人教版高中数学必修第二册课后巩固练习6.2.3《向量的数乘运算》(含解析)

1、6.2.3向量的数乘运算课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,D是线段BC的中点,且AB+AC=4AE,则() A.AD=2AEB.AD=4AEC.AD=2EAD.AD=4EA答案A解析由已知得AB+AC=2AD,所以AD=2AE.2.如图,在矩形ABCD中,点E为CD的中点,那么向量12AB+AD等于()A.AEB.ACC.DCD.BC答案A解析E为CD的中点,12AB=DE,则12AB+AD=DE+AD=AE.3.已知向量AB=a+2b,BC=5a+3b,CD=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案A解析向量BD=BC

2、+CD=2a+4b,AB=a+2b,BD=2AB,即点A,B,D三点共线.4.已知在ABC中,向量AP=(AB+AC)(R),则点P的轨迹通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心答案D解析设D为BC中点,则AB+AC=2AD,AP=2AD,即点P在中线AD上,可知点P轨迹必过ABC的重心.5.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状是.答案梯形解析由已知得AB=-57CD,因此ABCD,且|AB|CD|,所以四边形ABCD是梯形.6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+b)与(b-3a)共线,则的值为.答案-13解析由向量共线可得a+b=k(b-3

3、a),即a+b=kb-3ka,1=-3k,=k,解得=-13.7.如图,已知D,E分别为ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.证明D为MC的中点,且D为AB的中点,AB=AM+AC.AM=ABAC=CB.同理可证明AN=ACAB=BC.AM=-AN.AM,AN共线,又AM与AN有公共点A.M,A,N三点共线.8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求13a-b-a-23b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=13-1-1a+-1+23

4、+2b=-53a+53b.a=3i+2j,b=2i-j,原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=-5+103i+-103-53j=-53i-5j.(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,x=111a+211b.y=3x-b=3111a+211b-b=311a-511b.能力提升1.已知O是ABC所在平面上的一点,若OA+OB+OC=0,则点O是ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案C解析作BDOC,CDOB,连接OD,OD与BC相交于点G,则BG=CG(平行四边形对角线互相平分),OB+OC=OD,又OA+OB+OC=0,可

5、得OB+OC=-OA,OD=-OA,A,O,G在一条直线上,可得AG是BC边上的中线,同理,BO,CO也在ABC的中线上.点O为三角形ABC的重心.2.在ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OC+3OB=0,则AOB和AOC的面积比是()A.34B.32C.11D.13答案D解析取AC中点M,则由OA+OC+3OB=0,得2OM=-3OB,所以2|OM|=3|OB|,O在线段BM上,因此SAOBSAOC=SAOB2SAOM=|OB|2|OM|=13.3.在平行四边形ABCD中,DE=12EC,BF=FC,若AC=AE+AF,其中,R,则+=.答案75解析由平面向量的加法运算,有AC=AB+A

6、D.因为AC=AE+AF=(AD+DE)+(AB+BF)=AD+13AB+AB+12AD=3+AB+2AD.所以AB+AD=3+AB+2AD,即3+=1,+2=1,解得=35,=45,故+=75.4.在ABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且CM=tCP,求t的值.解CP=23CA+13CB,3CP=2CA+CB,即2CP-2CA=CBCP.2AP=PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.A,M,Q三点共线,设CM=xCQ+(1-x)CA=x2CB+(x-1)AC,又CB=ABAC,CM=x2AB+x2-1AC.又CP=APAC=13ABAC,且CM=tCP,x2AB+x2-1AC=t13AB-AC.x2=t3,x2-1=-t,解得t=34.5.已知OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设AB=a,AO=b.(1)用向量a与b表示向量OC;(2)若OE=35OA,判断C,D,E是否共线,并说明理由.解(1)AB=a,AO=b,点A是BC的中点,AC=-a.OC=OA+AC=-a-b.(2)假设存在实数,使CE=CD.CE=CO+OE=a+b+35(-b)=a+25b,