单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动

1、1.1.2 单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动 内容提要u一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解 1 1、无阻尼系统的强迫振动、无阻尼系统的强迫振动 2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动u二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程u三、强迫振动的稳态振动三、强迫振动的稳态振动 1 1、机械阻抗、机械阻抗 2 2、频率特性、频率特性 3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解 一个振动系统受到阻力作用后振动不能永一个振动系统受到阻力作用后振动不能永远维持，它要渐渐衰

2、减到停止，因此要使远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使 振动持续不停，就要不断从外部获得能量。振动持续不停，就要不断从外部获得能量。外力作用下的振动外力作用下的振动- -强迫振动（受迫振动强迫振动（受迫振动) ) （forced vibration ） 无阻尼强迫振动示意图无阻尼强迫振动示意图谐合函数谐合函数正弦、余弦函数。正弦、余弦函数。1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解质量元件质量元件M M受两个作用力受两个作用力弹性力弹性力外加推力外加推力 f(x)f(x)Dx一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼

3、系统的强迫振动运动方程式运动方程式202( )( )( )cosd x tMDx tf tFtdt用复数表示：用复数表示： ，则运动方程化为：则运动方程化为：)(Re()(txtx)(Re()(tftf2j02( )( )td x tMDx tF edt（*）一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方程一般解之和。程一般解之和。 方程的解方程的解= =一般解一般解特解特解 txtx

4、tx21其中：其中： 为方程为方程（* *）所对应的齐次方程的解（通解）所对应的齐次方程的解（通解） 为方程为方程（* *）的特解的特解)(2tx)(1tx一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动据前，方程据前，方程（*）的通解为的通解为：0j()1( )tx tAe0DM（1-1-1节已解出）节已解出）其中其中一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 设方程设方程（*）特解的一般形式为特解的一般形式为 j220etxtx一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解特解含义：按外力的振动规律而变，其

5、振动频率特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率 等于外力的频率。等于外力的频率。1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动2j02( )( )etd x tMDx tFdt 代入强迫振动方程代入强迫振动方程（*） tx2（*）得得220200FxM020220FxM所以方程的解为：所以方程的解为：0j()j0220( )ee()ttFx tAM一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动所以，实际位移为：所以，实际位移为：00220( )Re( )cos()cos()Fx tx tAttM式中的式中的 和和 由初条件决定。由初条件决定。A第一项

6、：自由振动分量第一项：自由振动分量第二项：强迫振动分量第二项：强迫振动分量结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个 简谐振动的迭加。简谐振动的迭加。一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动02200cos0sin0FAMA0220;0FAM一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动求得求得带入上式得带入上式得取零初始条件取零初始条件 00ttx00tdtdx；零初始条件的振动位移零初始条件的振动位移三角变换三角变换 00220coscosFx tttM 00

7、02202sinsin22Fx tttM一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动 0000时时拍拍现象不明现象不明显显时时拍拍现象明现象明显显形成形成拍拍振振动动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的拍频振动规律无阻尼系统的拍频振动规律振动频率近似等于振动频率近似等于“振幅振幅”作慢周期变化，拍周期作慢周期变化，拍周期02一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动当当 00000sin2sin22tF tx ttMt0 0sin2F tx

8、ttM一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动特例：当特例：当 时，振子振幅逐渐时，振子振幅逐渐 ( (共振共振) )实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。 0结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动总

9、也不消失。总也不消失。一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解1、无阻尼系统的强迫振动无阻尼系统的强迫振动有阻尼时，运动方程有阻尼时，运动方程2( )( )( )( )md x tdx tMRDx tf tdtdt2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解 tFtFcos0)(Re()(txtx)(Re()(tFtF复数表示：复数表示：外力为谐和力外力为谐和力运动方程：运动方程：其解：其解： 为齐次方程的解，已为齐次方程的解，已在前面解出。此解数学上称为在前面解出。此解数学上称为“通解通解”；物理中；物理中称为称为“暂态解暂态解”。2j0

10、2( )( )( )etmd x tdx tMRDx tFdtdt)()()(21txtxtx1j()1( )ttmx tA ee 其中：其中：2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解00220 101costmx tA et系统的固有频率，决定于系统本身的参系统的固有频率，决定于系统本身的参数数由系统的初始条件确定由系统的初始条件确定0,1,mA2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解当当 时时, ,设特解设特解代入到运动方程代入到运动方程 得到得到 tmeXtxj220jmmMRD

11、XF2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解2j02( )( )( )tmd x tdx tMRDx tF edtdt002jjjmmmFFXMRDDRM此解数学上称为此解数学上称为“特解特解“ ；物理中称为；物理中称为“稳态解稳态解”j02( )j j()tmFx teDRM2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解jjmmmDZRMZe令令22mmDZRM1tgmDMR2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解j()j()0022(

12、)jttmmFFx teeZZ 则则外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比，外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比，并和外力频率有关。并和外力频率有关。01201( )Re( )( )ecos()sin()tmFx tx tx tAttZ 其中：其中： 由初始条件决定由初始条件决定; ; 由系统参数决定。由系统参数决定。 10,A,mZ)()()(21txtxtx2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其解结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量结论：阻尼系统在谐和力作用下的强迫振动质量 的位移由两个函数组成：的位移由两个函数组成：u第一项为第一

13、项为暂态分量暂态分量：振动角频率为：振动角频率为 。 表示外力刚开始时激发起系统的自由振动分量。表示外力刚开始时激发起系统的自由振动分量。 振幅随时间衰减。振幅随时间衰减。u第二项为第二项为稳态分量：稳态分量：振动频率等于外力的频率，振动频率等于外力的频率， 表示外力产生的强制振动分量。表示外力产生的强制振动分量。 是振幅不变的简谐振动。是振幅不变的简谐振动。u随时间的增加，前者对位移的影响趋于随时间的增加，前者对位移的影响趋于0,后者后者 成为描述振子运动的函数成为描述振子运动的函数稳态解。稳态解。 2 2、有阻尼系统的强迫振动、有阻尼系统的强迫振动一、强迫振动方程及其解一、强迫振动方程及其

14、解0 对解的进一步分析：对解的进一步分析： (1)(1)强迫振动的过渡过程（暂态解）强迫振动的过渡过程（暂态解） 阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后阻尼振子受迫振动，总是经过一段时间后达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到稳达到稳定，一般说，振子受力激励后到达到稳定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从定振幅的简谐振动这段过程称为过渡过程；从数学上讲就是暂态解幅值减小到数学上讲就是暂态解幅值减小到0 0的过程。的过程。 二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程 几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的几种典型情况外力作用下，振动过渡过程的形式不同。形式不同。零初始条件零初始条件：从最简单的

15、情况入手分析之，从最简单的情况入手分析之，设振动系统开始时完全处于静止状态设振动系统开始时完全处于静止状态 且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。且外加谐和力的频率等于系统的固有频率。则则： 00, 00vx0二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程0,mmRZ 00100cossintmmFx tA ettR二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程22mmDZRM1tgmDMR0得得；带入零初始条件得带入零初始条件得010,2mmFAR振动位移的过渡过程振动位移的过渡过程000( )(1 e)sintmFx ttR二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程所以所以 系统过渡时间系统

16、过渡时间 ：稳态振动基本建立所需的时稳态振动基本建立所需的时间称为稳态振动的建立时间。间称为稳态振动的建立时间。 mmZFx00095. 0显然，此振动振幅达到稳定的过程由系数显然，此振动振幅达到稳定的过程由系数 决定，一般上，认为振幅到稳定值的决定，一般上，认为振幅到稳定值的 9595时时, ,就就达到了稳态。达到了稳态。0二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程定义：定义： 为系统的过渡时间。单位，秒（为系统的过渡时间。单位，秒（SecSec）。）。 值与值与 的关系：的关系：0mQ0000TQTQmm 大，大， 大大达到稳态需要时间长（阻小）达到稳态需要时间长（阻小）mQ0)044.

17、 0(956. 01etet，可得：若二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程00TQm 外力频率接近而又不等于自由振动频率外力频率接近而又不等于自由振动频率，则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭加则在过渡过程期间，暂态成分和稳态成分迭加表现出表现出拍现象拍现象。随时间的增加，拍越来越不明随时间的增加，拍越来越不明显，直到消失。显，直到消失。二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程 正弦脉冲填充的作用正弦脉冲填充的作用 周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用周期出现的正弦填充矩形波的强迫力作用, ,且填且填充正弦信号频率充正弦信号频率 设脉冲正弦作用力的持续时间为设脉冲正弦作用力的持续

18、时间为 ，当力，当力加到系统上以后，振动的振幅按曲线加到系统上以后，振动的振幅按曲线 随随时间增长，而脉冲结束后，系统振动按自由振时间增长，而脉冲结束后，系统振动按自由振动规律指数衰减，因此振动的位移和力的时间动规律指数衰减，因此振动的位移和力的时间波形不同。并且波形不同。并且 、 不同时，脉冲波形的畸不同时，脉冲波形的畸变不同。变不同。01 et 0二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程大大阻尼阻尼中阻尼中阻尼小阻尼小阻尼二、强迫振动的过渡过程二、强迫振动的过渡过程图图1. Qm =1.71. Qm =1.7（低）（低）图图2. Qm=52. Qm=5（中）（中）图图3. Qm =15

19、3. Qm =15（高）（高）三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解振子受迫振动，经过一段时间后，暂态解影响影响 0，只有稳态解，所以下面分析，只有稳态解，所以下面分析稳态解稳态解。 （实际工程中，主要关心的是稳态解）实际工程中，主要关心的是稳态解）系统振动达到稳态时系统振动达到稳态时位移：位移：振速：振速：j()0( )ejtmFx tZjj()j()000je( )( )( )jeejetttmmmmFFFdx tF tv tdtZZZZj0( )etF tFjj()emmmDZRMZ其中，其中，三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动定义，机械阻抗：机械振动

20、系统在谐合激励力作用定义，机械阻抗：机械振动系统在谐合激励力作用下产生下产生稳定稳定的的同频率同频率谐合振速，若用复数力谐合振速，若用复数力 表表示谐合激励力，用复数振速示谐合激励力，用复数振速 表示同频率振速；表示同频率振速；则则复数力复数力与与复数振速复数振速之比为该系统在该频率下的机之比为该系统在该频率下的机械阻抗。记为械阻抗。记为 （或（或 ）。）。FvmZmZ1 1、机械阻抗、机械阻抗三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动mmmXRtvtFZj)()( 机械阻，机械阻， 机械抗。机械抗。mRmXMKSMKS制中其单位：制中其单位：kgskgs-1-1（力欧姆）（力欧姆）1 1、机械阻抗

21、、机械阻抗三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动 据定义，前例的机械系统的机械阻抗为据定义，前例的机械系统的机械阻抗为 ， mjj1jCemmmmDZRMRMZ1tgmDMR22mmDZRM1 1、机械阻抗、机械阻抗物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速物理意义：机械阻抗的绝对值等于产生单位振速 幅值所需力的大小。幅值所需力的大小。三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动; 机械振动系统在简谐力作用下振动，改变机械振动系统在简谐力作用下振动，改变激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值激励信号的频率，并保持简谐激励信号的幅值不变不变, ,初相位为初相位为0 0；得到的某个响应信号幅值随；得到的某

22、个响应信号幅值随频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得频率的变化曲线叫该响应的幅频特性曲线；得到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响到的某个响应信号相位随频率的变化曲线叫响应的相频特性曲线。应的相频特性曲线。二者称作该响应的频二者称作该响应的频率特性曲线。率特性曲线。 幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该幅频特性曲线和相频特性曲线，统称作该响应的频率特性曲线。响应的频率特性曲线。三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动2 2、频率特性曲线、频率特性曲线前例单自由度阻尼机械振动系统的前例单自由度阻尼机械振动系统的位移响应位移响应j()j00j()022( )eejjj()e()()arctan2

23、xttmmtmmmxmFFx tDZRMXFXDRMDmR其中：2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动位移的频响曲线位移的频响曲线位移的相频曲线位移的相频曲线)j(j0DmRFXmm)j(arg(jDmRmx位移的幅频曲线位移的幅频曲线2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动前例单自由度阻尼机械振动系统的前例单自由度阻尼机械振动系统的振速响应振速响应j()j00j()022( )( )eej()e()()arctanvttmmtmmmvmFFdx tv tDdtZRmVFVDRmDmR其中：2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点

24、的稳态振动三、质点的稳态振动振速的振速的频响曲线频响曲线)j(0DmRFVmm)j(arg(DmRmv振速的振速的幅频曲线幅频曲线振速的振速的相频曲线相频曲线2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动j()j00j()022( )( )jejej()e()()arctan()2attmmtmmmamFFdv ta tDdtZRmaFaDRmDmR前例单自由度阻尼机械振动系统的前例单自由度阻尼机械振动系统的加速度响应加速度响应2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动)j(j0DmRFamm)j(jarg(DmRma加速度的加速度的频响曲线

25、频响曲线加速度的加速度的幅频曲线幅频曲线加速度的相频加速度的相频曲线曲线2 2、频率特性曲线、频率特性曲线三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动共振频率共振频率 定义定义: :机械振动系统在恒振幅激励力作用下发机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系统该响应的共振频率。统该响应的共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。例如：位移共振频率、速度共振频率、加速度共振例如：位移

26、共振频率、速度共振频率、加速度共振频率频率等。等。三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动瞬时功率瞬时功率)(arctan)(cos)2cos(21cos)cos()()()()cos()(;cos)()()()(22202000mvmmvvmvmvmRDmDmRZtZFttZFtvtftWtZFtvtFtftvtftW；且3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动激励力对振动系统输入的瞬时功率激励力对振动系统输入的瞬时功率系统的振动达到稳态时，激励力对振动系统的输入系统的振动达到稳态时，激励力对振动系统的输入功率等于系统阻尼的消耗功率。功率

27、等于系统阻尼的消耗功率。机械功率机械功率)(arctan)(cos2cos)2cos(211)(1)(22200200mvmmvmTvvmTRDmDmRZZFdttZFTdttWTtW；3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动一个周期内激励力对振动系统输入的一个周期内激励力对振动系统输入的平均功率平均功率平均功率与激励力频率的关系平均功率与激励力频率的关系3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动 最大输入功率对应的激励力频率最大输入功率对应的激励力频率mDfmDRFtWRDmDm

28、RZZFtWmmvmmvm21,2)()(arctan)(cos2)(020max2220激励力频率：此时；可得：；由平均功率：3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动谐振频率谐振频率 机械振动系统在谐合激励力作用下发生振机械振动系统在谐合激励力作用下发生振动，达到稳态时如果外力时时刻刻向系统内输动，达到稳态时如果外力时时刻刻向系统内输入能量（对系统作正功）则称此时系统发生了入能量（对系统作正功）则称此时系统发生了谐振。发生谐振时的频率称作系统谐振。发生谐振时的频率称作系统谐振频率谐振频率。三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动)(arc

29、tan)(221)(21cos2)(2220max20mvmmmvmRDmDmRZRFtWZFtW；半功率点频带宽度半功率点频带宽度平均功率下降到最大功率的平均功率下降到最大功率的1/2所对应的频带宽度所对应的频带宽度3 3、激励力对振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动mmvZRcos因为：因为：所以：所以：mmmRFZRF221220220mmmRZR121221222DmRRmm211120020mDRmm21112002mQmmmQQQ0122002011011mQff0mDfmD21;00半功率点频带宽度：半功率点频带宽度：3 3、激励力对

30、振动系统的输入功率、激励力对振动系统的输入功率半功率点频带宽度半功率点频带宽度三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动（1 1）共振频率）共振频率 定义定义: :机械振动系统在恒振幅激励力作用下发机械振动系统在恒振幅激励力作用下发生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，生振动，若响应随激励力频率的变化出现极大值，则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系则称，系统的该响应发生了共振；此时的频率叫系统该响应的共振频率。统该响应的共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。一般上，同一系统不同的响应有不同的共振频率。例如：位移共振频率、速度共振频率、加速度共振例如：位移共振频率、速度共振频率、加速度共振频率频率等。等。4 4、振动系统的几个与、振动系统的几个与“频率频率”有关的概有关的概念念三、质点的稳态振动三、质点的稳态振动（2 2）谐振频率）谐振频率 机械振动系统在谐合激励力作用下发生振机械振动系统