《散射讲义》ppt课件

1、第七讲第七讲 散射散射 一、散射截一、散射截面面散射过程：散射过程：Zds靶粒子的处在位置称为散射中心。散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。弹性散射：假设在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部形状都不发生变化，那么称弹性散射：假设在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部形状都不发生变化，那么称弹性散射，否那么称为非弹性散射。方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于遭到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器丈量。入射粒子流密度入射粒子流密度N N ：单位时间

2、内经过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入：单位时间内经过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描画入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。 散射截面：散射截面：设单位时间内散射到，方向面积元ds上立体角d内的粒子数为dn，显然drdsdn2dn N综合之，那么有：dnNd或1Ndqdn),(比例系数比例系数q(，)的性质：的性质：q(，)与入射粒子和靶粒子散射场的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数。q(，)具有面积的量纲2LNddnq故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布假设在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(，)，那么单位时间内经过

3、此截面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。2ddnNq),(总散射截面：总散射截面：3ddqdqQsin),(),(020 注注由由2式知，由于式知，由于N、 可经过实验测定，故而求得可经过实验测定，故而求得 。量子力学的义务是从实际上计算出量子力学的义务是从实际上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研，以便于同实验比较，从而反过来研讨粒子间的相互作用以及其它问题。讨粒子间的相互作用以及其它问题。ddn),(q),(q二、散射振幅二、散射振幅如今思索量子力学对散射体系的描画。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体

4、系的定态schrdinger方程4令ErU)(222)(2)(2222rUrVEk方程4改写为50)(22rVk由于实验观测是在远离靶的地方进展的，从微观角度看，可以以为。因此，在计算时，仅需思索处的散射粒子的行为，即仅需思索处的散射体系的波函数。设时，方程5变为r),(q0)(rVrrr6令7022kr将6式写成022222rLkr在的情形下，此方程简化为8r0222kr此方程类似一维动摇方程，我们知道：对于一维势垒或势阱的散射情况ikxikxkBeAexikxkcex式中为入射波或透射波，为散射波，波只沿一方向散射。对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在处的粒子的波函数应为入射波和

5、散射波之和。方程8有两个特解ikxeikxerikrefr),(),(ikrefr),(),(因此，refrikr),(),(2refrikr),(),(2代表由散射中心向外传播的球面散射波，代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。在处，散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波之和。即22rikze129为方便起见，取入射平面波的系数A=1，这阐明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。入射波几率密度即入射粒子流密度refAerrikrikz),()(ikxe1|2110散射波的几率流密度)(22*1*111*1*11ikikizziJzNk11单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为

6、12比较1式与12，得到222*2*22| ),(|2frrriJr),(NdfdsrfdsJdnr222| ),(| ),(|132| ),(|),(fq由此可知，假设知道了，即可求得，称为散射振幅，所以，对于给定能量的入射粒子，速率给定，于是入射粒子流密度N=给定，只需知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面，的详细方式经过求schrdinger方程5的解并要求在时具有渐近方式9而得出。下面引见两种求散射振幅或散射截面的方法分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射实际问题的方法，即准确的散射实际。),(f),(q),(fvv),(f),(fr三、分波法三、分波法 讨论粒子在中心力场中的散射

7、。粒子在辏力场中的势能为，形状方程3-1)(rU0)(22rVk取沿粒子入射方向并经过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程3-1的特解为由于如今与无关(m=0)，所以，方程1的特解可写成),()(lmlYrR)(cos)(llPrR方程3-1的通解为一切特解的线性迭加3-2lllPrRr)(cos)(),(Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第l个分波，通常称l=0,1,2,3的分波分别为s, p, d, f分波3-2代入3-1，得径向方程)(cos)(llPrR3-3令，代入上方程0)() 1()(12222rRrllrV

8、kdrdRrdrdrllrrUrRll)()(3-4思索方程3-4在情况下的极限解，令方程3-4的极限方式0)() 1()(2222rUrllrVkdrUdllrr由此求得：3-50)()(222rUkdrrUdll)sin()(lllkrArUllllkrkrArrR21sin)(为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数将3-5代入3-2，得到方程3-1在情形下通解的渐近方式lllllAkA2,r3-6另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数)(cos21sin),(0llllPlkrkrArr)(cos2)21()21(0llkrilkrillPeeikrAll3-7将平面

9、波按球面波展开3-8式中jl(kr)是球贝塞尔函数referrikrikz)(),(ikze0cos)(cos)() 12(llllikrikzPkrjilee3-9利用3-8，3-9，可将3-7写成lkrkrrkrJkrkrjll21sin1)(2)(2121)21()21(lkrilkrieeikr)(cos2) 12()(),(0)21()21(LllkrilkrilikrPeeikrilrefrr 3-10 3-6和3-10两式右边应相等，即)(cos2)21()21(0llkrilkrillPeeikrAllcos2) 12()()21()21(0LlkrilkrillikrPeei

10、krilref分别比较等式两边和前边的系数，即得3-113-12ikreikre)(cos) 12()(2)(cos210)21(0llillllillPeilikfPeAl)(cos) 12()(cos210)21(0llillllillPeilPeAl用乘以12式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性可以得到)(coslP0l lllldPP122sin)(cos)(cos0lillileileAl21)21() 12()21() 12() 12(llliilleleilA即3-13将此结果代入3-11式)(cos) 12()(2)(cos) 12(020lllilPlikf

11、Pell)(cos) 1( ) 12(21)(21lilPelikfl3-14可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求l的详细值关键是解径向波函数R(r)的方程3-3)(cos)() 12(211liiilPeeeliklll)(cossin) 12(10llilPelkll l的物理意义：的物理意义： 由3-8，3-9知，是入射平面波的第个分波的位相；由3-6知，是散射波第l个分波的位相。所以，l是入射波经散射后第l个分波的位相挪动相移。lkr21lllkr21微分散射截面微分散射截面3-15总散射截面212sin)(cos) 12(1| )(|)(llillePlkfqdqdqQsin)(

12、2)(dPPellkllllillllsin)(cos)(cossinsin) 12)(12(20)(002 l lllilllellkll122sinsin) 12)(12(2)(002lllk202sin) 12(4即3-16式中3-17是第l个分波的散射截面0llQQlllkQ22sin) 12(4由上述看们看出：求散射振幅f()的问题归结为求相移l，而l的获得，需求根据U(r)的详细情况解径向方程3-3求Rl(r)，然后取其渐近解，并写为即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，必需寻觅各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法lrllkrkrrR2sin1)(

13、光学定理光学定理 证明见后证明见后)0(Im4fkQ分波法的适用范围：分波法的适用范围：分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原那么上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实践上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不能够的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，到达一定准确度即可。散射主要发生在势场的作用范围内，假设以散射中心为心，以a为半径的球表示这个范围，那么ra时，散射效果就可以忽略不计了，由于入射波的第l个分波的径向函数jl(kr)的第一极大值位于附近，当r较大时，l愈大，klr 0)(0rlkrj0klr愈快，假设jl(kr)的第一极大值位于，即lka时，在ra内，jl(k

14、r)的值很小。亦即第l个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只需第l个分波之前的各分波必需思索，所以，我们把分波法适用的条件写成，而的分波不用思索，ka愈小，那么需计算的项数愈小，当kaka的分波散射截面可以略去。kal kal 阐明：阐明：知U(r)时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及根本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道U(r)的详细方式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的方式和性质，这是研讨原子核及根本粒子常用的一种方法。思索题：什么是分波法思索题：什么是分波法分波法是说入射平面波eikz按球面波展开)(cos)() 12(0cosllll

15、ikrikzPkrjilee展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移l。而l的获得需根据U(r)的详细方式解径向方程0)() 1()(22)(122222rRrllrUEdrrdRrdrdr求出Rl(r)，然后取其渐近解，并写成即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，计算散射截面时须寻觅各个分波的相移，这种方法称为分波法。 lrllkrkrrR21sin1)(分波法运用举例ararUrU0)(0ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。球方势阱和球方势垒的低能散射。 粒子的势能粒子的势能U0是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗

16、意波长比势场是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况，求粒子作用范围大很多质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况，求粒子的散射截面。的散射截面。Solve: 粒子的径向方程粒子的径向方程 1其中其中 E为粒子的能量，为粒子的能量，U(r)为粒子在靶粒子中心力场中的势能。为粒子在靶粒子中心力场中的势能。对于球方势阱对于球方势阱U000)() 1()()(12222rRrllrVkdrrdRrdrdrll222)(2)(,2rUrVEk2ararkUrUrV0|2)(2)(20202因粒子波长，所以仅需讨论s

17、波的散射l=0，据此及2式，可将方程1写成3411 kaakakharrRkdrrdRrdrdr0)()(102022arrRkdrrdRrdrdr0)()(102022其中令，那么3，4可写成2022kkkrrurR)()(00560)()(02202rukdrrud0)()(02202rukdrrud其解为arrkAru)sin()(00arkrBru)sin()(0078于是arrkrArR)sin()(00arkrrBrR)sin()(00109因在r=0处有限，必需有所以在r=a处，及延续，因此，及在r=a处延续由7，8式得rrurR)()(000)0(0u00)(0rRdrrdR)

18、(0)(0rudrrdu)(0由此求得相移11总散射截面aktgkkatgk1)(10kaaktgkkarctg0120220sin4kQQQllkaaktgkkarctgk22sin4在粒子能量很低的情况下，。利用x1时，arctgxx，有1314对于球方势垒。)0(k0kk 11000akatgkkakaaktgkk2002202022144sin4akatgkakkQ00U这时，用ik0替代以上讨论中的k0，在粒子能量很低的情况下，13变为1514写为)0(k1000akathkka16当时，由于代入16式，得200214akathkaQ0U0k100000akakakakeeeeath

19、k24aQ低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为a的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为a的硬球的最大截面面积，它是量子力学计算的结果的。)(2a41四、玻恩近似四、玻恩近似 分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能可看作是微扰，体系的哈密顿算符为)(rUHHH0其中，是粒子的动能自在粒子的哈密顿量，其本征函数取箱归一化的动量本征函数，粒子与散射力场的相互作用能。220pH rk ikeL23波矢量，pk)(rUH这里，采用箱归一化意味着体积L3内只需一个粒子。

20、于是，入射粒子流密度单位时间内，散射到方向立体角内的粒子数3 LN),(ddLqNdqdn3),(),(1另一方面，入射粒子由于遭到靶粒子力场的微扰作用，从动量为的初态跃迁到动量的末态，即对于弹性散射，动能守恒k)(rkk)(rk)(rkkkk|)(rk单位时间内，粒子从初态跃迁到动量大小为，方向为的立体角内一切末态上的几率，即跃迁几率2跃迁距阵元)(rkkp),(ddmHkk)(223为动量大小为，方向角为的末态数目态密度drrUHkkkk)()(*derULrkki)(3)()(mk),(4kLm32)(将3、4代入2式，得出5此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角d内的粒子数dderU

21、kLrkki2)(323)(46比较1，6式，并留意到，立刻可得 dderUkLdnrkki2)(323)(4kv7式中绝对值内保管负号是由于用格林函数法算出的散射振幅有一负号。引入矢量2)(422)(4),(derUqrkki),(fkkkKkkkK2sin2kK 其中是散射角，是散射引起动量的变化，于是KderUderUrKirkki)()()(8取的方向为球坐标的极轴方向，为方位角，那么可简化积分9因此K,2000cos2sin)()(ddedrrrUderUiKrrKi0)sin()(4drKrrrUK1020422)sin()(4),(drKrrrUKq此式即为玻恩近似表达式，假设势

22、能U(r)知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，运用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出U(r)的详细方式后，如何计算积分。下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。0sin)(KrdrrrU2sin)sin(4)sin()(2)sin()(0202200340022200222222drrKrrUKaKdrKrereUaKedrKrreeUkaaKdrKrreeUrUararaKraraarar玻恩近似法运用举例：玻恩近似法运用举例：玻恩近似法的适用范围：玻恩近似法的适用范围： 玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，它与分波法适用于低能散射相互补充，作为处理散射问题的两

23、种主要近似方法。ex.1 计算高速带电粒子计算高速带电粒子 ，被中性原子内部的屏蔽库仑场，被中性原子内部的屏蔽库仑场 所所散射的散射截面。散射的散射截面。eZarsereZZrU2)(Solve：高速带电粒子属高能粒子，故：高速带电粒子属高能粒子，故20422)sin()(4)(drKrrrUKq2042422)sin(42drKreKeZZars122242422142aKKKeZZs22244422)1 (42KaaeZZs其中2当入射粒子的能量很大，散射角较大时3所以上式可近似写成2sin2kK 12sin2kKa42sin1614)(4)(44442244442222keZZKaaeZ

24、Zqss2csc4442422seZZ此式称为Rutherford散射公式。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射不思索屏蔽作用得出。这阐明式3是经典力学方法可以适用的条件。式4阐明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深化到原子内部，因此核外电子不起屏蔽作用。当角很小时，条件3不能满足，Rutherford公式不能成立，此时需用1式。 ex.1.粒子遭到势能为粒子遭到势能为 的场的散射，求的场的散射，求s分波的微分散射截面。分波的微分散射截面。2)(rarU解解 为普通起见，先思索为普通起见，先思索l分波的相移，再取特殊情况分波的相移，再取特殊情况s分波的相移。分波

25、的相移。根据边境条件根据边境条件 1解径向解径向Rl(r)满足的径向方程满足的径向方程llrllkrkrAkrR21sin)(令0)() 1()(22)(122222rRrllrUErRdrdrdrdr20222,2aVEk0)() 1(1220222rRrllrVkRdrdrdrdr2又令所以2式可以写成0)() 1(2)(022222rRVllrkRdrdrrRdrdr)(1)(1)(ukrukrrRkr3令于是3式又可写成0)(21)()(022222uVldduudd02221Vl4上式是阶贝塞尔方程，其解为因此0)()()(22222uuddudd)(JJkrrR1)(但当时，所以在

26、r=0附近0r)(krJ)(1)(krJkrrRr421cos2)(krkrkrJ2421sin2krkr421sin2krkr由5比较1式和5式，那么有421sin2)(krkrrRr)(24ll21) 12(4l02212) 12(4Vll222212) 12(4all令将值代入微分散射截面的表达式2811400al0202sin)(cos) 12(1)(lilllePlkq立刻可得到s分波的微分散射截面20020sin)(cos1)(0iePkq022sin1k28114sin122aks分波散射截面dqQl)(028114sin422akex.2.慢速粒子遭到势能为慢速粒子遭到势能为

27、的场的散射，的场的散射，假设假设 ， ，求散射截面。，求散射截面。ararUrU当当0)(00UE 00U解解 由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需思索由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需思索s 分波。分波。由径向波函数由径向波函数R(r)所满足的径向方程所满足的径向方程0)() 1()(22122222rRrllrUERdrdrdrdr当l=0时1令20)()(2212222rRrUERdrdrdrdrrrurR)()(3将代入以上方程并令40)()(2)(222ruruEdrrudararUrU0)(020222)(2,2EUkEk56arrukdrrud0)()(222arrukdrru

28、d0)()(222areBeArurkrk)(arkrCru)sin()(0areBeArrrurRrkrk)(1)()(arkrrCrrurR)sin()()(0当应有限，那么要求)(0rRr 0BAarrkshrAeerArRrkrk)()(在r=a处，R(r)和为延续drrdR)(两式相除，得 akAshkaC)sin(0akchkAkakC)cos(0(7)总散射截面akthkkkatg)(0akthkkarctgka00220sin4kQQakthkkarctgkak22sin4讨论：当粒子的能量讨论：当粒子的能量 时，时， 0UE 020202)(2kUEUk1kkathkkkka

29、akthkkka000100akathkka假设粒子能量很低k0的情况下11000akathkka20202204sin4kkQQ200214akathka假设时，于是有0U0k100000akakakakeeeeathk24 aQ2aQ在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积。 它与经典情况不同，在经典情况下， ex.3.只思索只思索s分波，求慢速粒子遭到势场分波，求慢速粒子遭到势场 的场散射时的散射截面的场散射时的散射截面4)(rarU解根据边境条件解根据边境条件 解径向方程：解径向方程： llrllkrkrAkrR21sin)(令那么上方程简写为：0)() 1()(22)(1222

30、22rRrllrUErRdrdrdrdrll222Ek4042212)(2)(rVrarUrV令代入上方程，有0)() 1()(1240222rRrllrVkrRdrdrdrdrll)(1)(llurRkr0)(21)()(2202222lllulrVddudud只思索s分波，l=0，由于，以上方程在时的渐近方式为020rVr0)(21)()(22222llluddududr此为阶贝塞尔方程，其解为由于，所以有限解为于是21)(21J0)(21J)(21J)(1)(210krJkrrRr 4221cos2krkrrkrkrsin2比较1和2两式，并留意取1式中的l等于0，那么000sin402

31、20kQex.4.用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面中散射的散射截面 220)(raeUrU 解解 根据微分散射截面公式根据微分散射截面公式于是将于是将 代入上式积分代入上式积分20422sin)(4),(RrdrrrUKq220)(raeUrU000sinsin)(22KrdrreUKrdrrrUraKrdreaKUKreaUraracos2sin20200202222224220212aKeaaKU224304aKeaKU222462204),(aKeaUq2sin2kK 2sin2exp4),(22246220akaUq)cos1 (exp422462

32、20akaUdqQ),(ddakeaUaksincosexp42220046220220222442202cosexp222akekaUak22222224422022akakakeeekaU2222420222aksheaUakex.5.用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分中散射的微分散射截面，式中散射截面，式中 。ararbrrzerUs当当0)(222szeab 解解 KrdrrrUsin)(0Krdrbrzeassin022KrdrrKbKrbrzeKaas0022cos2cos1aassKrdrbKKrrbKKabazezeK0202222sin2sin2cos1)cos1 (2sin2cos132222KabKKabKaKaba