1当k=2即复数域C上的n阶2-幕零矩阵A 的 Jordan标准型为J1O，其性质性质Jm中Ji使kjOO O10 ki ki(ki0,1,2；i1,2Lmkii 1,且至少存在一个j ,2即至少存在一个Jk.j2：设C

21、是复数域,标准型为0 01 0而A是C上2-幕零矩阵,设A的秩为-，而 A 的 Jordan2，其中对角线上有r个013:两个2-幕零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。0设1J(0,k)引理1.2 :，则 J(0, k)k0,，J(0,k)0,(1l k)。定理1：复数域其中Ji证明:O10 kkC上的k-幕零矩阵A的标准型具有形式J1O(ki0,1L k；i 1,2L m)，且至少存在一个若当块，使kjk oO1kik因为A为幕零矩阵，故 A的特征值全为0，于是A的特征多项式为m矩阵的A的初等因子为 k2L km(k1L km可能相同，且ikin)，每一个初等因子kiJ1对应一个J块 (0 ki k )，这些J块构成一个若当形矩阵Jm因为a为k-幕零矩阵，所以J中存在Jk即至少存在一个j，使-/kj kA的多项式推论2 :秩不大于3的两个3-幕零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。证明：设A特征多项式fn ai n 1 L an iar利用 hamilao