全等三角形习题

1、全等三角形提高练习 E 1如图所示， ABC也zADE , BC的延长线过点 B二50。，求DEF的度数。 如图， A0B中，/B=30o ,将公0B绕点0顺时针旋转52边0B 交于点C （A不在0B上），则ZACO的度数为多少？ 3如图所示，在厶ABC中，/A=90 ,D、 E分别足AC、BC上的点，若玄 ADBzEDBA / D EDC,贝iJ/C的度数是多少？ L B E C 4如图所示，把厶ABC绕点C顺时针旋转 DC二90。，则厶二 35 ,得到B C , A B 交AC于点D,若ZA 5 已知，如图所示，AB=AC , AD JBC 于 D,且 AB+AC+BC二50cm,而 AB

2、+BD+AD=40cm . c 则AD是多少? 6 如图，RtAABC屮，/BAC=90 , AB=AC,分别过点B、C作过点 垂足分另U为D、E,若BD=3, CE=2,贝U DE= 如图，AD是AABC的角平分线，DE JAB, DF 1AC,聾足分别是 8.如图所示，在厶ABC AD为ZBAC的角平分线，DE 1AB于E, DF 1AC于F AABC 的面积是 28cm ： AB二20cm , AC=8cm,求 DE 的长。 F 9.已知,如图：AB=AE, /B= ZE, /BAC二 ZEAD, /CAF= ZDAF,求证:AF JCD 10 如图，AD=BD , 等吗？为什么？ AD

3、 dBC 于 D, BE _LAC 于 E , AD 11如图所示，已知, FD二CD,求证： AD为 ABC的高, BE 1AC 12 ZXDAC、AEBC 均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点Me N,求证： AE=BD (2) CM=CN (3 ) MMN为等边三角形D ( 4) 13 已知：如图1,点C为线段AB上一点， ACM .CBN都是等边三角形，AN交MC 于点E, BM交CN于点F (1) 求证：AN二BM (2) 求证：ACEF为等边三角形 14如图所示，已知 ABC和ABDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD :BF二BG ; BH平分ZAHD :/AHC二

4、60AFG是等边三角形；FG /AD,其屮正确的有 15已知：BD、CE是AABC的高，点F在BD上，BF二AC,点G在CE的延长线上，CG=AB , 求证：AG 1AF 16如图：在厶ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC,在 CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG 求证：(1) AD=AG (2) AD与AG的位置关系如何 17 .如图，已知E是正方形ABCD的边CD的屮点，点F在BC上，且ZDAE二ZFAE ad BF 18 .如图所示，已知 ABC中,AB=AC , ZADB=60 疋是 AD 上一点，且 DE=DB D是CB延长线上一点, ,求证

5、: 求证：AF=AD-CF 19 .如图所示，已知在厶AEC中，/E=90 ,AD 平分 ZEAC , DF 1AC,垂足为 F , DB=DC , 求证:BE=CF 21 .如图,0C是/AOB的平分线, P是0C上一点，PD JOA于D, PE _LOB 于 E, F 是 20 .已知如图： AB=DE , 直线 AE、BD 相交-f AC, ZB+ zD=180 ,AF DE ,交 BD 于 F , 求证：CF=CD n D B F 0C上一点，连接DF和EF,求证：DF=EF E,且BD=CD，求证：组DE 7CDF 22 .已知：如图，BF 1AC于点F, CE 1AB于点 点D在4

6、的平分线上 则AB与CD之间的距离是多少? 23 .如图，已知AB /CD , 0是/ACD与/BAC的平分线的交点，OE 1AC于E,且0E二2 , 24 .如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM BN,按下列要求画图并回答: 画ZMAB、/NBA的平分线交于E (1 )/AEB是什么角？ (2) 过点E作一直线交AM于D,交BN于C ,观察线段DE、CE,你有何发现？ (3) 无论DC的两端点在AMaBNd如何移动，只要DC经过点E,AD+BC二AB : / AD+BC二CD谁成立？并说明理由；E 25 .如图， ABC 的三边AB、BC、CA长分别是 20、30、40,其三条

7、角平分线将 ABC 分为三个三角形，贝IS AABO : S S/CAO等于？ J 26 .正方形 ABCD 中，AC、BD 交于 0 ,/EOF二90 ,已知 AE二3 , CF=4,贝ij S ZBEF 为多少？ D A 27 .如图，在Rt AABC屮, /ACB=45 ,BAC=90 0 , AB二AC,点 D 是 AB 的中点，AF 丄 CD于H,交BC于F, BE AC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE 28 .在AABC 中，/ACB=90 0 ,AC二BC,直线 MN 经过点 C, 且 AD /IN 于 D , BE 丄/IN 于 DE=AD+BE (1) 当直线MN

8、绕点C旋转到图的位置时，求证： DE=AD-BE (2) 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证： (3)当宵线MN绕点C旋转到图的位旨时，试问 请直接写出这个等最关系。 1 解军：匕AED .二 ZB二50 JACB二105 0 CE二75 0 AD=10 ZACE二75 zEFA二ZCAD+ ZACE=85 0（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 同理可得/ DEF二 ZEFA- ZD=85 -50 =35 2根据旋转变换的性质可得/ B二ZB,因为AAOB绕点0顺时针旋转52 0，所以ZBOB 二52 ,而ZAC0 是ABC的外角,所以Z ACO二ZB+ZBOB然后代入数据进

9、行计算即可得解. 解答：解：岔0B是由 AOB绕点0顺时针旋转得到，Z B=30 启二ZB二30 0 0B绕点0顺时针旋转52 启0B =52 0 ZC0是AB 0C的外角， Z C0二 ZB + ZBOB =30 +52 二82 故选D . 3全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理. 分析：根据全等三角形的性质得出Z A= ZDEB= /DEC , ZADB= ZBDE= ZEDC，根据邻补角定 义求出 ZDEC、/EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可. 解答:解：v/ADB 也 ADB BZEDC , Z二 ZDEB= /DEC, /ADB二 ZBDE二 ZEDC ,

10、/DEB+ ZDEC二180 0 ZADB+ ZBDE+EDC二180 0 ZEC二90 0 0 /EDC=60 0 =180 0 ZDEC- ZEDC , 二180 -90 -60 0 30 4分析：根据旋转的性质，可得知/ ACA =35 从而求得/ A的度数，又因为/ A的对应角是Z即可求 出/ A的度数. 解答：解:-三角形厶ABC绕着点C时针旋转35得到 AB C ZCA二35 ZADC二90 Z二55 的对应角是/ A；即ZA二A, 二55 故答案为：55 点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的 位置移动其中对应点到旋转中心的距离相

11、等，旋转前后图形的大小和形状没有改 变.解题的关键是正确确定对应角. 5因为AB=AC三角形ABC是等腰三角形 所以 AB+AC+BC二2AB+BC二50 BC=50-2AB=2(25-AB) 又因为AD垂直于BC于D,所以BC二2BD BD=25-AB AB+BD+AD二AB+25-AB+AD二AD+25二40 AD=40-25=15cm 6 解：TBD IDE , CE IDE D二 ZE 启 AD+ ZBAC+ ZCAE=180 又/zBAC二90 启 AD+ ZCAE=90 在 Rt AKBD 中，ZABD+ ZBAD=90 ZBD= ZCAE 在ZABD与ZCAE中 ZABD二 ZC

12、AE ZD二左 AB=AC 公 BD 也 ZAE (AAS ) BD=AE , AD=CE DE二AD+AE DE二BD+CE BD二3 , CE=2 DE二5 7证明：TAD是ZBAC的平分线 ZAD 二 ZFAD 又-DE 1AB , DF _1AC ZED 二 ZAFD 二 90 边AD公共 Rt ZAED 织 t ZAFD (AAS ) AE 二 AF 即ZAEF为等腰三角形 而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线 AD丄底边EF (等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(简写成三线合一 ”) 8 AD 平分 ZBACU/EAD= ZFAD, /EDA= ZDFA=90

13、 度，AD=AD 所以AAED也ZAFD DE=DF SmBC=S AXED+S AAFD 28=1/2 （AB*DE+AC*DF） =1/2 （20*DE+8*DE） DE=2 9AB二AE , ZB= ZE, /BAC二 ZEAD 则AABC也公ED AC=AD AACD是等腰三角形 ZCAF= ZDAF AF平分ZCAD 贝 U AF _LCD 10 解：TAD JBC ZDB 二ZADC 二 90 AD+ ZC 二 90 BE 丄C 启 EC 二 ZADB = 90 BE+ ZC 二 90 MAD 二 ZCBE AD 二 BD DH 也 ZADC （ASA ） BH 二 AC （垂直定

14、义）， 11 解：（1）证明： AD JBC （已知），r. ZBDA- ZADC二90。 +Z2二90 （直角三角形两锐角互余） 在 Rt ABDF 和 RtAADC 中， Rt ABDF 织 t AADC （ H. L ） Z2= ZC （全等三角形的对应角相等） +Z2二90 （已证），所以 Z 1 + ZC=90 Z + /C + /BEC=180 （三角形内角和等于180 0 ）, 启EC二90 ） BE丄C （垂直定义）； 12证明：（1） vZDAC AEBC均是等边三角形， AC二DC , EC=BC, /ACD= ZBCE=60 , ZCD+ ZDCE= ZBCE+ ZDCE

15、,即 ZACE= ZDCB . 在 ACE和ADCB中， AC=DC ZACE= ZDCB EC二BC ACE 也 dDCB (SAS ). AE=BD (2 )由(1)可知： ACE 也 JDCB , CAE= JCDB,即 ZCAM= ZCDN . AC AEBC均是等边三角形， AC二DC, /ACM= /BCE=60 0 又点A、C、B在同一条直线上， QCE二180 -ZACD- ZBCE=180 -60 -60 60 即/DCN=60 CM二 ZDCN . 在 AACM 和 ADCN 中，ZCAM= ZCDN AC=DC ZACM= ZDCN ACM BZDCN (ASA ). C

16、M=CN . 由(2)可知 CM=CN, ZDCN=60 0 AMN为等边三角形 (4)由(3)知/CMN二 ZCNM= ZDCN二60 0 ZMN+ ZICB=180 0 MN/BC 13分析：a )由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到 CAN 也血CB,结论得证； (2 )由(1)中的全等可得Z CAN二ZCMB,进而得出Z MCF= ZACE,由ASA得出 CAE OA CMF,即CE=CF,又ECF=60 所以 CEF为等边三角形. 解答：证明：(1 )公CM , ACBN是等边三角形， AC=MC , BC二NC, /ACM二60 /NCB=60 0 在AC

17、AN和AMCB中， AC=MC, /ACN二 ZICB , NC=BC , AAN 也 JMCB (SAS ), AN=BM . (2 ) vZCAN 也 zCMB , AN二 ZCMB , 又ZICF=18O 0 ZACM- ZNCB=180 -60 0 -60 0 60 ZICF二 ZACE , 在ACAE和ACMF中， ZCAE二 ZCMF , CA二CM, /ACE二 ZMCF , AE 也 zCMF (ASA ), CE=CF , EF为等腰三角形, 又/ECF=60 EF为等边三角形. 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟 练运用. 14

18、考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质 分析：由题中条件可得厶ABE也zCBD,得出对应边、对应角相等，进而得出厶 BGD也zBFE , ABF八zCGB,再由边角关系即可求解题屮结论是否正确，进而可得出结论. 解答：解：/ABC 与 ABDE 为等边三角形， AB=BC , BD=BE, /ABC= ZDBE=60 0BE二 ZCBD , 即 AB=BC , BD=BE , /ABE二 JCBD ABE VCBD , AE二CD, /BDC二 ZAEB , 又 VzDBG= ZFBE=60 0 GD 也/FE , BG=BF, /BFG= ZBGF=60 0 FG是等边三

19、角形， FG /AD , BF=BG , AB=BC , ZABF= ZCBG=60 , ABF 7CGB , 启 AF二 /BCG , AF+ /ACB+ ZBCD= /CAF+ /ACB+ ZBAF二60 0 60 120 0 /HC二60 0 , /HG+ ZFBG=12O +60 0 180 0 B、G、H、F四点共圆， FB=GB , /HB二 /GHB , BH 平分/GHF , 题屮都正确. 故选D . 点评：本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握. 15考点：全等三角形的判定与性质分析：仔细分析题意，若能证明厶ABF B/GCA,则可 得AG=

20、AF .在GCA中，有BF二AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是ZABD和ZACG, 从已知条件屮可推出/ ABD= ZACG .在RtZGE +, /G+ /GAE=90 0 而/G二 ZBAF,则可得出/ GAF=90 0 即 AG 1AF . 解答：解：AG=AF , AG 1AF . BD、CE分别是 ABC的边AC , AB上的高. /DB= /AEC二90 0 /BD二90 0 /BAD, /ACG=90 0 ZDAB , ABD二 ZACG 在 AABF 和 AGCA 中 BF=AC ZABD= ZACG AB=CG ABF 也/GCA (SAS ) AG=AF ZG=

21、 ZBAF 又 ZG+ J3AE=90 度. 启 AF+ ZGAE二90 度. AF=90 AG 1AF . 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关 系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广. 161、证明： BE _1AC 乙 JAEB 二 90 BE+ ZBAC 二 90 CF _1AB AFC 二 ZAFG 二 90 ACF+ ZBAC 二 90, /G+ ZBAG 二 90 ABE 二 ZACF BD 二 AC , CG 二 AB ABD 也 zGCA ( SAS ) AG 二 AD 2、 AG

22、1AD 证明 ABD 也 zGCA 启AD = ZG zGAD 二 ZBAD+ ZBAG 二ZG+ ZBAG 二 90 AG 1AD 17过E做EG 1AF于G,连接EF -ABCD是正方形 J = ZC=90 AD=DC ZDAE二 ZFAE , ED 1AD , EG 1AF DE=EG AD=AG E是DC的中点 DE二EC二EG EF=EF Rt AEFG 织 t AECF GF=CF AF二AG+GF二AD+CF 18 因为：角 EDB=60 DE=DB 所以：AEDB是等边三角形，DE二DB二EB 过A作BC的垂线交BC于F 因为：AABC是等腰三角形 所以：BF=CF, 2BF=

23、BC 又：角 DAF=30 0 所以:AD=2DF 又：DF二DB+BF 所以:AD=2 （ DB+BF）二2DB+2BF二2DB+BC （AE+ED）二2DB+BC,其中 ED=DB 所以：AE二DB+BC, AE=BE+BC 19补充：B是FD延长线上一点； ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）； BD=CD ； 角EDB=FDC （对顶角）； 贝U三角形EDB全等CDF ;贝9 BE=CF ； 或者补充：B在AE边上； ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）； DB=DC 则两直角三角形EDB全等CDF （ HL ） 即 BE=CF 20 解：TAF/DE J 二 ZAFC 启

24、 + /D=180 0 , /AFC + /AFB=180 启=ZAFB AB=AF=DE AAFC 和 AEDC 中: ZB二厶 FB, ZACF二左 CD （对顶角）,AF=DE TC 也 zEDC CF=CD 21证明： 点P在/AOB的角平分线0（；上，PE _LOB , PD _LAO , PD二PE, /DOP= ZEOP, /PDO= ZPE0=90 0 J PF二 ZEPF , 在ADPF和AEPF中 PD=PE ZDPF= ZEPF PF二PF （SAS ）, PF 也/EPF DF=EF . 22考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题. 分析：C）根据全等三角形的判定定理

25、 ASA证得/BED也/CFD ; （2）连接AD 利用（1）中的 BED也zCFD,推知全等三角形的对应边ED二FD 因为角 平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在4的平分线上. S V, 解答：AFC证（1 ）VBF 1AC , CE _LAB, /BDE= /CDF （对顶角相 等）， 启二ZC （等角的余角相等）； 在 Rt /BED 和 Rt/CFD 中， ZB二 /C BD二CD （ 已知） ZBDE= / CDF AED 八zCFD （ASA ）: （2）连接AD . 由知， BED VCFD , ED=FD （全等三角形的对应边相等）， AD是ZEAF的角平分线，即点D在

26、/A的平分线上. 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质.常用的判定方法有：ASA , AAS , SAS , SSS , HL等，做题时需灵活运用. 23考点：角平分线的性质. 分析：要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点 0作FG _LB，可以得到FG LCD , 根据角平分线的性质可得，0E二OF二0G,即可求得AB与CD之间的距离. 解答：CGD解:过点0作FG AAB AB /CD , 启 FG+ ZFGD=180 启 F G=90 zFGD二90 FG JCD , FG就是AB与CD之间的距离. 0为/BAC, /ACD平分线的交点，0E朋C交AC于E, OE=OF=OG (角

27、平分线上的点，到角两边距离相等)， AB与CD之间的距离等于2?0E=4 . 故答案为：4 . 点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距 离是正确解决本题的关键. 24考点：梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质.专题：作图题； 探究型. 分析：0)由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出/1+ /3=90 再由三 角形内角和等于180 即可得出/AEB是直角的结论； (2) 过E点作辅助线EF使其平行于AM,由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一 步求出边之间的关系； (3) 由中得出的结论可知EF为梯形ABCD的

28、中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移 动，只要DC经过点E, AD+BC的值总为一定值. 解答:解：(1 )VAM /BN , /. JMAB+ /ABN二180 0 又AE , BE分别为/ MAB、/NBA的平分线， /+ /3= 2 (ZMAB+ ZABN )二90 0 /EB=180 -Zl-Z3二90 0 即/AEB为直角； (2 )ilE点作辅助线EF使其平行于AM,如图则EF /AD /BC , /EF二 Z4, /BEF= Z2, /二,/1= Z /EF二 Z3, /BEF= Zl, AF=FE=FB , F为AB的中 点,又EF /AD伯 C , 根据平行线等分线

29、 段定理得到 D E为DC中点, ED二EC ; (3 )由(2)中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E,总满足EF为梯形 ABCD屮位线的条件，所以总有AD+BC二2EF二AB . 点评：本题是计算与作图相结合的探索.对学生运用作图工具的能力， 以及运用直角三角形、 等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形屮位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求. 25 ； : 如图，AABC的三边AB , BC , CA长分别是20 , 30, 40,其三 条角平分线将 ABC分为三个三角形，则Szabo : S zbco : Szcao等于() A. 1 : 1 : 1B. 1: 2 : 3C . 2: 3 : 4D. 3: 4 : 5 考点：角平分线的性质. 专题：数形结合. 分析：利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等， 底分别 是20 , 30 , 40,所以面积之比就是2 : 3: 4 . 解答：解：禾U用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C . 故选C . 点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式.做 题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的. 26解： 正方形ABCD AB 二 BC , A0 二 B0 二 CO, /ABC