第六章 随机变量函数及其分布

1、随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题问题：已知随机变量：已知随机变量 X X 的概率特性的概率特性 分布分布 函数函数 或密度函数（分布律）或密度函数（分布律）Y = g Y = g ( ( X X ) )求求 随机因变量随机因变量Y Y 的概率特性的概率特性方法方法：将与：将与 Y Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X X 的事件的事件为一元函数，那么为一元函数，那么Y = g Y = g ( ( X X ) )也是随机变量，也是随机变量，一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律第一节第一节、 一维随机变量的函数及其的分布一维随机变量的函数及其的分布或或 Yg(X

2、)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）XPkY=g(X) kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxg例例1 已知 X 的概率分布为X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 321418181Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 421838111,2k 0,1,kYkXYk12(,)XX例2 设随机变量Y服从参数定义随机变量求的联合分布律.的泊松分布，对解 依假设11()e0,1,2,!P Yiii（

3、）,12(0,0)(1,2)P XXP YY1(1)(0)(1)2eP YP YP Y，12(0,1)(1,2)0P XXP YY ，12(1,0)(1,2)P XXP YY11(12)(2)e2PYP Y，12(1,1)(1,2)P XXP YY(2)1(0)(1)(2)P YP YP YP Y 1111512ee1e .22 1 , 11 , 01YYX2 , 12 , 02YYX因此12(,)XX有联合分布律：1X2X0 10 112e121e01251e2、连续型随机变量函数的密度函数、连续型随机变量函数的密度函数 （1 1）一般方法）一般方法 若若X X f(x), -f(x), -

4、 x + x0时， t tT TP PF F( (t t) ) t tT TP P1 1 =1- 在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥PXt01 te 1于是于是 000)( )(ttetFtft )(tPXt)!)()(tkektkXP第二节、第二节、二维随机变量函数的分布律二维随机变量函数的分布律一、一、设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X，Y），）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或 为一个二元

5、函数，则Z的分布律为),(yxgz ijjipyxgzP),(XY12120.20.10.30.4U 2 3 4 P 0.2 0.4 0.4V 1 2 P 0.2 0.8VU23120.2000.4400.4求（1）U=X+Y(2)V=max(X,Y)(3)(U,V)的联合分布p(x,y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)UV233412220.20.30.10.4书例7：后面还会看到正态分布，二项分布也具有可加性)(iYXP)0,() 1, 1(), 0(YiXPiYXPiYXPijjiYjXP0),(ijjiYPjXP0)()()!(!21201jiejejiijjijjijjiji

6、ie021)()!( !21ijjijjiCie021)(!21!)()(2121iei所以 ,泊松分布具有可加性,)(21PYXX,Y相互独立且服从 ，证明X+Y服从)(),(21PP)(21P二、几个常用函数的密度函数二、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布和的分布 已知已知(X, Y)f(x, y), (x, y) R2, 求求ZXY的密度。的密度。 ( )(, )( ,).Zfzf zy y dyf x zx dx或z x+y=z x+y z 若若X X与与Y Y相互独立，则相互独立，则Z ZX XY Y的密度函数的密度函数 .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(f

7、YXYXZ 或zYXzdxdyyxfzYXPzZPzF),()()()( zzyuxyzdudyyyufdudyyyufdxdyyxf),(),(),(此式为卷积公式此式为卷积公式1111例 X,Y相互独立且同时服从0,1上的均匀分布,求Z=X+Y的密度函数其他 , 010 , 10 , 1),(yxyxf解 联合密度函数为0)(, 0zFz当zYXdxdyyxfzFz),()(, 10当yzzzdxdy02021当, 21 zzYXdxdyyxfzF),()(11111yzzdxdy1222zz密度函数的间断点将z分为), 2),2 , 1 ),1 , 0 ,0 ,2z , 121 , 12

8、21z0 ,20 , 0)( 22zzzzzzF其他 , 02z1 ,210 ,)(zzzzf所求密度函数为),(21)(22xexfxX所以由卷积公式得所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为概率密度为 解解因为因为X,Y独立且其概率密度分别为独立且其概率密度分别为dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221【书例8】),(21)(22yeyfyY1、z在在(-,+)上取值上取值;2、x在在(-,+)上积分上积分;3、考虑被积函数的非零区域、考虑被积函数的非零区域;4、在、在xoz系中综合上述各点确系中综合上述各点确定定z的分段情形的分段情形.dxeezxz22)2(421

9、4221ze2zxtdteetz2242122)2(2221ze所以所以ZN(0,2). ).(z例 ，则 222211,NYNX122121,NYX, 0,100,5010)(其它tttf 解解因为因为X,Y独立独立,所以所以和分布和分布概率密度可由概率密度可由卷卷积公式积公式计算计算:dxxzfxfzfYXZ)()()( 计算积分计算积分思路思路:1.被积函数非零区域被积函数非零区域;2. z取任意实取任意实数数;3.x在在(-,+)上积分上积分;4.综合上述就综合上述就z分段分段.【例】(典型题), 0,100,5010)(其它xxxfX例2-续1 由边缘概率密度确定由边缘概率密度确定

10、的表达式的表达式,特别是其非零区域特别是其非零区域 : )()(xzfxfYX由题目条件得由题目条件得:, 0,100,50)(10)(其它xzxzxzfY, 010,100,50)(105010)()(其它其它xzxxxzxxzfxfYX故得故得: 计算卷积积分计算卷积积分: 函数自变量为函数自变量为z,积分变量为积分变量为x,当当z取值范围确取值范围确定后定后,x由由-积分至积分至+ (只需在非零区域内一段上积只需在非零区域内一段上积分分).zZdxxzxzf050105010)(zdxxzxz02)10100(25001100 z150006060032zzz例2-续22010 z101

11、050105010)(zZdxxzxzf15000)20(3z10102)10100(25001zdxxzxz200zz或或, 0)()( xzfxfYX因为因为所以所以. 0)(zfZ例2-续3.0,2010,15000)20(,100,1500060600)(332其它zzzzzzzfZ综上可综上可得得:例2-续4 设随机变量设随机变量X,Y相互相互独立独立，其，其分布函数分布函数分别为分别为),max()(maxzYXPzMPzF)(),(yFxFYX 现求随机变量现求随机变量M=maxX,Y,N=minX,Y的的分布函数分布函数. 由分布函数的定义得；由分布函数的定义得；,zYPzXP

12、zYzXP);()(zFzFYX1)(minzNPzNPzF,1),min(1zYzXPzYXP1 1 1zYPzXP1zYPzXP)(1 )(1 1zFzFYX)(1 )(1 1)()()()(minmaxzFzFzFzFzFzFYXYX 于是，于是，极大极大(小小)分布分布的分布函数为的分布函数为 特别特别,当当X,Y独立且同分布时独立且同分布时,有有2min2max)(1 1)()()(zFzFzFzF 上述结果可推广到有限个随机变量情形上述结果可推广到有限个随机变量情形.例例 一设备开机后无故障工作时间X服从参数0.2的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机；而在无故障情况下，工作

13、2小时便关机，试求该设备每次开机后，观察到的无故障工作时间Y的分布函数.,2,2,2,XXYXmin,2YX 解 依假设即.( )()0YF yP Yy0y 当时， 时， 当20 y)()(yYPyFy)2 ,(min(yXP)2,(min(1yXP)(1yXP)(yXPyxdxe02 . 02 . 0ye2 . 01当2y1)(yFy02 . 012 . 0dxex0.200( )1 e0212.yYyFyyy，Y的分布函数为1max(, ),min(, )UX Y VX Y1 e0( )00 xXxFxx ，；00( )0111.YyFyyyy，例例 设X与Y独立，X服从参数的指数分布，Y

14、服从区间（0，1）上均匀分布。.解解 依假设 X有分布函数 Y有分布函数，分别求U,V的密度函数( )()UF uP Uu(max,)( )( )XYPX YuFu F u0,0,(1 e) ,01,1 e ,1;uuuuuu( )()VF vP Vv(min,)1 (1( )(1( )XYPX YvFvF v 0,0,1 (1)e ,01,1,1.vvvvv 思考题思考题1A 0B 1C 2D 3答案答案 B,Z=0间断间断设随机变量X,Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1),Y的概率密度为 ，记 为随机变量Z=XY 的分布函数，则 的间断点的个数为 21) 1()0(YpYP)(zF

15、z)(zFz2)()(, 0 xzFzz2)(1)(, 0 xzFzz思考题思考题2设随机变量X的密度函数为其他 , 030 ,9)(2xxxf令随机变量2 , 1 2X1 ,1 , 2XXXY（1）求Y的分布函数（2） 求概率)(YXP)()(, 21yYPyFy)21 ,() 1(YyYPYP)1 ()2(yXPXPydxxdxx12322992 , 121 ,2719271 , 0)(3yyyyyFy)21 () 1()(XPXPYXP278思考题思考题3答案 A设随机变量X,Y相互独立，且X的分布函数为F(x),则Z=max(X,Y)的分布函数为)( 2xFA)()( yFxFB2)(-(1-1 xFC)(1)(-(1 yFxFD思考题思考题4（1）设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为 ，Y的概率密度函数为 ，记Z=X+Y ) 1 , 0 , 1( ,31iiXP 其他, 010 , 1yyfy(1) 求021XZP（2）求Z的概率密