(完整版)探讨类比法在数学解题中的应用本科毕业设计.doc

1、本科生毕业论文（设计）题目探讨类比法在数学解题中的应用目录23451.151.2552.162.210113.1113.212124.1134.215 165.1,165.2,175.3,175.4,17 18 182021（ 22）探讨类比法在数学解题中的应用学生： xx指导教师： xx摘要：波利亚说 : “类比是一个伟大的引路人. ”可以说 , 类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法 . 在数学中 , 类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段 , 也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径 .类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点后 , 猜测在其他方

2、面也可能存在相同或相似之处， 并做出某种判断的推理方法，类比法（ Method of analogy ） 也叫“比较类推法” 。随着课程改革的深入展开 , 培养学生的综合解题能力越来越重要 , 数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程 , 改变学生的学习方式 ; 类比能培养学生直觉思维能力 , 是一种很重要的思维方法 ; 类比可以增强学生的数学应用意识 , 提高解决问题的能力。类比法的一般模式为： 类事物具有性质 类事物具有性质 所以，类事物可能具有性质在教学中， 适当对学生进行类比法的训练，这也是培养学生创造性思维的一种方法

3、。 不过，对类比法得到的结论，要提醒学生养成想想是否正确的习惯，学会用实例进行检验，以提高学生判断问题的能力。关键词： 推理；解题法；类比法；思维；创造性；检验Shallow the analogy method teaching of mathematicsUndergraduate: xxSupervisor : xxAbstract: BoLiYa said: analogy is a great guide. say that analogy is to explore the problems and solutions to the problems and discover ne

4、w results of a fruitful thinking methods. In mathematics, analogy is found concept, methods, theorem and the important method, also is formula explore new fields and creating new mathematics branch of important ways.Anology is in two or two things, find some comparison between the same or similar po

5、ints, guess in other respects may also exists identical or similar, and make a judgment reasoning Method, the Method of analogy (of analogy) also called of comparative analogy. With the deepening of the reform of course on problem solving, to cultivate students the comprehensive ability more and mor

6、e important, learning mathematics mathematical way of thinking more should attach importance to the penetration and develop. Analogical thought is an important mathematical thinking methods. Analogy so that students can experience exploring learning process, change students study way; Analogy can tr

7、ain students intuition thinking ability, is a kind of very important thinking methods; Analogy can enhance students mathematics application consciousness and improve the ability to solve problems. The general mode of analogy methodfor: things with properties with properties things such things mightt

8、heteaching, proper nature of the training students analogy method, this also is to cultivate students creative thinking of a kind of method. But, for theanalogy method, the conclusions to remind students form theto use theexample for inspection, to improve the students judgment question ability.Key

9、words : reasoning; Problem-solving method; The analogy method;Thinking; Creative; inspection绪论大数学家拉普拉斯曾经说过： “在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。 ”所谓类比法， 是通过对两个研究对象的比较， 根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。中学数学

10、中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域， 而这正符合学生的好奇、 去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、 研究新的知识。除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：每当理智缺乏可靠

11、论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。古语云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。 类比思想是富于创造性的一种方法 ,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学学数学中有着广泛的应用。下面我将分四部分：第一部分总结了类比思想在数学概念中体现；第二部分归纳了类比思想在数学公式中体现；第三部分阐述了类比思想在数学性质中体现；第四部分结合例题分析了

12、类比思想在数学解题中体现。接下来将具体论述这四个部分。1 类比思想在数学概念中的体现数学教育家波利亚说： “类比就是一种相似。 ”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。1.1 类比思想在几何概念中的体现数学中的许多概念之间有类似的地方 , 在新概念的提出、新知识的讲授过程中 , 运用类比方法 , 一方面可以让学生更好地理解新概念的内涵与外延 , 使学生更容易接受新知识 , 其次也有利于掌握新旧知识间的区别和联系 , 有利于知识的迁移 , 更为重要的是可以让学生体会和学习类比思想方法 , 培养

13、学生的创新能力。众所周知，平面几何的基本构成元素是点和直线，而立体几何的基本构成元素是点、直线和平面。通过建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。1.平面几何与立体几何在概念上的类比如：（1） 平面角是由一个交点与两条直线组成；二面角是由一条直线与两个平面组成。（2） 平面上，到直线的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直线；空间中，到直线的距离相等的点的集合是直的圆形曲面；空间中，到平面的距离相等的点的集合是与平面平行的两个平面。（3）

14、平面上，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆； 空间中，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆面；平面上，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲线；空间中，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲面；在平面，到定直线与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物线；空间中，到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物线面。1.2 类比思想在数列概念中的体现1. 数列中的等差和等比的概念也是类比关系 :(1) 等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一

15、项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差；(2) 等比数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个（非零）常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。2 类比思想在公式中的体现正在数学教学中，我们还看到，存在着并列关系的两个数学对象，它们之间无论是教学内容和教材处理都很相似，如等差数列和等比数列在内容上是完全平行的，包括定义性质 通项公式等，两个数的等差（等比）中项 两种数列在函数角度下的解释等，因此在等比数列的教学中， 采用类比的方法，对等差数列的概念公式和性质进行探索，归纳，类比，促进学生主动获得等比数列的知识它们的性质，重要

16、结论有许多可类比的地方。2.1 类比思想在几何公式中的体现1. 面积公式的类比：三角形面积公式：，三棱锥体积公式：；梯形的面积公式：；棱台的体积公式：；2. 平面内的一般三角形与空间中的四面体公式类比：三角形四面体在 ABC中，的平分线 在四面体 A-BCD中，二面角 C-AB-D 的平分面交交 BC于 D，则棱 CD于点 E，则，设 ABC的三边长分别 设四面体 A-BCD的四个侧面的面积分别为， ，为、， ABC的面积为， 内切球的半径为，外接球的半径为，则内切圆半径为，外接圆 （ 1）；半径为，则（2）（ 1）；（ 2）在ABC中，在四面体 A-BCD中，棱 AB与面 ACD、BCD的夹

17、角（正弦定理）分别，则在ABC中，在四面体 A-BCD中，四个侧面的面积分别为， ，(射影定理 )则 S1 S2 cosS3 cosS4 cos其中分别为角的对边其中分别为面与面所成二面角的大小在 ABC中，在四面体 A-BCD中，(余弦定理)S12S22S32S422S2 S3 cos2S3S4 cos2S2 S4 cos .其中分别为面与面， 面与面，面与面所成的二面角设是ABC 内任意一设是四面体 A-BCD内任意一点，连结并延长交对点，连结并延长交对边面于点,则于点则3. 平面几何与立体几何的类比：立体几何与平面几何是前后衔接的两门相近科学，不少相关定理既有联系又有区别，立体几何的某些

18、定理又可以溯源于平面几何中的某些定理因此立体几何的教学中可以由平面几何的知识类比引入的例子很多例如：（ 1）平面上，在中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为a 、 b、 c 则。如图：；（如图 1）空间中，四面体 , 面 PAB、面 PAC、面 PBC、面 ABC的面积分别为、，三个面与底面所成的二面角分别为、则有 s1 coss2 cos s3 cos s 。（如图 2）（ 2）平面上，在直角中 , 角，角 A、 B、C所对的边分别为 a 、b、 c，边 c 上的高为 h，则有；，空间中，四面体、，、，点 H为点 P 在面 ABC内的射影，则有。（如图 3）（ 3）平面上，在直角中 , 角

19、，角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,则有；空间中，四面体，、，面 PAB、面 PAC、面 PBC、面 ABC的面积分别为、，则有。（如图 4）(4) 平面上，在中 , 角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b、 c，的内心为点 O，内切圆的半径为 r ，的面积为 S, 则有；（如图 5）空间中，四面体 , 面 PAB、面 PAC、面 PBC、面 ABC的面积分别为、，体积为 V，其内切求的半径为 r ，球心为 O，则有。（如图 6）(5) 平面上，点 A、C为射线 PM上的两点，点 B、D 为射线 PN上的两点，则有；（如图 7）空间中，点 A、C为射线 PM上的两点，点 B、D

20、为射线 PN上的两点，点 E、F 为射线 PL上的两点，则有。（如图 8）（ 6） 平面内的正三角形与空间中的正四面体公式类比：正三角形的高周长面积正四面体的高表面积体积正三角形内任意一点到三边的距离和为定值即正三角形的高。正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合即正三角形的中心，半径比为：，内切圆切于三边的中点。正三角形的三边的中点的连线仍构成正三角形，边长为。正四面体内任意一点到四个面的距离和为定值即正四面体的高。正四面体的内切球与外接球的球心重合即正四面体的中心，半径比为：，内切球切于四个面的中心。正四面体的四个面的中心的连线仍构成正四面体，棱长为。2.2 类比思想在数列公式中的体现1. 等差

21、数列有关公式：等差数列通式：其中为首项，为第 n 项的通项公式， d 为公差等差数列前 n 项和公式为：2. 等比数列有关公式：等比数列的通项公式是：等比数列前 n 项之和公式为：（ 1）当 q 1 时， Sna1(1qn ) / (1q)或 Sn(a1anq)(1q)（ 2）当 q=1 时，其中首项与公比 q 都不为零。3 类比思想在数学性质中的体现3.1 类比思想在几何性质中的体现1. 在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比：（ 1） 三角形存在唯一的外接圆和内切圆，三棱锥存在唯一的外接球和内切球；（ 2）三角形的三条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为，三棱锥的四条中线相交于一点，

22、且该点分每条中线的比为；（ 3）三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心，三棱锥的六个二面角的平分面相交于一点，这个点是三棱锥内切球的球心。（ 4）在直线上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中点；在平面上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂线；在空间中，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂面。（ 5）在直线上，到定点的距离相等的点的集合是等距的两点；在平面上，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆；在空间中，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球面。（ 6）平面内的一般三角形与空间中的四面体性质

23、类比：三角形四面体三角形两边之和大于第三边. 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心.三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半.四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的 ,且该三角形所在平面平行于第四个面 .角形分成面积相等的两部分.一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分三角形的三条中线交于一点，且三将四面体的每一个顶点和对面的角形的每一条中线被该点分成的两重心相连接， 所得四条线段交于一段的比为

24、 2： 1.点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1（ 7）平面内的正三角形与空间中的正四面体性质类比：正三角形（边长为）正四面体（棱长为）正四面体的四个面面积相等，六条正三角形的三边相等棱长相等正四面体的四个面中任意两面所成的二面角都相等（注：不为） ，正三角形的三角相等各条棱与其相交面所成的线面角都相等，相交的棱的夹角都相等（注：异面棱垂直）3.2 类比思想在数列性质中的体现1. 等差数列性质：(1) 若 m n p q,则：存在 am an ap aq(2) 若 m n 2p,则： am an 2aq以上 n.m.p.q 均为正整数。2. 等比数列性质：(1)若 m、n、 p、

25、 qN ，且 m+n=p+q ，且 am gana p gaq(2) 在等比数列中，依次 每 K 项之和仍 为等比数列G 是 a、b 的等比中项 =ab（G 0）。4 类比思想在数学解题中的体现运用类比思想对可能的解题方法进行猜测，往往可以得到正确的解题思路，美国著名的数学家G.波利亚在他的世界名著 怎样解题中这样说过：“在求证或求解一个问题时，如果能成果的发现一个类比题，那么这个类比问题可以引导我们达到原问题的解答” 。下面通过例子来分析类比思想在数学解题中的体现：4.1 类比思想在几何题中的体现1. 若从点 O所作的两条射线 OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：. 若从点 O

26、 所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ 和 OR 上分别有点、与点、和、，则类似的结论为：.分析在平面中是两三角形的面积之比，类比到空间应是体积之比。关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边体积面积；二面角平面角面 积线段长；这道题显然用到了多面体多边形；体积面积；即；故猜想 .本题主要考查由平面到空间的类比，要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。2. 在平面几何中，有勾股定理： “设 ABC 的两边 AB 、AC 互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以

27、得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC 、ACD 、 ADB 两两相互垂直，则.”分析此题依旧是空间问题与平面问题的类比跟上题所不同的是这道题用到了多面体多边形；面边；即 ABC三棱锥 A-BCD； AB ，AC， ，；BC.根据上题的分析，可类比猜测本题的答案：3. 在 DEF中有余弦定理：DE 2DF 2EF 22DFEF cosDFE . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC- 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.分析根据类比猜想多面体多边形；面边；即 DEF斜三棱柱 ABCA1 B1C；DESAA1 C1C ; DF

28、SABB1 A1; EFSBCC1B1 ;得出 SAA2C CSABB21ASBCC2B2SABB ASBCC B cos .111111111其中为侧面为与所成的二面角的平面角.证明： 作斜三棱柱的直截面DEF ，则为面与面所成角，在中有余弦定理：DE 2DF 2EF 22DFEF cos，同乘以，得DE 2AA12DF 2 AA12EF 2AA122DFAA1 EF AA1 cos.即 SAA2C CSABB2ASBCC2B2SABB ASBCC B cos.1111111111本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉。4. 已知两个圆：，与则由

29、式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.分析将题设中所给出的特殊方程、类比推广归纳到一般情况：设圆的方程为，与其中或，则由式减去式可得两圆的对称轴方程.本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。5. 已知椭圆具有性质：若 M 、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P是椭圆上任意一点，当直线 PM 、PN 的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点 P 的位置无关的定值 .试对双曲线写出具有类似特性的性质， 并加以证明。分析通过类似得到的性质为：若M 、N

30、是双曲线上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P 的位置无关的定值。证明：设点 M 、 P 的坐标为（）、（），则 N（） .因为点 M （）在已知双曲线上，所以，同理.则 k PMy n y ny 2n 2b2x2m 2b2（定值） .k PNx2m2a2x2m2a2x m x m4.2 类比思想在数列题中的体现1. 在等差数列中，若，则有等式a1a2a19 n ( n19 , nN) 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立。分析本题考查等差数列与等比数列的类比。等差数列与等比数列的类比关系是：等

31、差数列用减法定义性质用加法表述（若且则）；类比于等比数列用除法定义性质用乘法表述（若且则） .故猜测本题的答案为：b bbb bb(n 17 , n N * ).1 2n1217n事实上，对等差数列，如果，则an 1a2k 1 nan 2 a2 k 2 n.则有：a1a2an(an 1an 2）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：b bbb bb2k1 n(n 2k 1, n N * )成立 .1 2n1 2综上所述，类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我们也应该学习类比的思想，但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的

32、，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。5 类比的作用随着课程改革的深入展开 , 培养学生的综合解题能力越来越重要 , 数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程 , 改变学生的学习方式 ; 类比能培养学生直觉思维能力 , 是一种很重要的思维方法 ; 类比可以增强学生的数学应用意识 , 提高解决问题的能力。类比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还

33、没有发现这个情况，这时候人们头脑就有理由进行类推，由此认定另一对象也应有这个情况。现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间经过了一个归纳和演绎程序即： 从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。现代类比法是“类推”。5.1 创设类比情景，激发学习兴趣由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理 , 从一个已知的领域去探索另一个领域 . 这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理 , 也可以极大地激发出学生的兴趣 , 从而主动地探索、研究新的知识 .5.2 类比思想方法，温故知新类比法在中学数学学习中有着重要的作用，它

34、是学习知识、系统掌握知识和巩固知识的有效方法。当我们学习新知识，掌握新知识时，通过类比又可以将这些知识有机地联系起来。如二次曲线学习中，将椭圆与双曲线相应的概念，性质作类比，可使之系统化。类比法在解题中可以启发我们的思维，正如伟大哲学家康德所说： “每当理智缺乏可靠理论的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。 ”故此，类比法可以说是我们中学数学解题的引路人。类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法, 也是人们联想的思维工具 . 知识之间存在着思想方法等联系, 可以通过让学生利用旧知的类比 , 大胆猜测 , 从而探索新知 .例如在学习三棱锥的体积时 , 教师应引导学生与三角形的面积进行类比:因

35、为三角形的底边长对应三棱锥的底面积S, 三角形底边上的高对应三棱锥的底面 S 上的高 h, 而二维空间里的三角形的面积公式为S=12ah,所以由类比方法推测 , 三维空间里的三棱锥的体积应为V=13hS;在证明三角形面积公式时可以把三角形补成一个平行四边形, 三角形的面积是平行四边形的面积的一半 , 而类似地 , 要求三棱锥的体积 , 应把它补成一个三棱柱, 然后再分割成三个等体积的三棱锥, 这就是课本上的方法如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考, 那么他们对这种方法的理解就会毫无困难 .5.3 通过类比联想，启发解题思路教师教学生 , 不能是简单地讲解知识, 不能仅满足于让学生模仿性地

36、解题 , 更要让学生学会数学的基本思想 , 分析问题的能力、迁移解题的能力 . 采用类比联想 , 能使学生通过举一反三、触类旁通 , 迅速地掌握数学的基本知识和技能。例如面对思考题 : “证明半球的体积为” . 引导大家回忆起定积分中求曲边梯形的面积 , 步骤为“无限分割 - 以直代曲 - 求和 - 取极限” , 核心为“以直代曲” . 通过类比、探讨后 , 得出了分割半球的多种方法 : 底面与圆面平行的若干圆柱 ; 底面与圆面垂直的若干小半圆柱 ; 圆锥 .5.4 利用类比方法，发展创新思维在解决数学问题的过程中 , 虽然问题情境发生了根本性的变化 , 两个对象在表面上毫无共同之处 , 但通

37、过以发散的思维来分析问题形式 , 创造条件 , 使两者存在共同点 , 这种类比不是一种简单的模仿 , 而是一种创造性 , 这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用 .例如有这样的一个问题曾难倒了大部分学生 : “求证 : 正四面体 A-BCD内的任意一点 P 到各个面的距离之和等于常数” . 其实只要与平面几何的问题进行类比 : “求证 : 等边三角形内的任意一点 P 到三角形的三边的距离之和等于常数” . 由于平面几何中该命题的证明采用的是“面积法” , 类似地 , 这个立体几何问题可采用“体积法” , 于是问题迎刃而解 .其一类比思维 : 是解答数学题的基本方法。

38、类比思维包括两方面的含义 :(1) 联想 , 即由新信息引起的对已有知识的回忆 ;(2) 类比 , 在新、旧信息间找相似和相异的地方 , 即异中求同或同中求异。通过类比思维 , 在类比中联想 , 从而升华思维 , 既有模仿又有创新。其二类比联想 : 是指对一件事物的认识引起对和该事物在形态。事实上 , 当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候 , 如果能构造一个类似的熟悉问题 , 从这个熟悉问题的解答过程中得到启发 , 那么就很有可能悟出原问题的解法。6 运用类比推理应注意的几个问题第一 , 要善于观察事物的特点。注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处 , 并追究造成这种共同或相似的

39、原因。要大胆放宽眼界, 做到不受自己的研究对象和学科的限制。第二 , 类比通常与归纳、演绎综合运用, 相互融合，协调发展。另外它也离不开分析、观察、猜想。探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的 , 因此必须自觉掌握创造性思维等特征 , 并运用到实际工作中去。第三 , 要善于联想。从一种事物联想到与它性质相似的其他事物; 从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法 ; 从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理 .第四 , 强调数学的严密性。类比法本质是发现的方法, 而非严格的推理 ,它在科学探索过程中走了捷径。学生容易接受和喜欢这种方法 , 自觉和不自觉地进行

40、类比 , 但其结论有时不一定可靠。因此，要对通过类比推出的结论要给以证明。同时要对学生中不正确的类比及时给予纠正 , 防止知识的负迁移 , 形成正确的知识体系。第五 , 不能将两个或两类本质不同的事物 , 按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论 , 否则就要犯机械类比的错误。只有我们意识到类比的教育教学价值 , 通过类比的教学方法去展示数学的知识 , 才能让学生拓展视野 , 以极大的热情去研究、学习数学 , 认识到数学世界的和谐统一 , 才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。在此，对作为教育工作中的指导者的教师就提出了要求，不仅要有扎实的基本知识体系，同时还要具有严谨的教学思想和负

41、责的态度7 总结与展望在自然科学发展史上，无论古代、近代，还是现代，类比在科学发现中是一种被普遍应用的方法。类比方法的应用是随着科学思维水平的提高而不断发展的。这种发展具体表现在：从简单到复杂，从静态到动态，从定性到定量的发展。近代的科学发展使人们认识到，单靠某一事物与已知事物之间的简单的静态的性质类比， 那是很不充分的， 还需要从事物性质的量上进行研究，这就需要把定性类比和定量类比结合起来，例如，欧姆把电流的传导同傅利叶的热传导定理相类比。在热传导中，温差 ( T) ，热量 (Q) 和物体的比热 (c) 有协变关系，它的数学模式为： Q cm( T) 。欧姆把热量和温差的协变关系通过类比推移

42、到电流传导上去，电流 (I) 同热量 (Q) 相当；电压(U) 同温差 ( T) 相当；而电导 (1R) 同热容量 (cm) 相当，从量上考察协变关系，电传导的数学模式为： I=U?1R。这里所运用的就是定性类比和定量类比相结合的方法。通过以上探讨数学中的类比法，我发现：在中学学习的几个几何图形的面积公式，它们有相似之处。以三角形为参考对象，三角形的面积是：底高。设底边为 a, 高为 h，则三角形面积为。再看扇形的面积公式： ，类比三角形面积，将弧长看作其底，半径 R看作其高，即扇形面积也可以看成：底高 ; 试想，当时，图形变为半圆。面积为 , 即半圆的面积。那么，圆的面积也可由此推出 （时，

43、面积为），这时可以将底面看作圆的周长，即 =底高。再来看梯形的面积公式： （a 与 b 分别为梯形的上下两底， h 为高），同样也可以按照三角形面积公式来记忆， 底高，只是这里将上下两底统一看成了梯形的底。这样看来平面几何图形的面积公式似乎可以类比三角形面积公式来写，但是是所有的几何图形都可以吗？这个问题需要进一步的研究和证明。不过，通过类比，有助于记忆和发散人的思维是毋庸置疑的。结束语数学家波利亚曾说过： 类比就是一种相似 ,就是依据两个或两类数学对象的相似性进行联想，把它们其中一个数学对象已知的较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它相似数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法。类比思维是一

44、种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用，通过类比可以帮助学生理解和记忆不同层面的类似数学概念，可以获得数学知识的公式、性质，也可以诱导寻求解题思路的变迁和发散，类比思想作为一种重要的数学思想，是获取数学发现拓广数学知识的原动力之一。类比是数学研究与数学发现中常用的一种逻辑思维方法。它不象数学知识如概念、定理、公式等明显地写地教科书上 ,它是无形的东西 ,往往被忽视。因此 ,在数学教学过程中 ,若能注意介绍类比的方法 , 并引导学生应用 , 不仅有利于学生对数学概念、 原理和数学解题方法的深入理解 ,亦可促进学生在论证和解题中发现一些新的方法 ,有助于学生提高数学思维

45、能力。巨大的科学发明需要有较强的类比能力，而较强的类比能力正基于猜想与证明的有机结合。对类比的各种状态要给予严格论证，还要捕捉各种类比念头，抓住两系统间的相似之处，利用类比这座雄伟的桥梁，将信息不断地过渡，并不断地证明，使其科学化，从而使学生的创造力不断地在类比成功中得到升华。本文从中学数学概念、中学数学公式、中学数学性质、中学数学解题四大横向，从几何和数列两大纵向，全方位，多角度，深层次地总结，归纳，剖析了类比思想在中学数学中的体现。但百密之中总有一疏，其实类比思想在函数的概念、公式、性质、解题中也有很好地体现，这些在本文中没有得到体现。参考文献1 李明振 . 数学方法与解题研究 M . 上

46、海：上海科技教育出版社， 2000年 .2 周兴明，周吉祥 . 类比方法在解高考数学试题中的应用 J. 数学教学研究， 2010， 29（8）： 4850.3 徐有标，陶文中，刘治平 . 数学教学与智能发展 M. 北京：光明日报出版社 ,1995 年 .4 侯敏义 . 数学思维与数学方法论 M. 大连：东北师范大学出版社 ,1991年 .5 黄殊俤，林光耀 . 浅谈中学数学思想方法教学的实施方案 J. 福建中学数学 . 2004.6 姬鸿广 . 数学教学中要重视数学思想方法的挖掘和应用 C. 教研撷华青海师大附中建校 45 周年论文集 .1999 年 .7 波利亚 . 数学与猜想 M. 北京 : 科学出版社 ,1984.8 霍福策 . 浅议新教材中的类比思想 J. 高中数学教与学 ,2009(2).9 周以宏 . 浅谈数学直觉的解题功能 J. 数学通报 ,2004(2).10 张奠庙 . 数学方法论稿 M. 上海：上海教育出版社， 199611 徐利治 . 数学方法论选讲 . 武汉：华中工学院出版社， 198812 王仲春 , 李元中 . 数学思维与数学方法论 . 北京：高等教育出版社，1991致谢本课题在选题及研究过程中得到xx 老师的悉心指导 . 从课题的选择到项目的最终完