物流运筹学题库

1、物流运筹学题库1、物流运筹学的研究对象是什么？运筹学的研究对象是有组织的系统， 解决的是其中的管理问题。物流运筹学 的研究对象就是物流系统中所遇到的与运筹相关的问题。2、运筹学的开展经历了哪些阶段？运筹学的开展大致可以划分为四个阶段： 一战、二战以前的萌芽时期、二战 期间的产生时期、二战以后的开展时期和成熟时期。3、物流运筹学的主要内容有哪些？物流运筹学主要是运用运筹学的理论与方法研究物流领域的管理与决策问 题。其具体内容主要包括：规划论包括线性规划、非线性规划、整数规划和动 态规划等、图与网络分析、工程方案技术、决策论、对策论、排队论、存储论4、某加工配送中心负责加工配送 A、B、C、D、E

2、五种产品，具体约束见表4, 应如何安排生产可使该厂在现有条件下日产值最大？表4相关数据ABCDE生产能力件甲43200200乙10032100丙04212150价格元35222解 设Xj j=1, 2,，5是生产的A、B、C、D、E五种产品的数量,目标函数是使日产值最大，得到以下线性规划模型:maxz 3x1 5x2 2x3 2x4 2x54x-i3x22x3200X1 st.,4x23x42x5 1002x3x4 2x5 150Xj 0, j 1,2,5解之得最优解为xi 27,X230,X31,X423,X52，最大目标值为283。(2)线性规划问题写出它的对偶问题，假设其对偶问题的最优解

3、为y： 4，y：1，试应用对偶问maxz2x1X25X36X42X3X48s.t 2为2x2X32X412Xj0,j1-111,4题的性质，求原问题的最优解解其对偶问题为min w 8y：12 y22 yi 2 y222y21st. y1 y25y1 2y26y1, y2 0由强对偶性知原问题的最优值为44。设最优解为* t(X1 , X2,X3,X4)，,_ r *那么 2x1 x2 5x3 6x4 44，又y11, y1y25, y12y26由互补松弛性条件知2x1 x3 x48,2x1 2x2X32x412, X10, x20从而解得X；0, x20, x34, X44，即 X*(0,0

4、,4,4)t即为原问题的最优解。5、用对偶单纯形法求解min z 2x1 3x2 4x3x1 2x2X32X| x23x3Xi,X2,X30先将约束不等式化为等式:maxz2x1 3x2 4x3Xi2X2 X3X42x1X23X3 X5Xj o, j 1,6其对应初始单纯形表见表1CjCiC2C3C4C5CB基bX1X2X3X4X50X4-3-1-2-1100X5-4【-2】1-301j9Zj-2T-3-400单纯形表2CjCiC2C3C4C5CB基bX1X2X3X4X50X4-10【-2.5】0.51-0.5-2Xi21-0.51.50-0.5jCjZj0-4T-10-1最终单纯形表3CjC

5、iC2C3C4C5CB基bX1X2X3X4X5-3X20.401-0.2-0.40.2-2Xi2.2101.4-0.2-0.4jCjZj00-1.8-1.6-0.2从表中可以看出检验数行均小于等于零，基变量对应的解均大于等于零，此时求得最终单纯形表。从最终单纯形表中可以看出，x*= 2.2, 0.4, 0，0，0，对应目标函数值为z*=5.6。&线性规划问题:maxz 5x1 5x2 13x3X x? 3x320s.t 12% 4x2 10x3 90X 0,j 1,川,3先用单纯形法求出最优解，然后分析在以下各种条件下，最优解分别有什么 变化？ 约束条件一的右端由20变为30; 目标函数中Xj

6、的系数由13变为8；为系数列向量由变为增加一个约束条件2 3x2 5x3 50；增加一个变量X4，对应系数为解化为标准型后用单纯形法计算，如下表所示单纯形法初始表1CjC1C2C3C4C5Cb基bX1X2X3X4X50X420-11【3】100X5901241001jCjZj-5513 t00单纯形法表2CjC1C2C3C4C5CB基bX1xX3X4X513X320/3-1/3【1/3】11/300X580/346/32/30-1/31jCj可-2/32/3 t013/30单纯形法表3CjC1C2C3C4C5CB基bX1X2X3X4X5X220-113100X510160-2-41j5Zj00

7、-2-50至此，所有的j 0, j 1,川,5，那么X (0,20,0,0,0)T是该线性规划问题的最优解，对应的目标函数值为z5x, 5x2 13x3 100。 当约束条件一的右端由20变为30时，最优解变为X (0,0,9,0,0)T，此对应的目标函数值为z5x! 5x2 13x3 117。 当目标函数中沟的系数由13变为8时，最优解不变，目标函数值也不变。1 、 0一 当为系数列向量由变为时，最优解不变，目标函数值也不变。125 当增加一个约束条件2x 3x 5x3 50时，最优解变为X (0,50/3,0,0,0)T，此对应的目标函数值为z5x1 5x2 13x3 250/3。-3一一

8、 当增加一个变量x4,对应系数为2时，最优解不变，目标函数值也不变。7、某公司面临一个是外包协作还是自行车生产的问题。该问题生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，也可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。 有关情况见表2-12,该公司种可利用的总工时为：铸造8 000小时、机加工12 000 小时和装配10 000小时。为使该公司获得最大利润，甲、乙、丙三种产品应各 生产多少件？甲、乙两种产品由该公司铸造及外包协作铸造各多少件？表2-12甲、乙、丙三种产品的工时与本钱、产品 工时与本钱 甲乙丙每时铸造工时小时5107每

9、件机加工工时小时648每件装配工时小时322自产铸件每件成本元354外协铸件每件成本元56机加工每件本钱元213装配每件本钱元322每件产品售价元231816解 设捲、X2、X3分别为三道工序都有公司加工的甲、乙、丙三种产品的 件数，X4、X5分别为由外协铸造再由该公司加工、 装配的甲乙两种产品的件数 每件产品的利润分别如下：每件产品甲全部自制的利润=233+2+3=15 元；每件产品甲由外协铸造，其余自制的利润 =235+2+3=13 元；每件产品乙全部自制的利润=18(5+1+2) =10 (元)；每件产品乙由外协铸造，其余自制的利润 =18(6+1+2) =9 (元);每件产品丙的利润=

10、16( 4+3+2)=8 (元)。建立此问题的线性规划问题如下：maxz15x110X27X313x49x55x110X27X380006x14X28x36x44x512000s.t.3x12X22x33x42x510000Xj 0( j 1,2,3,4,5)经计算得结果： X* (x1,x2,x3,x4,x5)T (1600,0,0,0,600)T , maxz 29400。 故最优方案为：产品甲生产1 600件，全部由该公司自己铸造；产品乙生产 600 件，由外协铸造后再有该公司加工、装配；产品丙不生产。8、A公司需制造2 000件的某种产品，这种产品可利用 A，B，C设备的任意一种 加工

11、，每种设备的生产准备结束费用， 生产该产品时的单件本钱，以及每种 设备的最大加工量如表8所示，试对此问题建立整数规划模型并求解。表8产品的准备结束费、生产本钱和最大加工量设备准备结束费(元)生产本钱(元:/ 件)最大加工数(件)A10010600B3002800C20051 200解设Xj为采用第j(j 1,2,3)种设备生产的产品数量，生产费用为kj 5Xj(Xj0)Cj(Xj)式屮，kj为固疋本钱准备结束费，Cj为生产成0(Xj0)本。设0-1变量yj ，令 yj1采用第j种设备生产，即Xj 0时不采用第j种设备生产，即Xj 0时1,2,30目标函数为mi nz (100yi 10xJ (

12、300y2 2x2)(200y3 5x3)Xj Myj 0 j 1,2,3为 x2 x32000为 600s.t.x2800x31200x1,x2,x3 0,且均为整数 yj1 或0, j 1,2,3解之得最优解为X (0,800,1200)T,Y (0,1,1)T即用设备B和C生产，分别生产 800件和 1200件09、某物流企业要从以下10个可供选择的地点中确定5个转运中心，使总的物流费 用最小。假设10个地点位的代号为3,川心0，相应的钻探费用为g,|,g。，并且井 位选择上要满足以下限制条件： 选择3和S7，或选择S9 ； 选择了 S3或S4就不能选S5，反之亦然； 在S5,Sb,S7

13、, S3中最多只能选两个。试建立这个问题的整数规划模型。解令xi1，当Si被选用,0,当Sj没被选用i 1,2,1010maxzi 110i 1Xi5X1X91于是问题可列成：X2X91X4X51X3X51X5X6X7X82Xj0，当Si未选用1,当Si选用10、用分枝定界法求解下面的整数规划问题maxz 3捲 2x22x1 x29s.t2x1 3x2 14为,x20且取整解 解该问题(IP)的松弛问题(LP)得最优解X。 (3.25,2.5)，目标函 数值为zo 14.75，xo不满足取整条件。分枝与定界定界：zo 14.5是原问题最优目标函数值 z*的一个上界，记为z 14.75 ； 显然

14、x (0,0)是原问题的一个可行解，相应目标函数值z=0是z*的一个下界，记 作 z=0，即有 0 z*14.75。分枝：在x0中任取一非整分量，比方取x22.5作为分枝变量。在LP中分别增加约束X2 2和x 2 3，得两个分枝LP1和LP2。求各分枝最优解，填入分枝图， 如以下列图所示。LP1maxz 3x1 2x22x1 x292x1 3x214s.t.x22x1 ,x20maxz 3为2x22为 x292为 3x214LP2s.t.2X2 3x1, x20可求得LP1的最优解为(3.5,2), Z=14.5LP2的最优解为(2.5,3),z=13.5,应选取边界值较大的子问题由于两个子问

15、题的最优解仍非原问题的可行解LP1继续分枝.在LP1上分别加上约束X1 4得LP11和LP122x1 x292x1 x292x1 3x2142x1 3x214LP11s.t. x22LP12s.t. x22x13x14x1, x20x1 ,x20可求得LPii最优解为3,2, z=13; LP12的最优解为4,1, z=14。因此保留可行解中较大的z=14。求解过程如下列图：11、用匈牙利解法求解下面的指派问题791012131216171516141511121516解 每行减掉其所在行最小值，然后每列再减其所在列最小值，得新的矩阵0234104412 0 00144此时，C中各行各列都已出

16、现零元素。为了确定C中的独立零元素，对C中零元素加圈，即0234c 1 4 41 2 0 0.0144由于只有3个独立零元素，少于系数矩阵阶数n=5,不能进行指派，为了增加 独立零元素的个数，需要对矩阵作进一步的变换，变换步骤如下：用最少的直线覆盖所有的“ 0得3 44 40044 从矩阵未被直线覆盖的数据中找出一个最小的 k并且减去k，矩阵中k=3 直线相交处的元素加上k，被直线覆盖没有相交的元素不变，得到以下矩 阵0 2 0 110 11c450 00 111此时，有四个独立零元素，独立零元素的个数与效率矩阵的阶数相同， 那么该 指派问题的最优解为0 0 100 10 0x0 0 0 11

17、0 0 012、某公司运输车队完成各项运输任务的效率矩阵如下，解效率矩阵最小化指派问题。101149711142569121311107每行减掉其所在行最小值，然后每列再减其所在列最小值，得新的矩阵用最少的直线覆盖所有的65066803012435070065066803012-43 0这里直线数为3 等于4时停止计算，要进行下一轮计算。从矩阵未被直线覆盖的数据中找出一个最小的 k并且减去k，矩阵中k=3。直线相交处的元素加上k，被直线覆盖没有相交的元素不变，得到以下矩阵33 ()553 1200)77103)3J0c此时得到指派问题的最优解001000011000001013、试述运输问题数

18、学模型的特征，为什么模型的m+n个约束中最多只有m+n -1个是独立的？nm nm答 如果将全部发量约束Xjj ai相加，就得到Xjjai ;将全部收mn mnmn量约束 Xjj bj相加，就得到Xjbj ,由于收发平衡，有 aibj ,i 1j 1 i 1j 1i 1j 1所以模型4-1 中m n个等式约束不是相互独立的。可以证明，在这m n个等式约束中任取m n 1个，贝U它们是相互独立的，即不存在多余的约束条件。在m n个等式约束中删除任何一个，运输问题的可行域不变。所以，运输问题 的基解仅有m n 1个基变量。14、如何把一个产销不平衡的运输问题含产大于销和销大于产转化为产销平 衡的运

19、输问题？答对于总产量不等于总需求量的运输问题，不能直接采用表上作业法求最 优调运方案。而是将产销不平衡问题转化为产销平衡运输问题，然后再采用表上 作业法进行求解。产大于销问题：对于此类问题，设有一个假想销地Bn 1，其销量为mnbn 1aibji 1j 1但实际上没有运输，故其单位运价为 0,这样就转化为产销平衡问题，但没 有破坏原问题的性质，表4-44为产销平衡表。表4-44 产销平衡表销产地B1B2BnBn+1产量A1C11C12C1n0a1A2C21C22C2n0a2-IBHEia-AmCm1Cm2+ Cmn0am销量b1b2+ 4-1bnbn+1销大于产的问题：对于此类问题，设有一个假

20、想产地 Am1，其产量为am 1bjaij 1i 1但实际上没有运输，故其单位运价为无穷大M，这样就转化为产销平衡问题，但没有破坏原问题的性质，表 4-45为产销平衡表。表4-45 产销平衡表销产地B1B2+ + *Bn产量A1C11C12C1na1AC21C22C2na2HFBBBBeAmCm1Cm2+ + CmnamAm+1MM+ + Mam+1销量b1b2+ + bn15、运输问题的供需关系表与单位运价表如表15所示，试用表上作业法求最优解。表15运输表产地、甲乙丙丁产量132765027523603254525销量60402015解 用最小元素法求解的整个求解过程如运算表 1、运算表2

21、所示:运算表1Vj32-2-1aiUiBiB2B3B40Ai3276501040XX00974A275236025X20150-100-1A325452525XXX0477bj60402015运算表2Vj32-2-1aiUiB1B2B3B40X00973A2752360X2520151000-1A325452525XXX0477bj60402015由上表知该运输问题的最优解为:* TX BX11 , X12 , X22 , X23 , X24 , X31* TX NX13 , X14 , X21 , X32 , X33 , X3435,15,25,20,15,25 T

22、T0,Q0,0,0,0最优值为:z*35 3 15 225 520 215 325 2395。16、某运输问题的一个产销量及调运方案见表16-1,单位运价表见表16-2判断所给出的调运方案是否为最优？并说明理由。U10,U21,U31,U40, V12,V21,V3 1,V41,V52, V60求得检验数ijCij(ui Vj)11C11(U1V1)2(11)0，同理可知132,142,165,242, 263,323,332,351,412,421431,46表16-1 调运方案销 产地、B1B2B3B4B5B6产量A1401050A251020540A325241160A4161531销量

23、305020403011表16-2 单位运价表、销地 产地、B1B2B3B4B5B6A1213325A2322434A3354241A4422122解 调运方案是最优，因为如果 上表是最优解，可以求得位势数为st min ij 0 i m,0 j n0所以上表为最优解。17、某糖厂每月最多生产糖270吨，先运至三个仓库，然后再分别供应五个地区需要。各仓库容量分别为 50吨，100吨，150吨，各地区的需要量分别为 25吨，105吨，60吨，30吨，70吨。从糖厂经由各仓库然后供应各地区的 运费和储存费如表17所示。试确定一个总运费最低的调运方案。表17运费及存储费用表B1B2B3B4B5A11

24、015202040A22040153030A33035405525解 仓库总容量为300吨，各地区需要量总计270吨。仓库有30吨装不满，各地区有20吨不能满足。可虚设一库容 20吨的仓库A4来满足需要，相应虚设一地区B6来虚购仓库中未装进的30吨糖。由此列出产销平衡表与单位运价表如下：B1B2B3B4B5B6aiA11015202040050A220401530300100A330354055250150A400000M20bj2510560307030按上表用表上作业法求之得最优调运方案为X110, X1250, X130,为40,X150,X2125, X220, X2360, X241

25、5, X250,x；10, x；2*50, X330,x；40, x；570最优解为z*50 152520 6015 1530 503570 256100 018、公司有资金8万元，投资A、B、C三个工程，一个单位投资为 2万元。每 个工程的投资效益率与投入该工程的资金有关。三个工程 A、B、C的投资效益万元和投入资金万元的关系见下表。求对三个工程的最优投资分配，使 总投资效益最大。工程投入资金/万元ABC28910415202863035358384043解 设Xk为第k个工程的投资，该问题的静态规划模型为max ZVixJ V2X2 V3X3Xi X2 X38Xj 0,2, 4, 6,8阶

26、段k:每投资一个工程作为一个阶段，k=1,2,3,4。k=4为虚设的阶段状态变量Sk：投资第k个工程前的资金数决策变量Xk：第k个工程的投资额决策允许集合：OW Xk Sk状态转移方程：Sk+l=Sk Xk阶段指标：VkSk, Xk见表中的数据递推方程：fkXk max Vk Sk, Xk fkiSki终端条件：f4S4=0数学模型为fkXk maX VkSk,Xk fkiSJ,k 3,2,1S 1 Sk Xkf4%0Xk 0,2,4,6,8, k 1,2,3k=4,终端条件 f4S4=0。k=3, 0 X3W S3, S4=S3 X3状态决策状态转移方程阶段指标过程指标最优指标最优决策S3X

27、3S3S4=S3 X3V3S3,X3V3S3,X3+f4S4f3S3X3*00000+0=00020200+0=0102201010+0=10*40400+0=0284221010+0=10402828+0=28*60600+0=0356241010+0=10422828+0=28603535+0=35*80800+0=0438261010+0=10442828+0=28623535+0=35804343+0=43*k=2, 0 X2 S2, S3=S2 X2S2X2S2S3V2S2,X2f3S3V2S2,X2+f3S3f2S2X2*000000+0=0002020100+10=10*1002

28、0909+0=94040280+28=28*280229109+10=194020020+0=206060350+35=35372249289+28=37*42201020+10=306035035+0=358080430+43=43484269359+35=4444202820+28=48*62351035+10=458040040+0=40k=1 , 0 X1 S1 , S2=S1 X1S1X1S1S2V1S1,X1f2S2V1S1,X1+f2S2f1 S1X1 *8080480+48=48*480268378+37=4544152815+28=4362301030+10=40803803

29、8+0=38最优解为:S1=8, X1*=0 , S2=S1 X1=8, X2*=4 , S3=S2 X2*=4 , X3=4, S4=S3 X3= 0。投资 的最优策略是，工程A不投资，工程B投资4万元，工程C投资4万元，最大 效益为48万元。19、一个工厂生产某种产品，16月份生产本钱和产品需求量的变化情况见表19。表19每月需求量与生产本钱表月份k123456需求量dk203035402545单位产品本钱Ck151216191816没有生产准备本钱，单位产品一个月的存储费为hk= 0.6元，月底交货。分别求以下两种情形6个月总本钱最小的生产方案。 1月初与6月底存储量为零，不允许缺货，仓

30、库容量为 S=50件，生产能 力无限制； 其他条件不变，1月初存量为10。解动态规划求解过程如下。阶段k：月份，k=1, 2,，7状态变量Sk：第k个月初的库存量决策变量Xk：第k个月的生产量状态转移方程：Sk+1=Sk+Xk dk决策允许集合：Dk(sk) xk xk 0,0 sk xk dk 50阶段指标:Vk(Sk,Xk)CkXkhkSkCkXk 0.6 Sk终端条件：f7(S7)=0, S7=0递推方程：fk(Xk)nDin( )vk(Sk,Xk) fki(Ski)Xk Dk(Sk)min Vk (Sk , Xk)fk 1 (Sk Xk dk)Xk Dk(sk)当k=6时，因为S7=0

31、，有S7Ss X6 d6 Ss X6 45 0,X645 S6，S6 45f6(S6)min16x6X645 S6=min 16 x6X645 S615.4 S67200.6 S6 f 7 ( S7 ) 0.6 S6 *X645 S670 S565 s4当 k=5 时，由0&45, 0 S5 X5 d5 S5 X52545,得 25 S X5由于S525矛盾。因此有f ( )18令1930 0 S 40儿 40 s 并且0S525x525 S4(S4)16.$1866 40 匀 50x4 0 并且025xs25 k=3，当 0 s4 40 时，0 S3+X3 35 40f3(S3)D36)X3

32、 max0,35 S3 X3 75 Ssmin 16x3 0.6s3f4()X3 D3 ( 3)16x3 0.6s3 18.4s4 1930min2.4X3 17.8S3 2574X3 D3(S3)75 S315.4S3 2394取上界：X3当 40 S4 50 时,40 S3+ X3 35 50D3(S3)x3 75 s x385 S3f3(s3)min 16x30.6s3X3 D3(3)f4(S4)16.8S4 1866minX3 D3( S3)0.8x3 16.2S3 245415.4S32386取上界:min 16x3 0.6s3X D3(Sb)*X385 S3当 k=2 时，由40

33、S450,0 S350, 0 S2 x2 30 50,有30 s2 x280 S2X2的决策允许集合为D2(S2)x2 max0,30s2 x2 80 S2f2(S2)m min12x20.6S2f3(S3)30 S2 X2 65 S2min12x20.6s215.4s3238630 S2 X2 65 S2min3.4x2 14.8q 284830 s2 x2 65 s211.4S2 2576取上界：x2 80 S2当k=1时，由S250,0$ 捲 2050, 20$ X 70 S|只要期初存量s1 40,X4 = 0,S5=50 0 40= 10v 25,X5 = 25 s5= 15,ss=

34、10+ 15 25= 0,X6 = 45。总本钱为2876。16月份生产、存储详细方案表见下表所示月份(k)123456合计需求量(dk)203035402545195单位产品本钱(Ck)11216191816单位存储费hk0.60.60.60.60.60.6产量Xk20803501545195期初存量Sk005050100110生产本钱Ck(xk)30096056002707202810存储本钱Hk(sk)0030306066合计2876 期初存储量S1 = 10,与前面计算类似，得到 X1 = 10, X2= 80, X3= 35, X4 =0, X5 = 15, X6 = 45。20、某

35、厂新买了一间25平米的房间做生产车间，有4种机床可以放置于此安排 生产，各种机床各台的收益情况估计表 20所示。为了获得最大收益，各种机床 各放置几台为最好？表20几床占地面积与收益机床母台占地/ m每台收益/(兀天1)第一台第二台第三台第四台A410741B59988C6111098D38642解 为了获得最大收益应放置 A机床2台，B机床1台，C机床1台，D机 床2台。此时，能获得最大收益51。21、求图21中从V1到v的最短路图21解 从Vi到V8的最短路径是V1 f V3 f V6 f V8，目标值为14o22、用Floyd算法求图22中所有点之间的最短路图22解 (1)第一步：确定权

36、矩阵D(0)。0 101615063012525061205D(0)0第二步：计算两步最短距离矩阵对得矩阵 DL(j1)min 5 ,內，例如V经过两步(最多一个中间点)到达 v4的最短距r离为l2； min I：I(0) I(0)I(0)1 44，1 21114I (0) ，1 23I (0)I 34I (0) ，I 22I (0)I 24min( 3,3)301016132127063915012510所以D0611050同理可得出三步最短距离矩阵D。0 1016131924063914D(1)0125100611050此时得到最有矩阵，即两点之间的距离都为最短。23、求从Vi到v的最大流

37、。解；给定初始可行流，见图16-(61图1增广链卩二(1,2),(3,2) , (3,4) , (4,7) ,卩 +=(1,2),(3,4) , (4,7),卩=(3 , 2)，调整量为增广链上点标号的最小值9 = min, 2, 3, 3, 7 = 2 调整后的可行流为以下列图图3oo4图4第二轮标号:,调整量为增广链卩=卩+= (1,3) , (3,4) , (4,7)0 = min X, 4, 1, 5 = 1调整后得到可行流:图5第三轮标号:增广链卩=卩+= (1,3) , (3,6) , (6,4) , (4,7)，调整量为9 = min, 3, 1, 2, 4 = 1调整后得到可行

38、流图7图8v7得不到标号，不存在v1到V7的增广链，图6-22所示的可行流是最大流,最大流量为v= f12+f13= 8+12=2024、将3个天然气田Ai、A2、A3的天然气输送到2个地区Ci、C2，中途有2个加压站Bi、B2,天然气管线如图24所示。输气管道单位时间的最大通过量q及单位流量的费用dj标在弧上cj, dj。求最小费用最大流。图24解虚拟一个发点和一个收点得最小费用最大流如以下列图，最大流量等于 27,总费用等于35125、求图25中的最小生成树。解对上图各结点表字母得图25可以得出最小生成树为:它的权为3426、请指出图26(a) (b) (c) (d)所示网络图的错误，假设

39、能改正，试给予改正(a)g(b)(c)2(d)图26解 (a)工序d、e具有完全相同的箭尾结点与箭头结点。应在结点和 之间增加一个结点和一个虚工序。(b) 图中有和两个终端结点，应去掉一个，将工序f，g归结到一个结 点。此外，虚工序一可省略。(c) 图中有两个始点和两个终点，均可合并。(d) 工序a，d，e形成循环，不允许。27、表27所列资料:表27工序时间表工序紧前工序工序时间/d工序紧前工序工序时间/da一3fc8ba4gc4ca5hd,e2db,c7ig3eb,c7jh,i2要求： 绘制工程方案图； 计算各结点的最早时间和最迟时间； 计算各工序的最早开工、最早完工、最迟开工及最迟完工时间; 计算各工序的时差； 确定关键路线。解工程方案图如下: 结点1的最早时间是0,最晚时间是0;结点2的最早时间是3,最晚时 间是3;结点3的最早时间是7,最晚时间是8;结点4的最早时间是8,最晚时 间是8;结点5的最早时间是12,最晚时间是14；结点6的最早时间是15,最 晚时间是17；结点7的最早时间是15,最晚时间是15;结点8的最早时间是15, 最晚时间是15;结点9