因式分解补充方法：十字相乘法

1、因式分解补充方法：十字相乘法6一、 学问归纳和例子讲解：（1） ） 对于某些首项系数是 1 的二次三项式 x2pxq 【 x2 abxab 】的因式分解：一般地， xa xbx2 ab xab ，x 2 ab xabxaxb 这就是说，对于二次三项式x2pxq ，如能找到两个数a 、 b ，使abp,2a bq,2就就有 xpxqx abxab xa xb （把握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次 项系数，通常要借助画十字交叉线的方法来确定，故称十字相乘法；）如 对 于 二 次 三 项 式x23x2 ， 其 中 p3 ， q12p,2 ， 能 找

2、到 两 个 数 1 、 2 ， 使故 有12q,x23x2 x1 x2 例 1：因式分解1x 2 + 10x + 9；解： 11（ x + 1）19（ x + 9）1 9=9； 19+ 1 1=10 x2 + 10x + 9= （ x + 1 ）（ x + 9 ）说明：用十字相乖法分解二次三项式2x2 3x 10；2x 2 3x 10；解： 1 5（ x 5 ）解： 1 5（ x 5 ）12（ x + 2 ）12（ x + 2 ） 5 *2 = 9 ； 1* （ 5）+1*2=3 5 2 = 9 ；1（ 5） +1 2= 3 x 2 3x 10 = （ x 5 ）（ x + 2 ） x 2 3

3、x 10 = （ x 5 ）（ x + 2 ）x2pxq ，式中的 p 、 q 通常是整数，要找的a 、 b 两数也通常是在整数中去找由于把p 拆成两个整数之和可以有很多种情形，而把q 分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应 先把 q 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得p 2练习题（ 因式分解）：22（ 1） x5 x6 .（ 2） x5 x62（ 3） x5 x6 （ 4） x5 x6提问：请观看以上练习中的各题，你能发觉把q 分解成两个整数 a 、 b 之积时的符号规律吗？如 q 0 ，就 a 、 b 同号当 p 0 时 a 、 b 同为正，当p 0 时 a 、 b 同为负如

4、q 0 ，就 a 、 b 异号当 p 0 时 a 、 b 中的正数肯定值较大，当p 0 时 a 、 b 中的负数肯定值较大（2） ） 对于二次三项ax 212bxc【a a x2a1c2a2c1 xc1c2】（ a、b、c 都是整数， 且a0 ）的因式分解：一般地，a1xc1a2 xc212= a a x 2a1c2a2c1 xc1c2 ，12 a a x 2a1c2a2c1 xc1c2= a1 xc1a2 xc2 1122这就是说，对于二次三项式ax 2bxc ，如能找到四个整数a ，c ，a ，c ，使a1a2a，c1c2ca1c2a2c1b就就有 ax 2bxc = a a x2a1c2

5、a2 c1 xc1c2= a1 xc1a2 xc2， 通常要借助画多个十字交叉12线的方法来确定；例 2分解因式：（ 1）2x27 x3 ；（ 2）6x27 x5（ 1）解： 2x27x3 = x32 x1（ 2）解：全部可能的十字形式： 6x27x52 x13x5说明：二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节a 、 b 的符号规律；分解二项项系数、常数项有多种可能， 即使对于同一种分解， 十字图也有不同的写法，为了防止重或漏， 故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解练习题（ 因式分解）：2（ 1） 2x 7x3= 2（ 2） 3x 5x2= 22（ 3） 2x 5x7= （ 4） 5x 3x 2= 二、练一练、做一做：21、把以下各式分解因式：（ 1）a2 b 27 ab8（ 2） m3mn4n 2（ 3） x46 x227（ 4） a b5a b 3622、将以下各式因式分解（ 1） x34 x 221x（ 2） x y10xy25 y24（ 3） x10 x211（ 4） x413x 2 y 236 y43、将以下各式因式分解（ 1）2x23x20 ；（2）2x2 5x2；222（3）3x7x6 ；（ 4）2