《数字信号处理导论-第2章》PPT课件

1、2.1 离散时间系统的基本概念2.2 离散时间系统的输入输出关系2.3 Z变换的定义2.4 Z变换的收敛域2.5 Z变换的性质/ 逆Z变换简介2.6 离散系统的转移函数2.7 离散系统的频率响应2.8 离散系统的极零分析2.9 滤波器的基本概念2.10 离散系统的信号流图与结构2.11 与本章内容有关的MATLAB文件第2章 离散时间系统2.1 离散时间系统的基本概念)()(nxTny)(nx)(ny( )h n“系统（system）的作用是将输入信号按照需要变为（或映射为）所需要的信号，即：离散时间系统的两个主要内容：1. 系统的分析：给定系统，分析 其各种性能；2. 系统的综合：给定系统技

2、术指标，设计出所要的系统连续系统的描述：微分方程, 卷积，转移函数（Laplace变换）, 频率响应（Fourier 变换）离散系统的描述：差分方程, 卷积，转移函数（Z 变换）, 频率响应（DTFT, DFT）连续系统：由电阻、电容、电感、运算放大 器等元器件组成的硬件系统；离散系统：可以是一个数字系统，但也可以 仅仅是一个差分方程。例例:( )(1)( )y nay nx n当前时刻当前时刻差分方程前一时刻例例:10)(1)(MkkknxbMny3:ifM 0121( )( )(1)(2)3y nb x nb x nb x n0121:ifbbb( )( )(1)(2) 3y nx nx

3、nx n)(nx)(ny)(nh令令)()(nnx则则)()(nhny( )h n描述了离散系统的特征，是重要的“物理量”，由 可得到( )h n( ),()jH zH e例例:)() 1()(nxnayny)() 1()(nnahnh0) 1(hIIR系统1)0(haahh)0() 1 (2) 1 ()2(aahh即即)()(nuanhn0:nnanh)(0n)2() 1()()(ncxnbxnaxny)2() 1()()(ncnbnanhah)0(bh) 1 (ch)2(0) 3(h,)(cbanh例有限长：FIR 系统1. 线性线性 Linear)()(11nynxT)()(22nynx

4、T1212( )( )( )( )Tx nx ny ny n含意：该系统满足迭加原理2. 移不变性移不变性 Shift Invariant)()()()(knyknxTnynxTLinear-Shift Invariant System LSI含意： 移不变性质保证对给定的输入，系 统的输出和输入施加的时间无关。等同于等同于:)()()()(knhknTnhnT移不变性的图示说明：3. 因果性因果性 Causality( ) ( ), (), ()0,0y nf x n x nky nmkm因果系统因果系统),2(),1()( nxnxfny非因果系统非因果系统含意：一个实际的物理系统，其当前

5、时刻的输出只能和当 前时刻的输入、过去时刻的输入与输出有关，而不能和将来时刻的输入与输出有关。0, 0)(nnh0, 0)(nnx4. 稳定性稳定性 StabilityRnx | )(|Qny | )(| 若： 有：,R Q 含意：输入有界，输出也有界 , BIBO Bounded-input, Bounded-output：多个判断方法定义例例1:( )( )y nnx n11122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )y nT x nnx ny nT x nnx nletx nx nx n如何判断：线性？移不变？ 因果？稳定？线性！121212( ) ( )( )(

6、)( )( )( )( )y nT x nnx nx nnx nnx ny ny n则所以： 系统对 的输出是( )x n( )nx n对 的输出是()x nk()nx nk而：由于：( )( ) ( )y nnx nT x n()() ()y nknk x nk所以：() ()y nkT x nk本系统不具备移不变性！( )( )y nnx n另外，系统是因果的，但不是稳定的( )(1)( )y nay nx n例2：本系统是线性系统、移不变系统、因果系统，如果 则该系统是稳定的。1a 11122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )T x ny nAx nBT x n

7、y nAx nBx nx nx n121212 ( )( )( )( )( )( )( )T x nAx nx nBA x nA x nBy ny n( )( )y nAx nB例3：所以本系统是非线性系统例例4：系统：系统)()()()() 1()(2nxnynxnynxny线性、移不变性、因果性、稳定性是对系统的基本要求。希望能掌握判断的方法。非线性系统的研究不在本课的范围。rkba ,1.为常数为常数2. 无常数项无常数项3. )(),(nynx为一次幂为一次幂4.时间时间 ，也为一次幂，也为一次幂nNkMrrkrnxbknyany10)()()(线性移不变系统的一般形式：线性移不变系统

8、的一般形式：)(nx)(ny( )h n( )( ) ()( 1) (1)(0) ( )(1) (1)kx nx knkxnxnxn 将 作如下形式的分解：( )x n2.2 离散系统输入输出关系)()0(nx)()0(nhx) 1() 1(nx) 1() 1(nhx) 1() 1 (nx) 1() 1 (nhx )(nx )(nykknhkxny)()()(线性卷积卷积是卷积是 LSI 系统的基本特点：系统的基本特点：( )( ) ()( ) ()( )( )kky nx k h nkh k x nkx nh n计算步骤：计算步骤： 1. 将 换成 ，得 ； 2. 将 翻转，得 ； 3. 将

9、 移动 ，得 ； 4. 将 和 对应相乘、相加。nk( ), ( )x kh k( )h k()hk()hkn()h nk( )x k()h nk( ):( ):( ):x nNh nMy nmax( )() | ( )| ( )|kny nx nkh kxh n1lh 1： 给定 ，求系统对 任意输入（ ）的输出； 2: 系统稳定性判据： ( )h n( )x n所以，如果系统稳定，则：卷积的应用即：nnh| )(|nxymnynxmr)()()() ( )nx nm y n卷积和相关的关系：二者的卷积：( )() ( )np mx mn y n( )()( )xyrmxmy m定义定义:

10、两个序列的关系两个序列的关系描述描述LSI系统输入输出关系系统输入输出关系计算计算: 任一序列都不需任一序列都不需 要翻转要翻转 其中一个序列要翻转其中一个序列要翻转 上式的理解：卷积需要翻转，而相关不需要翻转。如果用卷积表示相关，所以需要预先把一个序列翻转。二者在计算上有相似性，但物理概念明显不同：时域：时域：)(tx复频域：复频域： dtetxsXst)()(jsf2Laplace 变换 s 平面j0所以，若0sj 则dtetxjXtj)()(Fourier 变换 频域：s 平面j0傅里叶变换是 仅在虚轴上取值 的拉普拉斯变换sjs因为( )( )()snx nx ttnT() ()ssn

11、x nTtnT对离散信号，可否做拉普拉斯变换 ( )( )stx nx n edt()()stssnx nTtnT edt()()sssnTsTsnx nT eX essTzeL令：()sssjTTj Tjzreeee nnznxzX)()(则：得到：得到： sTsreT sz与拉普拉斯变换 对应连续信号 变换 对应离散信号 zssTj Tjreee离散信号的z变换nnjjjrjenxeXerez)()(|12sff离散时间序列的傅里叶变换，DTFTz平面Re zIm z0z平面Re zIm z01r 0202ssssf 020224:2ssTff z平面Re zIm z0rjs 平面02sf

12、4sf2sf4sf00000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 10.50.51k2kN1N ( )( ) ( )nnj nnnX zx n zx n re1|:jrzrennjjenxeX)()( ):X z 级数收敛2.4 Z变换的收敛域幂级数条件：除 外，还取决于 的取值( )x nrNote: r 是 的模，所以 ROC 具有 “圆”，或“环”的形状z)()(nuanxn例1：10011( )()1,ROC1( )1nnnnnX za zazifazthat iszathenX zaza1( )zX zza) 1()(nuanxn例2：) 1( nu011,n 其他11011(

13、)1()111ROC:1,nnnnnX za za zza zzaa zza ROC:za)()(nuanxn注意：( )zX zza) 1()(nuanxn( )zX zzazaza21: )(NNnnx1.1221, 0, 0NNNNROC：0|z右边有限长序列21211211( )( )()()NnNNn NX zx n zx Nx Nzz0z 2.21: )(NNnnx0, 021NN|0zROC:双边有限长序列0,zz 3.1: )(Nnnx1|Rz 4.1: )(Nnnx2|Rz 5.nnx: )(21|RzRROC:右边无限长序列ROC：左边无限长序列ROC:双边无限长序列思考：

14、什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？1. 线性线性:1212( )( )( )( )x nx nXzXz2.5 Z变换的性质( )2nj nj nrx nee如何求( )cos( )nx nrnX z 表示 单位延迟( )( )nnX zx n z2. 移位移位: （1） 双边双边Z变换变换)()(zXzknxk()( )kx nkz X z)() 1(1zXznx1z（2） 单边单边Z变换变换0( )( )nnXzx n z1()( )( )knnkx nkzXzx n z10()( )( )kknnx nkzXzx n z 仍为双边序列)(nx（3） 为因果序列为因果序列, 则则)(nx

15、10()( )( )kknnx nkzX zx n z( )( )XzX z因果序列的双边Z变换 和其单边Z变换相同1()( )( )( )knknkx nkzXzx n zzX z3.( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk)(zY)(zX)(zH nnknnzknhkxznyzY)()()()(knnzknhkx)()(knknkzknhzkx)()()()()(zHzX0)()(nnznxzX110( )( )mnmccnX z zdzx n zzdz101(1)()( )( )( )m ncnm nj m nnm nj m nnx nzdzx nredzx n

16、 rjed jrez drjedzj逆Z变换:denmj)(20nmnm11( )( )2ncx nX z zdzj1()( )( )mm nj m ncnX z zdzx n rjed Z逆变换的基本公式1. 长除法长除法101( )( )( )nnB zX zxx zx zA z2. 部分分式法部分分式法122( )( )( )()()CCB zABX zA zzazbzczc1( )Res( )nx nX zz3. 留数法留数法)(nx)(ny)(nh1.( )( )( )( ) ()ky nx ny nx k h nk2.NkMrrkrnxbknyany10)()()(3.2.6 离散

17、系统的转移函数( )( )( )H zY zX z0( )( )nnH zh n z4.5.01( )( )( )1MrrrNkkkb zB zH zA za z以上 6 个关系是离散时间系统中的基本关系，它们从不同的角度描述了系统的性质，它们彼此之间可以互相转换。0| )()()(neznjjjzHenheH6.()( )( ) ()( )jn kkky nh k x nkh k e( )jnj kkeh k e令令nnjjenheH)()(则则)()(jnjeHeny又一特殊的输入2.6 离散时间系统的频率响应( )j nletx nennjjenheH)()(系统的频率响应)()(jnj

18、eHeny 系统的输出包含了和输入同频率的正弦，但受到一复函数的调制。该复函数即是系统的频率响应。频率响应是系统单位抽样响应的傅里叶变换，在系统的分析和综合中起到了重要的作用。频率响应进一步可分成幅频响应和相频响应，并有如下性质：)()()2(jjeHeH2)()()(jIjRjejHeHeH()() |()|jjjH eH ee 2122)()(| )(|jIjRjeHeHeH)(/ )()(1jRjIeHeHtg周期性，实部与虚部模与角度，幅频与相频2,1,0,kra kNb rMNM120121212( )( )1MMNNB zbb zb zb zA za za za z上述表达式贯穿全

19、书！2.8 离散系统的转移函数NkkMrrpzzzGzH11)()()(,1,;,1,;rkz rM Zerosp kN Poles使分子多项式使分子多项式 = 0 的的 的的 Zeros (零点零点)rz)(zH使分母多项式使分母多项式 = 0 的的 的的Poles(极点极点)kp)(zH0111()( )( )( )1()MMrrrrrNNkkkkkzzb zB zH zGA za zzp为了保证系统分子、分母多项式的系数始终为实数，所以，如果系统有复数的极、零点，那么这些复数的极、零点一定共轭出现。即：jbazjbazrr(kkpcjdpcjd系统分析的任务：给定一个系统，可能是( )H

20、 z( )h n()jH eNkMrrkrnxbknyany10)()()(判断（或分析）线性？移不变？稳定？因果？幅频：低通？高通？带通？相频：线性相位？最小相位？1. 稳定性: 判别条件1：01( )( )nh nh nl 稳定性: 判别条件2 ：Nkpk, 1, 1| 极零分析的应用所有极点都必需在单位圆内！1100110( )( )( )NkkkNnkkkNnkknnkNnkkknc zH zzph nch nccppp证明：11|()|MjrjrNjkkezH egep()11()()()Mjrjj N MrNjkkezH egeep2. 幅频特性：幅频特性：0jerz|jrez11

21、|()|MjrjrNjkkezH egep观察：1. 当 时，|jkep最小；0jekp|jkep2. 极点 约接近于单位圆，|jkep越小；kp如何影响幅频 3. 注意，向量 在分母上。|jkep低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器2cc02()jH e2cc0222c01 c2c1c22c201 c2c1c23. 相频：相频：NkkjMrrjjpezeeH11argarg)(arg()arg()arctan()jjIjRHeH eHe|()| 1jH ezzH)(例：( )02 相位的卷绕相位的卷绕 (wrapping) 解卷绕解卷绕 若在某一个 处, 在单位圆上有一零点, 则若在某一

22、个 处, 在接近单位圆有一极点, 则 4. 极极-零点对系统幅频的影响：零点对系统幅频的影响：|()| 0jH e| )(|jeH1z 低通滤波器在 处一定没有零点，在 其附近应有一个极点；同理，高通滤波器在 处一定没有 零点，在其附近应有一个极点；带通、带阻滤波器的极零位置有何特点1z 在 处的极、 零点不影响幅频, 只影响相频。 0z -1-2-3-4-1-2-3-41 .1836+.7344z +1.1016z +.7374z +.1836z( )100 1-3.0544z +3.8291z -2.2925z +.55075zH z 例：例： 给定系统给定系统求： 频率响应 单位抽样响应

23、 极零图-1.5-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part极零图00.10.20.30.40.500.511.500.10.20.30.40.5-10-8-6-4-20频率响应0510152025303540-0.1-0.0500.050.10.150.20.25单位抽样响应极零分析是数字信号处理的基本功，对不太复杂的系统，应能从其极零分布大致判断出其幅频特性。请观看几个例子：零点影响极点影响目的：去除噪声，或不需要的成分；原理：信号通过线性系统输入输出的关系。)(nx)(ny)(nh( )( )( )y

24、 nx ny n( )( )( )()()()jjjY zX z H zY eX eH e2.9 滤波的基本概念()jX e()jH ec()jY ec线性滤波的原理1011( )1zHzapz1111( )1zH zbpz11211(1)(1)( )(1)(1)jjzzHzcrezrez例：给定三个系统，分析其幅频相应0102000.10.2-101-101Real PartImaginary Part00.5100.5101020-0.500.51-101-101Real PartImaginary Part00.5100.5101020-0.200.2-101-101Real PartI

25、maginary Part00.5100.511.5( )h n极零图()jH eMrrNkkrnxbknyany01)()()(观察：实现本系统，需要一个加法器，观察：实现本系统，需要一个加法器， 个乘法器，个乘法器， 个延迟器。个延迟器。 2.10 系统的结构及信号流图NMNM01( )( )( )1MrrrNkkkb zY zH zX za z若将上图作一改造，可大量节约延迟器1( )( )1NkkkX zW za z)(1)(10zXzazbzYNkkkMrrr0( )( )MrrrY zW zb z10( )()( )( )()NkkMrrw na w nkx ny nb w nr

26、则：及直接实现： 2/110)(1)(NkkNkkkMrrrzHzazbzH12/2( )()Ny nx hhh)(nx1( )H z)(2/zHN)(ny 级联实现：12,1,212,1,21( ),1,12kkkkkzzNHzka zaz12/2( )( )( )( )( )( )( )Ny nx nh nx nh nx nhn/21( )( )NkkH zHz12( )( )H zHz/2( )NHz)(nx)(ny并联实现： 在数字信号处理中，由于表示“数”的字长总是有限的，这就必然带来误差。对一个离散系统，这些误差包括如下几个方面： 模拟信号抽样时的量化误差 ，相当于引人一个误差 序列 ； 在系统中传递，最后出现在输出端； 系统的系数也要量化，量化就必然产生误差，该误 差一定会影响系统的性能；系统中加、减和乘法运算将产生舍入误差 。( )e n( )e n请思考：直接实现、级联实现和并联实现，那一种实现方式对上述误差最不敏感？滤波、系统级联和并联2.11与本章内容有关的MATLAB文件 conv.m 用来实现两个离散序列的线 性卷积。其调用格式是： y=conv(x , h)