北京市大兴区高三一模理科数学试题及答案

1、2016年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）a0b1cd22在方程（为参数）所表示的曲线上的点是（）a（2，7）b（，）c（，）d（1，0）3设公差不为零的等差数列an的前n项和为sn，若a4=2（a2+a3），则=（）abc7d144将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象则函数g（x）的一个增区间是（）a（，）b（，）c（，）d（0，）5使“ab”成立的一个充分不必要条件是（）aab+1b1ca2b2da3b36下列函数：

2、y=；y=（x1）3；y=log2x1；y=（）|x|中，在（0，+）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）abcd7某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）a6b8c10d128远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）a336b510c1326d3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在（1x）5的展开式中，x2的系数为_（用数字作答）10己知向量=（l，2），=（x，2），且丄（），则实数x=_11若双曲线=

3、1（a0，b0）的一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率e=_12为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m，平均数为，则me，m，之间的大小关系是_13已知ab是圆o的直径，ab=1，延长ab到c，使得bc=1，cd是圆o的切线，d是切点，则cd等于_，abd的面积等于_14已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n2，nn*）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的最大值是_；若n=2，则的最大值等于_三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15如图，在四边形ab

4、cd中，ab=4，ac=2，cosacb=，d=2b（）求sinb；（）若ab=4ad，求cd的长162015年，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：中国十佳宜居城市中国十佳最美丽城市排名城市得分排名城市得分1深圳90.21杭州93.72珠海89.82拉萨93.53烟台88.33深圳93.34惠州86.54青岛92.25信阳83.15大连92.06厦门81.46银川91.97金华79.27惠州90.68柳州77.88哈尔滨90.39扬州75.99信阳89.310九江74.610烟台88.8（i）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均

5、数分别为与，方差分别为s12，s22，试比较与，s12，s22的大小；（只需要写出结论）（）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率（）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用x表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求x的分布列和数学期望17如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，adcd，bc=2，ad=cd=1，m是pb的中点（）求证：am平面pcd；（）求证：平面acm平面pab；（）若pc与平面acm所成角为

6、30，求pa的长18已知函数f（x）=lnx+ax2（2a+1）x，其中a0（）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）当a0时，判断函数f（x）零点的个数（只需写出结论）19已知椭圆c： +=1（ab0）的长轴长为2，右焦点f（1，0），过f作两条互相垂直的直线分别交椭圆g于点a，b和c，d，设ab，cd的中点分别为p，q（）求椭圆g的方程；（）若直线ab，cd的斜率均存在，求的最大值，并证明直线pq与x轴交于定点20数列an是由1，2，3，2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合b，即b=x|x=an+i，n=0，1，2，2016

7、m（）若m=8，求b中元素的最大值；（）下列情况下，集合b能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列an，若不能，说明理由m=8，n=8k，k=0，1，2，251；m=3，n=3k，k=0，1，2，671（）对于数列an，若m=8，记b红元素的最大值为d，试求s的最小值2016年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）a0b1cd2【考点】复数求模【分析】化简复数z，求出它的模长即可【解答】解：复数z=i（1+i）=1+i，|z|=故选：c2在

8、方程（为参数）所表示的曲线上的点是（）a（2，7）b（，）c（，）d（1，0）【考点】参数方程化成普通方程【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可【解答】解：cos2=12sin2=12x2=y方程（为参数且r）表示x2=（1y）将点代入验证得b适合方程，故选：c3设公差不为零的等差数列an的前n项和为sn，若a4=2（a2+a3），则=（）abc7d14【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：a4=2（a2+a3），a4=2（a1+a4），则=7故选：c4将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数

9、y=g（x）的图象则函数g（x）的一个增区间是（）a（，）b（，）c（，）d（0，）【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）=sin2（x+）=cos2x的图象令2k2x2k，求得kxk，函数g（x）的增区间是k，k，kz，可得函数g（x）得一个增区间为（，），故选：b5使“ab”成立的一个充分不必要条件是（）aab+1b1ca2b2da3b3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件

10、和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：a若ab+1，则ab成立，即充分性成立，反之若ab，则ab+1不一定成立，即ab+1是“ab”成立的一个充分不必要条件，b当b0时，由1得ab，则ab不成立，即1不是充分条件，不满足条件c由a2b2得ab或ab，则a2b2不是充分条件，不满足条件d由a3b3得ab，则a3b3是ab成立的充要条件，不满足条件故选：a6下列函数：y=；y=（x1）3；y=log2x1；y=（）|x|中，在（0，+）上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）abcd【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据反比例函数的单调性，指数函数的单调性，单调性定义，以及函数零点的定义便可

11、判断每个函数是否满足条件，从而找出正确选项【解答】解：反比例函数在（0，+）上是增函数；x0时，；该函数不存在零点；y=（x1）3，x=1时，y=0；即该函数在（0，+）上存在零点；y=log2x1，x=2时，y=0；即该函数在（0，+）上存在零点；x（0，+）时，；为减函数，在（0，+）上为增函数；x0；函数在（0，+）上无零点；在（0，+）上是增函数且不存在零点的函数的序号是故选a7某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）a6b8c10d12【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图和三视图之间的关系求出俯视图的长、宽，由三角形的面积公式求解即可【解答】解：根据正

12、视图和侧视图，画出俯视图如图所示：其中虚线是边长为4的正方形，两个顶点是边的中点，所以俯视图的面积s=6，故选：a8远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）a336b510c1326d3603【考点】排列、组合的实际应用【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为173+372+27+6=510故选：b二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9在（1x）5的

13、展开式中，x2的系数为10（用数字作答）【考点】二项式定理【分析】求出通项，化简，取r值，得到所求【解答】解：（1x）5的展开式的通项为，零r=2，得到x2的系数为（1）2=10；故答案为：1010己知向量=（l，2），=（x，2），且丄（），则实数x=9【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】利用向量的垂直关系，通过数量积求解即可【解答】解：向量=（l，2），=（x，2），且丄（），可得（1，2）（1x，4）=0即9x=0，解得x=9故答案为：911若双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率e=【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，

14、由条件可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为：y=x，由一条渐近线方程为x2y=0，可得=，即b=2a，即有c=a，可得e=故答案为：12为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为m，平均数为，则me，m，之间的大小关系是mme【考点】频率分布直方图【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小【解

15、答】解：由图知众数m=5由中位数的定义知，得分的中位数为me，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，me=5.5，=（23+34+105+63+37+28+29+210）=5.97，mme，故答案为：mme13已知ab是圆o的直径，ab=1，延长ab到c，使得bc=1，cd是圆o的切线，d是切点，则cd等于，abd的面积等于【考点】圆的切线方程【分析】直接利用已知结合切割弦定理求得cd；求解直角三角形求得sindob，然后代入三角形面积公式求得abd的面积【解答】解：如图，ab=1，bc=1，ac=2，由切割弦定理可得：cd2=bcac=12

16、=2，连接od，则odcd，在rtodc中，由cd=，oc=，得sindoc=，=故答案为：，14已知函数f（x）=，若在其定义域内存在n（n2，nn*）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的最大值是3；若n=2，则的最大值等于4【考点】分段函数的应用【分析】作出f（x）的图象，利用=k的几何意义是过原点的直线与f（x）相交点的斜率利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图： =k的几何意义是过原点的直线与f（x）相交点的斜率，由图象知过原点的直线和f（x）最多有3个交点，即n的最大值是3，若n=2，则直线与f（x）有两个交点，则当过原点的直线y=kx的斜率k=0，或者

17、y=kx与f（x）在1x3相切时的斜率，其中的最大值为y=kxf（x）在1x3相切时的斜率，将y=kx代入y=x2+4x3，得kx=x2+4x3，即x2+（k4）x+3=0，由判别式=（k4）212=0得k4=，即k=4，方程的根x=（1，2），0k2，则k=4，故的最大值等于4，故答案为：3，4三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15如图，在四边形abcd中，ab=4，ac=2，cosacb=，d=2b（）求sinb；（）若ab=4ad，求cd的长【考点】余弦定理的应用；正弦定理【分析】（）运用同角的平方关系，可得sinacb=，再由正弦定理，计算即可得到

18、sinb；（）求得ad=1，由d=2b，可得cosd=cos2b=12sin2b=，再由余弦定理，计算即可得到所求值【解答】解：（）由cosacb=，acb（0，），可得sinacb=，由正弦定理可得， =，即=，解得sinb=；（）由ab=4，ab=4ad，可得ad=1，由d=2b，可得cosd=cos2b=12sin2b=12=，由余弦定理可得，cosd=，即有=，即为3cd2+2cd33=0，解得cd=3或舍去162015年，中国社科院发布中国城市竞争力报告，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表：中国十佳宜居城市中国十佳最美丽城市排名城市得分排名城市得分1深圳90.21杭州93.

19、72珠海89.82拉萨93.53烟台88.33深圳93.34惠州86.54青岛92.25信阳83.15大连92.06厦门81.46银川91.97金华79.27惠州90.68柳州77.88哈尔滨90.39扬州75.99信阳89.310九江74.610烟台88.8（i）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为与，方差分别为s12，s22，试比较与，s12，s22的大小；（只需要写出结论）（）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率（）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，

20、用x表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）由题意利用表格能比较与，s12，s22的大小（）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件a，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个，由此能求出选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率（）由题意x的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和期望【解答】解：（）由题意，（）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件a，由已知既是“中

21、国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台，选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率p（a）=（）由题意x的可能取值为0，1，2，p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，x的分布列为： x 0 1 2 pex=17如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，adcd，bc=2，ad=cd=1，m是pb的中点（）求证：am平面pcd；（）求证：平面acm平面pab；（）若pc与平面acm所成角为30，求pa的长【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（i）取pc的中点n，连接mn，cn，则可证四

22、边形adnm是平行四边形，于是amdn，从而有am平面pcd；（ii）利用勾股定理及余弦定理计算ac，ab可得出ac2+ab2=bc2，于是acab，由pa平面abcd得出paac，于是ac平面pab，从而得出平面mac平面pab；（iii）以a为原点建立空间坐标系，设p（0，0，a），求出和平面acm的法向量，令|cos|=sin30解出a，得出|pa|【解答】证明：（i）取pc的中点n，连接mn，dnm，n是pb，pc的中点，mnbc，又adbc，mnad，四边形adnm是平行四边形，amdn，又am平面pcd，cd平面pcd，am平面pcd（ii）pa平面abcd，ac平面abcd，pa

23、acad=cd=1，adcd，adbc，ac=，dca=bca=45，又bc=2，ab=ac2+ab2=bc2，acab又pa平面pab，ab平面pab，paab=a，ac平面pab，又ac平面acm，平面acm平面pab（iii）取bc的中点e，连接ae，则aead以a为原点，以ad，ae，ap为坐标轴建立空间直角坐标系axyz，则a（0，0，0），c（1，1，0），设p（0，0，a），则m（，）（a0）=（1，1，0），=（，），=（1，1，a）设平面acm的法向量为=（x，y，z），则令x=1得=（1，1，）cos=pc与平面acm所成角为30，=解得a=|pa|=18已知函数f（x）=

24、lnx+ax2（2a+1）x，其中a0（）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）当a0时，判断函数f（x）零点的个数（只需写出结论）【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出a=2时的函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出函数的导数，求出f（x）的定义域，讨论当a0时，当a=，当0a时及当a时，通过解方程求出两根，讨论导数大于0，小于0，求出函数的单调区间；（）根据（）求得单调性即可判断f（x）零点的个数【解答】解：当a=2时，f（x）=

25、lnx+2x25x，f（x）=+4x25，则：f（1）=3，f（1）=0，切线方程为：y+3=0，（）f（x）的定义域为：x丨x0，f（x）=+2ax（2a+1）=，令f（x）=0，x1=1，x2=，当a0时，令f（x）0，得0x1，令f（x）0，得x1，f（x）的增区间为（0，1），f（x）的减区间为（1，+）；当a=，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）单调递增；当0a时，f（x）0，解得0x1或x；f（x）0，得x1，f（x）的增区间为（0，1），（，+），f（x）减区间为（1，）；当a时，f（x）0，解得：x1或0x，f（x）0，解得：x1，f（x）的增区间为（0，），（1，+），f

26、（x）减区间为（，1）；（）当a0时，函数f（x）零点为119已知椭圆c： +=1（ab0）的长轴长为2，右焦点f（1，0），过f作两条互相垂直的直线分别交椭圆g于点a，b和c，d，设ab，cd的中点分别为p，q（）求椭圆g的方程；（）若直线ab，cd的斜率均存在，求的最大值，并证明直线pq与x轴交于定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）由椭圆的长轴长为2，右焦点f（1，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆g的方程（）f（1，0），由题意设直线ab的方程为y=k（x1），k0，由，得（3k2+2）x26k2x+3k26=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式分别求出

27、ab的中点p，cd的中点q，从而求出k=1时，有最大值当k=1时，直线pq的方程为x=，恒过定点（，0），当直线有斜率时，求出直线pq的方程，由此能求出直线pq恒过定点（）【解答】解：（）椭圆c： +=1（ab0）的长轴长为2，右焦点f（1，0），解得a=，b=，椭圆g的方程为=1（）f（1，0），由题意设直线ab的方程为y=k（x1），k0，由，得（3k2+2）x26k2x+3k26=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2）2k=，ab的中点p（，），又由题意得直线cd的方程为y=，同理，得cd的中点q（），=，当且仅当，即k=1时，有最大值又当直线pqx轴

28、时， =，即k=1时，直线pq的方程为x=，恒过定点（，0），当直线有斜率时，kpq=，直线pq的方程为y，令y=0，得x=，恒过定点（），综上，直线pq恒过定点（）20数列an是由1，2，3，2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合b，即b=x|x=an+i，n=0，1，2，2016m（）若m=8，求b中元素的最大值；（）下列情况下，集合b能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列an，若不能，说明理由m=8，n=8k，k=0，1，2，251；m=3，n=3k，k=0，1，2，671（）对于数列an，若m=8，记b红元素的最大值为d，试求s的最小值【考点】数列的应用；数列的求和【分析】（）x=an+i，m=8，代入即可求得x的值，即可求得b中元素的最大值；（）由题意构造数列a2n=n，（n=1，2，1008），a2n1=201