2.3@函数的单调性

1、函数的单调性郝志隆观察下列两组图象各呈怎样的变化趋势观察下列两组图象各呈怎样的变化趋势n1n2xyoxyoxyoxyo图像呈上升趋图像呈上升趋势势 即即y随着随着x的的增大而增大增大而增大图像呈下降趋图像呈下降趋势势 即即y随着随着x的增大而减小的增大而减小定义定义: :设函数设函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为i i并说这个函数在这一区间有严格的单调性并说这个函数在这一区间有严格的单调性这一区间叫做函数这一区间叫做函数 的单调区间的单调区间f(x)如果对于属于定义域如果对于属于定义域i i内内某个区间某个区间上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值1x2x、 当当 时，都有时，都

2、有 )f(x)f(x2121xx )f(x)f(x21 当当 时，都有时，都有 21xx 则则 在这个区间是在这个区间是增函数增函数f(x)则则 在这个区间是在这个区间是减函数减函数f(x)1x1x2x2x)(1xf)(1xf)(2xf时当21xx )()(21xfxf都有时当21xx )()(21xfxf都有)(2xfxyxyoo分析下面函数的图像在 y轴左边y随x的增大而减小为减函数在 y轴右边y随x的增大而增大为增函数注意要指明区间2)(xxfxyo函数的单调区间函数的单调区间 -4，-2，-2，00，4,4, 7在在-2, 0,4, 7上是减函数上是减函数在在-4, -2,0, 4上是

3、增函数上是增函数 要了解函数在某一区间是否有单调性，从图象上观要了解函数在某一区间是否有单调性，从图象上观察较直观但很粗略，我们需要用定义去证明。察较直观但很粗略，我们需要用定义去证明。 给定给定y=fy=f（x x）的图象，根据图象说出）的图象，根据图象说出y=fy=f（x)x)在在-4-4，7 7 上的图象，试据图象说出上的图象，试据图象说出y=fy=f（x x）的单调区间和它在每一区）的单调区间和它在每一区间上的增减性间上的增减性xyo-2-447证明证明:)(3)23()23()f()f(212121xxxxxx21 xx 0 21xx0)f()f( 21xx)f()f( 21xx即上

4、为增函数在rxx23)f( 利用单调性定义利用单调性定义证明函数单调性步骤：证明函数单调性步骤： 据单调性据单调性定义证明函定义证明函数的单调性数的单调性 4. 下结论下结论则上的任意两个实数，且是、设,2121xxrxx证明函数证明函数2x3f(x)是是r r上的增函数上的增函数1.取值取值2.作差变形作差变形3.定号定号例3 ）上是减函数。，在（证明函数01)(xxf.), 0(1)(,).()(, 0)()(, 0, 0), 0(,11)()(,)0,212112212121211221212121上是减函数在所以即于是得又由得由则且上的任意两个实数是（设xxfxfxfxfxfxxxxx

5、xxxxxxxxxxfxfxxxx证明：小结1.函数单调性的定义注意：（1）某个区间 （2）任意2.函数单调性的判断步骤定义定义: :设函数设函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为i i并说这个函数在这一区间有严格的单调性并说这个函数在这一区间有严格的单调性这一区间叫做函数这一区间叫做函数 的单调区间的单调区间f(x)函数单调性是对某个区间而言的其定义是一个局部概念如果对于属于定义域如果对于属于定义域i i内内某个区间某个区间上的上的任意任意两个自变量的值两个自变量的值1x2x、 当当 时，都有时，都有 )f(x)f(x2121xx )f(x)f(x21 当当 时，都有时，都有 21xx 则则 在这个区间是在这个区间是增函数增函数f(x)则则 在这个区间是在这个区间是减函数减函数f(x)函数的单函数的单调性不能调性不能由两特