勾股定理的各类题型.doc

1、勾股定理各种题型 : 勾股定理面积相等法：方法 1:斗禺+曲显趴迥正務開 go 厂 4x ab + (ia) c ) 化简可证 .方法 2 :方法 3 :S 聃曲=十町* 七盼; 宀化简得证二：方程思想和勾股定理结合的题目1. （2016 春？宜春期末）一旗杆在其 B 处折断，量得 AC=5 米，则旗杆原来的高度为C. 10 米 D. 二. ；米【考点】勾股定理的应用 .【分析】可设 AB=x ，贝 U BC=2x ，进而在厶 ABC 中，利用勾股定理求解 x 的值即可 .【解答】 解：由题意可得， AC2- X2=5；解得 x= ,2=BC2- AB2, 即（2x）3 所以旗杆原来的高度为

2、3x=5 *匚故选 D.【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形 .2. （2016 春？防城区期中）如图，在 ABC 中，/ B=40 EF/ AB , / 1=50 CE=3 , EF比 CF 大 1, 则 EF 的长为（4 BA. 5 B. 6 C. 3 D . 4【考点】勾股定理；平行线的性质 .【分析】由平行线的性质得出 / A= / 仁 50 得出 / C=90 设 CF= X，则 EF= X+1，根据勾 股定理得出方程，解方程求出 X，即可得出 EF 的长.【解答】 解：I EF / AB，?/ A=/ 1=50 ?/ A+ / B=50 40 90 欢迎下载 2?/ C

3、=90设 CF=x ，则 EF=x+1 ,2 2 2 根据勾股定理得： CE+CF =EF ,卄 2 2 2即 3 +X = ( X+1 ), 解得： x=4 ,? EF=4+1=5 ,故选： A.【点评】本题考查了平行线的性质、 直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质 , 并能进行推理论证与计算是解决问题的关键 .3. （2015 春?蚌埠期中）已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm , AD=9cm ，将此长方形折EF , 则 BE 的长为（A. 3cm B. 4cm C. 5cm D . 6cm【考点】翻折变换（折叠问题） .【分析】根据折叠的性质可得 BE=ED , 设

4、 AE=x ，表示出 BE=9 - X, 然后在 Rt ABE 中，利 用勾股定理列式计算即可得解 .【解答】 解：?长方形折叠点 B 与点 D 重合，? BE=ED ,设 AE=x ，贝 U ED=9 - x, BE=9 - x,2 2 2在 RtA ABE 中，AB +AE =BE ,“22 2即 3 +x = （9 - x）,解得 x=4 ,? AE 的长是 4,? BE=9 - 4=5 , 故选 C.【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于 AE 的长的方程是解题的关键 .4. （2008 秋?奎文区校级期末）在我国古代数学著作九章算术中记载了一个有趣的问

5、题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边的水面 . 那么水深多少？芦苇长为多少？欢迎下载 3【考点】勾股定理的应用 .【分析】找到题中的直角三角形，设水深为 x 尺，根据勾股定理解答 .【解答】解；设水深为 x 尺，则芦苇长为（ X+1 ）尺，根据勾股定理得： I ;解得： x=12 （尺），芦苇的长度 =x+1=12+ 仁 13 （尺），答：水池深 12 尺，芦苇长 13 尺.【点评】此题是一道古代问题， 体现了我们的祖先对勾股定理的理解， 也体现了我国

6、古代数学的辉煌成就 .三：勾股定理应用：求最短距离问题1. （2014 秋？环翠区期中）如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm，高为 6cm . 如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达 B, 那么所用细线最短需要（ ）/B11A 3 on1-7CWA. 12cm B. 11cm C. 10cm D . 9cm【考点】平面展开 -最短路径问题 .【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据 两点之间线段最短得出结果 .【解答】解：将长方体展开，连接 A、B,则 AA=1+3+1+3=8 （cm ）, AB=6cm ,根据两点之间线段最短， AB = a/

7、 + 6?=10cm .欢迎下载 4【点评】 本题考查了平面展开 - 最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开 面”用化立体为平勾股定理解决 .2. （2016 春？繁昌县期末）如图，是一长、宽都是 3cm ，高 BC=9cm 的长方体纸箱， BC 上有一点 P, PC=BC , 只蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是（虫 B. 3 , :cm C . 10cm D . 12cmA. 6 |pjcm-最短路径问题 . 【考点】平面展开【分析】 将图形展开，可得到安排 AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可 .【解答】解： (1) 如图 1 ,AD=3cm , DP=3

8、+6=9cm ，在 RtA ADP 中，AP= ： . =3 一 i cm ;（2）如图 2, AC=6cm , CP=3+3=6cm ,RtA ADP 中, AP= ；=6 |?汨 cm .综上，蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点 P 的最短距离是 6 :-:cm .3. （2016? 大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 A 点绕到正上方 B点共四圈，已知易拉罐底面周长是 12cm ，高是 20cm ，那么所需彩带最短的是（B欢迎下载 5A. 13cm B. 4 icm C . 4、J C! cm D . 52cm【考点】平面展开 -最短路径问题 .【分析】要求彩带的长，

9、需将圆柱的侧面展开，进而根据 两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理 .【解答】 解：由图可知，彩带从易拉罐底端的 A 处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的 B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，?易拉罐底面周长是 12cm ，高是 20cm ,2 , 、 2 2? x= (12 X4) +20 ,所以彩带最短是 52cm .故选 D【点评】本题考查了平面展开 - 最短路径问题， 圆柱的侧面展开图是一个矩形， 此矩形的长 等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， 化曲面为平面” 用勾股定理解决.4. ( 20

10、16? 游仙区模拟 ) 长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为 内点 E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形16cm 、6cm 和 6cm，在罐ABCD 中心的正上方2cm 处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少 cm .( )A. 7 打* B._； C. 24 D . . : : :【考点】平面展开 -最短路径问题 .【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面 在平面内线段最短，根内, 据勾股定理即可计算 .【解答】 解： 若蚂蚁从平面 ABCD 和平面 CDFE 经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图 1:欢迎下载 6H& | |?上厂 =7 口， 若蚂蚁从平面 ABC

11、D 和平面 BCEH 经过, 则蚂蚁到达饼干的最短距离如图 2:H E= | ：丨： 丄：；故选 B.【点评】考查了平面展开 - 最短路径问题， 此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点 ,然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段 .5. （2015 秋？宜兴市校级期中）如图，一圆柱高 8cm，底面半径为 cm , 一只蚂蚁从点 A爬到点 B 处吃食，要爬行的最短路程是 10 cm .欢迎下载 7-最短路径问题 .欢迎下载 8【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答 .【解答】解：底面圆周长为 2 n，底面半圆弧长为 n，即半圆弧长为：一 X ：2展开得

12、：/ BC=8cm , AC=6cm ,根据勾股定理得： AB= ； ? | =10 （cm）.故答案为： 10.A C【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短， 解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度 .四：网格问题（简单） 1、在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 的三个顶点均在格点上， 则厶 ABC 中BC 边上的高为答案：设厶 ABC 中 BC 边上的高为 h .?/ ABA 2 =5 , ACA 2 =20 , BCA 2 =25 ,? BCA 2 =ABA 2 +AC 卜 2?/ A=90S ABC = 2 AB AC= 2 BC h ，即5 2

13、5 =5h .解得， h=2 .故答案是： 2.2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为格点多边形” . 如图（一）中四边形 ABCD 就是一个格点四边形”.（1） 求图（一）中四边形 ABCD 的面积；欢迎下载 9（2） 在图（二）方格纸中画一个格点三角形 EFG,使厶 EFG 的面积等于四边形 ABCD 的面 积且为轴对称图形 .欢迎下载 10 图（二）图（一）答案：解：（ 1）方法一： S= 2 6 4=12方法二： S= 46 - 2 X1 - 2 2 X3 4 - 2 X2X3 =12( 2)( 只要画出一种即可 )XL -.、iL1|

14、7/ X3、如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中， 请按 ABC 的三个顶点均在格点上 .要求完成下列各题：（1 ）画 AD / BC （ D 为格点），连接 CD ;（2）试判断 ABC 的形状？请说明理由；欢迎下载 11AC2=2 2M 2=20 ,BC2=32+4 2=25 , ?BC2=AB 2+AC2 , ABC 是直角三角形。A 处，？它想答案： AB=5cm , BC=13cm . ?所以其最短路程为 18cm（难题） 5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1） 直接写出单位正三角形的高与面

15、积。（2） 图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3） 求出图中线段 AC 的长（可作辅助线）。【答案】（ 1）单位正三角形的高为：，面积是： 二（2）如图可直接得出平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积欢迎下载 12(3)过 A 作 AK 丄 BC 于点 K( 如图所示 ) ，则在 RtA ACK 中,五：方位角问题1、如图所示，在一次夏令营活动中， 小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60。方向走了 500 3 m到达 B 点，然后再沿北偏西 30。方向走了 500m 到达目的地 C 点.( 1 ) 求 A、C 两点之

16、间的距离；( 2) 确定目的地 C 在营地 A 的什么方向？t 1)过 B 点作 BE JI AD , 羞如图 r zDAB=zABE=60 . . 3o0+zCBAzABE=180 ZCBA=W ? 即匚 ABC 为直角三角 形.由已知可彳昙： BC=500m , AB-500 J3 m 由勾可得 : AC2 =BC2 +AB2 13，.? . 甲、乙两人还能保持联系 .答：上午 10: 00 甲、乙两人相距 13 千米,两人还能保持联系 .3、如图，甲乙两船从港口 A 同时出发，甲船以 16 海里/时速度向北偏东 40。航行，乙船向 南偏东50航行， 3 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达

17、 B 岛若 C、B 两岛相距 60 海里，问 乙船的航速是多少？答案：从两船航行的方向看 ，北偏东 40 度和南偏东 50 度的夹角为 90AC 丄 AB甲船速度每小时 16 海里，所以 AC=16 X3=48 海里AB2=BC2-AC 2=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度为每小时： 36 +3=12 海里4、如图，北海海面上，一艘解放军军舰正在基地 A 的正东方向且距 A 地 40 海里的 B 处训练，突然接基地命令，要该舰前往 C 岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知 C 岛在 A0 0的北偏东 60 方向，且在 B 北偏西 45 方向，军舰从 B 处出发，平均每小时走 20 海里，需欢迎下载 15要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到 0.1 小时，参考数据 : 3 1.73、2 1.41欢迎下载 16解：作