小波的分析及应用附常用小波变换滤波器系数

1、第八章小波分析及应用8.1引言把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重 要意义。1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学 分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基 础。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研 究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是2二， 定义如式(8.1-1)、(8.1-2)-f x L2 0,2二，f x 八

2、 Ckeikx(8.1-1)1 2 JI.其中ck 二 一 o f xe dx(8.1-2)2兀然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说 明3:从任一个平方可和的函数f(x)出发，为了得到一个连续函数g(x)，只需或者增大 f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根 据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质(如大小、正则性)。傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4)F二 f xej xdx(8.1-3)1 比f xF ，ejxd，(8.1-4)通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数(如冲击函数)的傅里叶变换的 存

3、在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性 质。由式(8.1-3)可知，为了得到F ,必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且 f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是F的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正 交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两 个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量(或时间变量)与 频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian认为：“在通讯理论中，人们对于在 完全给定的时

4、间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一 个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与 信号的时间结构(如音乐)所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表 现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时 间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以适 应通讯理论3。”为此，人们提出了短时傅里叶变换(STFT)的概念：定义8.1-1若W L2 R选择得使 W与它的傅里叶变换 W满足：tW t L2 R/.V? i- L2 R那么使用W作为窗函数，在式(8.1-5)中引入的

5、窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变换”(STFT):(gb f 炉)=匚2f (t )W(t-b)dt(8.1-5)当窗函数选择为高斯(Gaussian函数时，则为Gabor变换。STFT的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映 信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，STFT无法满足要求，此外，STFT的冗余很大，增加了不必要的计算量。小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以 来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多 的领域得到应用。小波分析方法的出现可以追溯到 1910年H

6、aar提出Haar规范正交基，以及1938年 Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的L-P理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十 年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是 1984年法国 地球物理学家Morlet引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数学 方面所做的探索主要是 R. Coifman和G. Weiss创立的“原子”和“分子”学说，这些“原 子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。L. Carleron使用了非常象“小波” 的函数构造了 Stein和Weiss的空间H1的无条件基。直到1986年，法国数学家 Meyer

7、成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数，它的二进伸缩与平移 :-:仆t =2/; 24 -k : j,kZ?构成L2 R的规范正交基。此前，人们普遍认为这是不r/ 2屮(a/t - kb0)构成 L2 R的框架的条件去了。Lemarie和Battle继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987 年，Mallat利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现 今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies构造了具有紧支集 的正交小波基。Coifman, Meyer等人在1989年引入了小波包的概念。基于样条函数的 单正交小

8、波基由崔锦泰和王建忠在1990年构造出来。1992年A. Cohen, I. Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也 得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。近年来，一种简明有效的构造小波基的方法-提升方案(Lifting Scheme)得到很大的发 展和重视4,5。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤 ，另外， 它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波5。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、 非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时

9、变信号处理等方面等到更深入的研究。8.2小波变换及其基本性质8.2.1连续小波变换-f tL2 R，ft的连续小波变换（有时也称为积分小波变换）定义为：/2 旳ft 一 bWTf（a,b）=a f（t dt, a（8.2-1）sI a丿或用内积形式：WTf a,b仁-.，（8.2-2）式中屮a,b（t Aa/2屮l a丿要使逆变换存在， t要满足允许性条件:(8.2-3)式中是，t的傅里叶变换 这时，逆变换为彳daft=C、bMf abd叮(8.2-4)Ct这个常数限制了能作为“基小波（或母小波）”的属于L2 R的函数*的类，尤其是 若还要求是一个窗函数，那么还必须属于L1 R，即J（t |d

10、t c30故是R中的一个连续函数。由式（8.2-3）可得?在原点必定为零，即(8.2-5)? 0t dt = 0从式（8.2-5 ）可以发现小波函数必然具有振荡性。连续小波变换具有如下性质： 性质1 （线性）：设f t “gtht，贝UWTf a,bl=；.WTg a,bWTh a,b性质2 (平移不变性)：若f tWTf a,b，则f t -WTf a,b - .。平移不变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要 有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。1性质3 (伸缩共变性)：若f tWTf a,b，则f ct, WTf ca,cb，其中c0

11、 Vc性质4 (冗余性)：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变 换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数 屮a,b(t存在许多可能的选择。 尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结 果的困难。8.2.2连续小波变换的离散化由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的 变量a，b进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取 b=t，a=+；j,k Z，这时2J 2j屮 a,b(t) =屮 1 k (t )=2屮(2Jt k)yr歹常简写为：t J,k t o变换形式为:WTf*1 k2J，2J立O

12、为了能重构信号f(t)，要求 忙,J,灼是L2(R )的Riesz基。定义8.2-1 一个函数屮 l2(R )称为一个R函数，如果如j,k,煜在下述意义上是一个Risez基：屮j,k,j,kZ的线性张成在L2(R )中是稠密的，并且存在正常数 A与B，0 ： A 乞 B ：:，使qQqQAbjJ；乞二 Jcj(j,kJ - k -：:对所有二重双无限平方可和序列成立，即对于iJk假定屮是一个R函数，那么存在L?（R）的一个唯一的Riesz基如川片飞孚，它在意义工 j,kE -jl、Km,j,k,l,m Z上与如j对偶。这时，每个f（t戶L?（R甫如式（8.2-6）的唯一级数表示：f t 二 f

13、一 j,k 一 j，k t（8.2-6）j =ack =JO0特别地，若如j,k,心构成L2（R ）的规范正交基时，有屮j,kj,k重构公式为：ft 八丁jj,kt（8.2-7）j -： ：k 二8.3多分辨分析与Mallat算法8.3.1多分辨分析Mallat使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现 今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变 换在傅里叶分析中的地位相当 。定义&3-1空间L2 R的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列Vj Z，使其具有以下性质：（1）单调性（包容性）V2 V Vo Vj JO0逼近性：clo

14、seU Vj=0oO(2)L2 R , Vf =心jR（3）伸缩性：tVj = 2t Vj4（4）平移不变性：t PVj = t2j4kEVj ,k Z（5） Riesz基存在性：存在tV0，使得2jt-k z构成V的Riesz基。在定义8.3-1中，Vj对应于2分辨率，在有些文献中2,8，Vj对应于2j分辨率，这 时，性质（1）、（ 3）中子空间的下标要做相应的变化。定理8.3-1 令 z是L2 R空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数%t 卢 L?(R 使得%,kk)k Z(8.3-1)必定是Vj内的一个标准正交基，其中t称为尺度函数。式(8.3-1)中的系数22是为了使j,k的L2范

15、数为1。引入尺度函数的目的是为了构 造正交小波基，图8.3-1(a)为一指数衰减、连续可微分的尺度函数，图(b)是其傅里叶变 换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。n(b)尺度函数的傅里叶变换(a)尺度函数的图形图8.3-1 DB9尺度函数若 (t生成一个多分辨分析，那么 -Vo也属于V，并且因为仓kz是V的一个Riesz基，所以存在唯一的I2序列h(k)1，它描述尺度函数 的两尺度关系：t = . 2 h k 2t - k(8.3-2)k =siO由性质(1)可知Vj 1 Vj,-jZ，所以Vj 二 Vj1 二 Wj1(8.3-3)反复应用式(8.3-3)，得L2 R 二二 Wj(8.3

16、-4)同样，象t生成V。一样，存在一个函数* t生成闭子空间W0，且有与式(8.3-2)类似的 双尺度方程0t U g k 2t -k(8.3-5)k=0式(835)称为小波函数双尺度方程。由式(8.3-2)、(8.3-5)可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数Ch(k)g(k)1的设计，若令H =二hk ek,G 二二gkek，则V 2ki Q 2把尺度函数和小波函数的设计可以归结为滤波器H ,G的设计。构造正交小波时滤波器H 与G必须满足以下三个条件：22+ H+ir|) =1(8.3-6)22Gm 亠 Gn 亠，：1(8.3-7)H GV rH G*Q 亠 i： 0(8.3-8)联合求

17、解式(8.3-7)和(8.3-8)可得GQ ： e_P H 亠 (8.3-9)由式(8.3-9 )立刻可得1k *gk=-1 h1-k,kZ(8.3-10)所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器H 。8.3.2正交小波变换式(2.2-7)式说明由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构 方面是十分有用的。问题是这样的单个小波母函数是否存在呢？若存在是什么样的呢？这样的小波母函数是存在的，节8.3.1的多分辨分析给出了具体的构造方法，下面先 给出几个具有解析表达式的例子9。Haar小波母函数：11,0兰tv丄21h(t)= 1,丄 兰 120, otherISha nnon小波母

18、函数：t - - sin 2 2sin 二Shannon小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的Haar小波母函数要优越,可是Haar系函数的支集是紧的，Shannon系的函数不仅不是紧支的，且当tT呛时趋于 零的速度仅为0丄，故当用Shannon系对函数进行分解时，分解系数不能很好地反映J丿信号的局部特征。Haar小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方 法，这就构成了由B样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数-B样条函数构造小波的方法。下面式(8.3-11)给出一个用B样条构造的正交小波母函数的例 子，是用频域表示的，理论上其时域表示可通过傅里

19、叶反变换获得，不过实际中只能通 过数值运算获得其时域的函数图形。仔粵1+2si n2里轻灼 Asin4 44(8.3-11)41_2sin28sin2 巴+8sin4 口W 34八44丿Daubechies构造了目前实际应用中大量使用的具有有限支集的正交小波基，其对应 的滤波器是有限长的10。不过无论是频域还是时域，它们都没有显式的表达式，而且， 除Haar基外所有其他正交紧支的小波函数、尺度函数关于实轴上的任何点都不具有对 称或反对称性，因而所对应的滤波器都不具有线性相位。下面是Daubechies小波滤波器 的一个例子 D4： (-0.129409522551,-0.22414386804

20、2,0.836516303738, -0.482962913145) 更多的例子请参见附录。8.3.3双正交小波变换在图像处理中经常希望所用滤波器具有线性相位，Cohen Daubechies等人放弃了小 波、尺度函数的正交性，给出了构造具有对称性的双正交基的方法，这时对应的滤波器 具有线性相位11。取代小波函数、尺度函数的正交性的是所谓的双正交条件：.j,k,j,n = k-n(8.3-12)化 j,k m,n)=现 j - m 炉(k - n )(8.3-13)此时相应的多分辨分析子空间的嵌套序列分为两种：V2 V1 V0 V4 v (8.3-14)- v2 二y 二 v0 二二 vj在双

21、正交的条件下，子空间Vj与Wj不是正交补空间，但是若令 Wj =close豺j,k: j,k w Z 则有以下正交补的关系：Vj _Wj,Vj _ Wj(8.3-15)相应的双尺度方程为：2N J2N J t =H2v h k 2t k , th k 2t kkk2N J2N(8.3-16)屮(t)=V2E g(kp(2tk), 0(t)=V2 迟 (k)(2tk)7k 二0依据式(8.3-15)得k = 0,1/ ,2N -1(8.3-17)；(k )=( 1)kh(2N _k +1 )k g(k)= (_1)h(2N _k+1)所以，在设计双正交小波滤波器时，实际上只要设计两个尺度滤波器。

22、有关双正交小波 滤波器的例子请参见附录。8.3.4小波包变换短时傅里叶变换是一种等分析窗的分析方法，小波变换相当于等Q滤波器组，语音、 图像比较适合用小波变换进行分析，但并非所有信号的特性都与小波变换相适应。以雷 达为例，复杂目标的回波，其包络的起伏决定于目标的姿态变化，而多谱勒频率则取决 于目标的径向速度，二者并无必然的联系，所以在雷达里也经常使用短时傅里叶变换。 当对某类信号，等宽和等Q滤波器都不一定适用时，有必要按信号特性选用相应组合的 滤波器，这就引出了小波包的概念。Coifman及Wickerhauser在多分辨分析的基础上提出了小波包的概念，可以实现对信号任意频段的聚焦。小波包的基

23、本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分解，具体做法是： 令(8.3-18)；U 0 U 1 =Wj定义子空间U；是函数Wn t的闭包空间，而U j2是函数W2n t的闭包空间，并令Wn满 足如下双尺度方程：w2n t = 2、h k wn 2t - k(8.3-19)kW2n1 t 2 g k Wn 2t -k(8.3-20)k式中g k i=：1 kh 1 k即两系数也具有正交关系。其等价表示是:(8.3-21)Un1 二u2n 二 u2n1, j z,n Z.定义832(小波包)：由式(8.3-19)、(8.3-20)构造的序列 w； ； z .称为由基函数w。tt 确定的小波包Wj空

24、间分解的子空间列可以写成 Uj2畀, 0,1 ,2l -1J =1,2/ , j; j =1,2 - 0若 n是一个倍频程细划分的参数，即令n = 21 m ,则有小波包的简略记号 ；j,k,n t =225 2t-k，其中t nt =21/2可2*21。与小波j,k t相比较可知，小波 包除了离散尺度和离散平移之外，还增加了一个频率参数n,正是由于这个频率参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点 叉个数，也就是其波形的振荡次数 8.3.5 维 Mallat 算法Mallat在著名的用于图像分解的金字塔算法(Pyramidal algorithm)的启发下，结合多 分辨

25、分析，提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，常简称为Mallat算法。设f t L2 R，并假定已得到ft在2二分辨率下的粗糙象Aj r Vj，Vj Z构成L2 R的多分辨分析，从而有Vj二Vj .1二Wj 1，即Ajf 二宀Dj(8322)式中 AjfCj,j,k t，Dj fDj,j,k t ，kk =JOO于是O0QOQO二 C j, k j,k t C j 1,k j -1,k t !亠D j 仆j -1,k t(8.3-23)kkk 二由尺度函数的双尺度方程可得Q0j 1,m t =、 h k _2m k tk=jod利用尺度函数的正交性，有；j 1,m, j,k二 hk-2m(8.

26、3-24)同理由小波函函数的双尺度方程可得- j1,m, j,k；二 g k-2m(8.3-25)由式(8.3-23)、(8.3-24)和(8.3-25)立即可得：QO*C j -1,mC j,k h k - 2mk wcd*Dj i,m Cj,kg k-2mk-.:：C j,k = h k - 2m C j i,m 亠二 g k - 2m D j 仆 mm=no(8.3-26)(8.3-27)(8.3-28)引入无穷矩阵 H - H m,k m； - -，G = Gm,k m；k=-，其中 H m,k = h k - 2m ,Gm,k = g k - 2m则式(8.3-26)、(8.3-27

27、)和(8.3-28)可分别表示为:e”HCj20,1，,jDj十 GCjJ (8.3-29)Cj = H Cj 1 G D j 1 , j = J, J J,，1,0(8.3-30)其中H*,G*分别是H和G的共轭转置矩阵。式(8.3-29)为Mallat 维分解算法，式(8.3-30)为Mallat 维重构算法, 示：如图8.3-2所(a)分解算法HGCoC1D1GD2HGC3C2D3图 8.3-2 Mallat(b)重构算法小波分解和重构算法示意图利用Mallat分解与重构算法进行信号处理时，不必知道具体的小波函数是什么样的， 此外，在对数字信号进行处理时，通常假定相应的连续函数属于V0，

28、但即使如此，该函数在V。空间的投影的系数与由采样得到的离散序列一般不一样， 但实际上都是直接把由 采样得到的信号作为最高分辨率的信号来处理， 这时更多的是把小波变换当作滤波器组 来看待。在实际应用Mallat算法时，由于实际信号都是有限长的，存在如何处理边界的问题。 比较常用的方法是周期扩展和反射扩展。主要目的是要降低边界不连续性所产生的在边 界上变换系数衰减慢的问题。8.3.6 二维 Mallat 算法在进行图像处理时要用到二维小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主，下面的定理给出了构造二维可分离正交小波基的方法。定理&3-112令Vj2 j Z是L2 R2的可分离多分辨分析，并令 八=X

29、 丫是相应 的二维尺度函数，x是与尺度函数对应的一维标准正交小波。 若定义三个“二维小波”，x,y = X，y屮 2(x, y)二屮(xp(y )(8331)屮 3(x,y) = W(xF(y)则2 t t 2 t x - m,2 j y - n22(2m,2y n ), (m, nZ2(8.3-32)2屮 3(2x-m,2y-n )分别是L2 R2内的标准正交基设f二f x,y V；为待分析的图像信号，其二维逼近图像为(8.3-33)(8.3-34)Ajf = Aj qf Df Dj2. f D3if式中od oOAj 押 二二 Cj 1 m, n j 1 m, nm二；n 二:QO QOD

30、 j 1 f 八 Dj 1 m,n j 计 m,n , i =1,2,3m =： ：n =-：:利用尺度函数和小波函数的正交性，由式(8.3-32)、(8.3-33)和(8.3-34)立即得Cj d m, nh k2m h l2n Cj k, l(8.3-35)j =0,j/ ,J(8.3-37)对行滤波对列滤波(a)分解算法示意图以及1閃閃= Z h(k-2mg(l-2nQj(k,l)k =jod =joO*Dj2_j = E 匚 g(k2mh(l 2npj(k,l)(8.3-36)k ock =jqOD；* = 送 g(k_2mg(l_2npj(k,l)Lk=JOQ引入矩阵算子，令Hr和H

31、e分别代表用尺度滤波器系数对阵列Ck,l 孑2的行和列作用的算子，Gr和Ge分别表示用小波滤波器系数对行和列作用的算子，二维Mallat分解算法为Cj = H rH cCj Dj1 1 = H rGcCj Dj21 =GrHcCj， D j 1 = GrGcCj二维Mallat重构算法为:*2*3C j =HrHcCj1 HrGcDj1Gr H cD j 1Gr Gc D j -1(8.3-38)图8.3-3示出了二维图像的分解和重构算法:Aj 1 fd1 1fDj21fDj31fAj ifD1ifD：ifD3ifAjf(b)重构算法示意图下采样：对列滤波时，两列去一列，对行滤波时，两行去一行

32、图例上采样：对列滤波时，两列中加0，对行滤波时，两行中加图8.3-3 二维Mallat小波分解和重构算法示意图对图2.2-3所示的二维小波分解与重构算法，利用其可分离特性，在算法实现时分 别由对行进行一维小波变换，然后再对按行变换后的数据按列进行一维小波变换来完 成。与一维的情形类似，在实际应用中，由于图像信号总是有限区域的，也存在如何处 理边界的问题。典型的处理方法是周期扩展和反射扩展。在用小波变换进行图像压缩时,由于边界的不连续性，会使得在边界处的小波变换系数的衰减变慢，从而影响图像的压 缩比，因而在图像压缩应用中，若使用的是具有对称性质的双正交小波滤波器，一般对 边界采用反射扩展的方式，

33、使边界保持连续，以提高压缩性能。8.4利用提升方案(Lifting Scheme)构造小波8.4.1提升方案的基本原理小波函数屮j,k (t通常定义为一个属于L2(R空间的母小波的二进伸缩(Dilates)和平移(Tran slate):屮 j,k(t)=2j/2屮(2jt k)(8.4-1)这样的小波称为第一代小波。然而，在更一般的情况下，小波并不必须是彼此的伸缩与 平移，但仍然具有第一代小波的特点，这样的小波称为第二代小波，利用提升方案可以 构造它们。第一代小波具有如下性质：P1 :是 L2 R 空间的 Riesz 基，还是 Lebesgue Lipschitz、Sobolev 和 Bes

34、ov 空间的 无条件基。P2:小波及其对偶在空间和频域是局域化的，有些小波还是紧支的。P3:小波分析可纳入多分辨分析的框架，这导致了快速小波变换算法。在研究中常有如下需要：G1:第一代小波提供了定义在 Rn上函数的基，但在象数据分割、在一般定义域上 的微分和积分方程的求解，需要定义在任意的、可能不光滑的域上的小波。G2：第一代小波典型地只提供具有不变测度的空间的基，而微分方程的对角化、在 曲线或表面上的分析等需要可适应加权测度的基。G3：第一代小波隐含对数据进行规则采样，而实际问题经常要处理不规则采样的数 据。具有性质P1-P3而又满足G1-G3性质的第一代小波的推广称为第二代小波。这儿的关键

35、问题是平移与伸缩并不是属性 P1-P3所必须的，放弃平移和伸缩，隐含着傅里叶变 换不能再用作构造工具。下面介绍利用提升方案构造第二代小波的方法。考虑信号X二汉k |Xk R?k Z，把X分成二个不相交的集合：偶下标采样Xe八X2kL Z 和奇下标采样X。二*2kl ； z，通常情况下这两个集合是紧密相关的，因而从一个集合 能很好地建立另一个集合的预测 Pd 二 Xe - P X。(8.4-2)知道了 d和奇采样值，可立即恢复信号Xe =d P x0(8.4-3)若P性能好，则d将是一个稀疏集，换言之，我们期望d的一阶熵小于Xo的。令0,2k - X2k， 0,2k 1 = X2k 1, k Z

36、取农 7k = 0,2k,k，Z(8.4-4)利用相邻两偶采样对奇采样进行预测，记下差值. 1 -4,k = 0,2k 1 , -1,k 1(8.4-5)2若信号是相关的，则大多数小波系数丫斗将很小。在理论上，我们可以继续通过对4,k；Z施加以上操作，然而，上述简单的操作性能并不好，为此引入另一个条件，即1希望 j系数的平均值在每一次分解时保持一致， 或者说使送/u,k 送0,k，此前所 进行的下采样很显然不具有这种特点，我们可通过借助于 丫斗对4,k进行提升来实现这 占：八、1人斗k =&,k+ (了4心 + 了斗k)(8.4-6)4现在，每一级小波变换由两步构成：首先计算小波系数，其次提升

37、下采样系数。逆 变换可立即得到：只需把式(846)中的加号换成减号，再把式(845)的等式中的项作一 下移动即可。整个计算过程如图8.4-1所示：j,2k 2(a)小波系数的几何含义(b)分解过程图8.4-1提升方案示意图从图8.4-1中可以看出，在进行小波变换时，可进行同址运算，即不需要辅助存储 器，这对硬件实现十分有利。下面的定理给出提升方案的一般方法。定理8.4-1给定双正交滤波器算子的初始集合H Old ,R；ld ,G：ld ,GOld那么可通过如下方法获得一个新的双正交滤波器算子集 右j,Rj,Gj,6j *二二jold- Sj(ld*_SjHold j式中Sj是一个从l2 M j

38、到l2 K j的算子证明：利用矩阵形式表示提升方案okjjoojH G -nl-s 1okjjokjjH Go10-1- -In - _HJ - j j _HE 一Hibo 11 o_-I J s-11 o_s 11 o_*o l dG*1_HjLGj J根据双正交滤波器的定义有所以_HjH*Uldoldg*old*old rG j J =_og*L 1j |0gh1 _01 _0_s1 _0(8.4-7)另外* o l d 1G0S Hold1 Goldo ljo l djdlG j -0* o l d 1(8.4-8)根据定义，满足式(8.4-7)(8.4-8)两式的即为双正交滤波器。证毕

39、 8.4.2 把小波变换分解成基本的提升步骤同已经证明所有FIR小波滤波器都有能分解成基本的提升步骤 。用矩阵表示时，一 个提升步骤对应一个单元(elementary)矩阵。分解的基本理论依据是矩阵代数，根据矩阵 代数，任何具有多项式元素项且行列式为 1的矩阵都可以分解成一系列的单元矩阵。首先把求自然数的最大公约数的 Euclidean算法推广到求两个多项式的最大公因子。两个多项式的公因子取决于因子 zp,而且与自然数不同的是，在多项式的情形下，解并 不是唯一的。定理8.4-2 (多项式的Euclidea n算法)。设有两个多项式az和b z = 0，而且a|b z。令a0 z a z，b0

40、z = b z，从i=0开始循环执行以下步骤ai i z = bi zbi 1 z = ai z %bi z那么an z i=gcd a z ,b z，如果n是使得bn z=0的最小数。ke定理中 a(z)定义为：若 a(z)= akZ*，则 a(z)=ke-kb kb用矩阵形式表示为門=口 01 甲 Z)0 7 l q(z)b(z)相应地a z n qi z 1 an z_bz =id _ 100式中n乞b z* ： 1。这样，an z能整除a z、b z，如果an z是一个单项式的话，那么 a z ,b z是互素的。为了把FIR小波滤波器(h, g)分解成基本的提升步骤，我们首先注意到he

41、 z ,ho z必须是互素的78，而且，利用公约数的不唯一性，总是可以使公约数为常量K，即严盯n严)叩%(z)匕100对于给定的滤波器h,通过如下操作，总可以找到一个互补滤波器 g0，即令(8.4-9)(8.4-10)P0z=川峡0%(z) g0(z)J 1 00 1/K；qi(z) 1=1 qi(z”0 ! 1 0二0 11在式(8.4-9 )中qj0 q 1 o0 一 10q(z) 1当i为奇时使用式(8.4-10)的第一个等式，当i为偶时使用第二个等式，有n/2 P0 z 【i 通过一个提升步骤可获得滤波器g,1 o_q2i_t(z% 1oK 0 :1鮎2心)10 1/K(8.4-11)

42、由以上分析可得如下定理P(z)=P0(zj|1 sz0 1定理&4-3给定互补滤波器对(h, g)，那么总是存在多项式S(z )和 tz )，1 口 “，以及一个常量K，使得10 K1ti(z) 100 11/K与对偶滤波器对,相关的多相(polyphase矩阵为P(zhn j10 1-ti z1/KJs(zr j。1 J； 001K在正交小波滤波器时有P(z)=P(z )，这就对应着两种不同的分解，也就是说，把FIR小波滤波器分解成基本的提升步骤时，分解是不唯一的。利用提升方案进行的小波变换如图8.4-2所示:LP(a)利用提升方案进行的小波分解示意图HP(b)利用提升方案进行的小波重构示意

43、图图8.4-2利用提升方案进行分解与重构作为例子，下面给出对具有两阶消失矩的 D4正交小波的分解:h z 二 h0 gz j h2z 2 h3z Jg z 二 z2 hzZ1 - 0 hoZ，其中.13.3. 3 .3 -，3 .1-3h0, h1, h2., ife :4 迈 4J24124+2多相矩阵是r ph0 + h2zP j E_ 馆 z1 _ 0h2zh0因式分解是r2s1,l +s1+ 亠肱*) +%,；二 +上D4d!, =卅R 3s0,2l + % 3,i = S00 + 呀 d# + * V 小忆 +必 1d1,l= d1,l+ s1,| +(9,7)d；l)- s0,2l

44、 + + (s0,2l * s0,2l 书)* Z I sj =s,2l + 卑(d；1+d1T片提 du =d1(,? + RsJ +$1加+%表中(4,4)表示分析小波和综合小波的消失矩(Vanishing Moments)均为4。(2+2,2)表 示通过一个额外的提升步骤使(2,2)变换的消失矩增加到4。D4是常见的4系数紧支撑 Daubechies正交小波变换的整数变换形式。(9,7)是常用于图像压缩的7/9小波变换的整 数形式，它的分析和综合滤波器的消失矩也都为 4。8.5小波图像编码8.5.1小波变换图像编码的基本框架当前所有常规小波编码器都是变换编码形式，主要由三部分构成：解相关

45、变换过程、量化过程和熵编码过程，下面分别进行描述。8.5.1.1解相关变换过程首先要解决的问题是小波基的选择。但是，对于图像编码，很难确定哪种小波基是 最优的，因为诸如光滑性、小波基支撑的尺寸以及频率选择性等指标都很重要，在不同 的要求下会产生不同的结果。另外，现在几乎所有的小波编码器采用的都是可分离二维 小波变换，这使得可把二维小波基的设计转化为一维小波基本的设计，由于可分离性所 具有的局限，有理由认为不可分离二维小波基将更为有效。在最优基的选择方面，研究者们已经做了大量的工作。Un ser14的研究表明样条小波 对基于近似理论的编码应用较为有效。Rioul15的实验结果说明在压缩应用中，正

46、交基的光滑性比较重要。Antonini等人16的实验表明光滑性和消失矩都很重要，而且光滑性 显得比消失矩要稍微重要一些。Vetterli和Herley17又指出“正则性对信号处理的重要性 如何仍然是一个公开问题(An Open Question)”。实际中常使用的小波基介于一阶和二阶 连续可微，更多的光滑性似乎并不能对编码产生明显的改善。Billasenor等人系统地研究了所有长度不大于36的双正交小波滤波器组的性能，结果表明7/9小波滤波器性能最好18。该滤波器正是在实际中应用最广泛的一种。然而在 应用双正交小波基时要注意，与正交小波基不同，它在变换域的平方误差与图像域的平 方误差并不相等，

47、也就是说在进行量化时，在变换域使平方误差最小并不能保证在图像 域也是最小的。另一个重要问题是边界的处理。由于实际的图像都是有限尺寸的，在把滤波器应用 于边界时，简单的周期扩展或者加零都会由于引入了不连续性，导致降低编码性能，一 个有效的方法是采用反射来扩展图像，它使边界保持连续。8.5.1.2量化过程由于小波变换具有良好的解相关性能，大多数编码器都采用标量量化。如果我们事 先知道各子带系数的分布特性，可以采用熵约束下的Lloyd-Max量化器对各子带进行量 化，但遗憾的是，通常我们并不具有这些先验知识。实际中经常使用的量化器是均匀量 化器，而且在高码速率下，均匀量化器是最优的19。均匀量化器具

48、有简单、有效的特点, 在性能上与Lloyd-Max量化器也很接近，还有一个额外的优点是它可以产生出嵌入式的 编码比特流。比特分配决定了每个子带量化的精细程度。最优比特分配是在一定的约束条件下， 决定各子带应如何量化，以使误差最小。本文随后将给出一个利用模拟退火算法进行最 优比特分配的方案。如前所述，对双正交小波，变换域的误差与图像域的误差并不相同， 为使二者一致，要对变换域的各子带的误差进行加权，不过对常用的7/9小波，加权系数都接近1,所以在实用中对7/9小波不进行加权。8.5.1.3熵编码过程典型的熵编码有游程编码、Huffman编码和算术编码，游程编码通常用于对二值图 像的编码20，Huffman需要在编码前进行概率统计或者使用固定的编码表，在小波编码 器中不常用，算术编码可以进行自适应编码，且一般认为它的效率要比Huffman编码的效率高，常用在小波编码器中。使用自适应算术编码时，通过使用有效的自适应概率估 计技术可使编码效率得到提高。有效的自适应估计过程在文献97和98 中进行了讨论。8.6 SPIHT算法、性能分析及其实现在嵌入式零树编码算法 EZW（Embedded Z