第5章方差分析

1、上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 第五章第五章 方差分析方差分析第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 本章小结本章小结主要内容主要内容上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 例例5.1.3 5.1.3 某灯泡厂用某灯泡厂用4 4种不同配料方案制成的灯丝种不同配料方案制成的灯丝生产了生产了4 4批灯炮，在每批灯泡中随机抽取若干只进行批灯炮，在每批灯泡中随机抽取若干只进行寿命试验。我们关心的问

2、题是这寿命试验。我们关心的问题是这4 4种灯丝生产的灯泡种灯丝生产的灯泡其使用寿命有无显著差异？其使用寿命有无显著差异？这里要分析的因素是配这里要分析的因素是配料方案。料方案。第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 例例5.1.1 5.1.1 设有设有m m台机器生产同一种产品，记录每台的日产量。可台机器生产同一种产品，记录每台的日产量。可以看到，不但不同机器的日产量可能各不相同，就是同一台机以看到，不但不同机器的日产量可能各不相同，就是同一台机器在不同的生产日中其产量也未必相同。我们关心的是，器在不同的生产日中其产量也未必相同。我们关心的是，这种这种日产量的差异是日产量的差异

3、是由于不同机器造成的，由于不同机器造成的，还是由于随机波动造成还是由于随机波动造成的。这里考虑的因素是不同机器的生产能力。的。这里考虑的因素是不同机器的生产能力。上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 我们把要考察的指标称为试验指标。如果我们把要考察的指标称为试验指标。如果在一个问题中有几项试验指标，我们将分别对在一个问题中有几项试验指标，我们将分别对每一项试验指标进行分析。每一项试验指标进行分析。影响试验指标的条影响试验指标的条件称为因素件称为因素，一般用大写字母等表示。如果

4、一，一般用大写字母等表示。如果一项试验中只有一个因素在改变我们就称为单因项试验中只有一个因素在改变我们就称为单因素试验；素试验；因素所处的状态称为水平。因素所处的状态称为水平。 上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 例例5.1.4 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成萘酚，测定萘酚，测定所得产品的熔点如表所得产品的熔点如表5.1.1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？上

5、一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 设因素设因素A有有t个水平，在第个水平，在第i个水平下进行了个水平下进行了ni次相互独立的试验，结果如下：次相互独立的试验，结果如下：上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编方差分析的基本任务就是要检验假设方差分析的基本任务就是要检验假设（1）（2） 参数参数 的检验的检验不全相

6、等:1210HHt221,t上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：构造一个适构造一个适当的统计量，来描述数据的波动程度。当的统计量，来描述数据的波动程度。将这个统计量分解为两部分，将这个统计量分解为两部分，一部分是一部分是纯随机误差造成的影响，纯随机误差造成的影响，另一部分是除另一部分是除随机误差的影响外来自于因素效应的影随机误差的影响外来自于因素效应的影响。响。然后将这两部分进行比较，如果后然后将这两部分进行比较，如果后者明显比前者大，就说明因素的效应是者明显比前者大，就说明因素的效应是

7、显著的。显著的。 上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编TEASSS上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A误差误差总和总和TEASSSEASS11ntntEASSF

8、上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编由此得到检验问题的拒绝域的形式：由此得到检验问题的拒绝域的形式：该检验法的直观意义是：该检验法的直观意义是：当组间差异相对于组当组间差异相对于组内差异较大时就拒绝原假设内差异较大时就拒绝原假设 。 ), 1(tntFSSFEA0H上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编例例1 1 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成艺条件合成萘酚，测定所得产品的熔点如下萘酚，测定所得产品的熔点如下表所示

9、，问原料萘的产地是否显著影响产品的表所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点熔点 产地产地1 产地产地2 产地产地3 产地产地4 124.0123.0123.5 123.0 123.0 123.0 121.5121.0 123.0 123.5121.0 上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编解解: 经过计算得到下列方差分析表经过计算得到下列方差分析表由上表可知，接受原假设，由上表可知，接受原假设，即原料萘的产地即原料萘的产地对萘酚熔点无显著影响对萘酚熔点无显著影响 。方差来源方差来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F F

10、比比 F临界值原料产地原料产地误差误差总和总和4.65725.979210.636437101.55240.85421.8174 3.07上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 一、双因素等重复试验的方差分析一、双因素等重复试验的方差分析 在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。下面我们讨论双因素的方差分析问题。下面我们讨论双因素的方差分析问题。双因素方差分析的基本思路：双因素方差分析的基本思路：若某一因素的几个水平会引起事若某一因素的几

11、个水平会引起事物很不同的结果，则这个因素就是重要的；若某一因素的几个物很不同的结果，则这个因素就是重要的；若某一因素的几个水平仅是导致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。水平仅是导致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编设因素设因素A有有r个水平，因素个水平，因素 B有有s个水平。个水平。 试验结果试验结果 因素因素B因素因素A B1 B2 Bs A1 A2 ArtXXX11112111,tXXX12122121,stssXXX12111,tXXX21212211,tXXX2222222

12、1,stssXXX22212,trrrXXX11211,trrrXXX22221,rstrsrsXXX,21上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编此假设检验问题为此假设检验问题为不全为零:0:112101HHr不全为零:0:222102HHs不全为零:0:33121103HHrs上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五

13、章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 方差分析表方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A因素因素B交互作用交互作用误差误差总和总和ASBSBASESTS1r1s) 1() 1(sr) 1( trs1rstASBSBASESEAASSF/EBBSSF/EBABASSF/上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘

14、思峰等主编刘思峰等主编此假设检验的拒绝域分别为此假设检验的拒绝域分别为:在显著性水平在显著性水平 下，下，假设假设 的拒绝域的形式为：的拒绝域的形式为：假设假设 的拒绝域的形式为：的拒绝域的形式为：假设假设 的拒绝域的形式为：的拒绝域的形式为：01H)1(, 1(trsrFFA)1(, 1(trssFFB)1(),1)(1(trssrFFBA02H03H上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 例例2 某种火箭使用某种火箭使用4种燃料（种燃料（A A），），3种推进器（种推进器（B B）进行）进行射程试验。在每种燃料与每种推进器的组

15、合下火箭各发射射程试验。在每种燃料与每种推进器的组合下火箭各发射两次，射程数据见下表。两次，射程数据见下表。 试在显著性水平试在显著性水平 下，检验不同燃料（因素下，检验不同燃料（因素A A）、）、不同推进器（因素不同推进器（因素B B）下射程是否有显著差异？交互作用是）下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？否显著？ B1B2B3A1A2A3A458.2，52.649.1，42.860.1，58.375.8，71.556.2，41.254.1，50.570.9，73.258.2，51.065.3，60.851.6，48.439.2，40.748.7，41.405. 0上一页上一页下一下一页页

16、返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编解解 经过计算得到方差分析表经过计算得到方差分析表由于由于3 3个假设检验中的个假设检验中的F F值都大于其临界值，故可以认值都大于其临界值，故可以认为燃料和推进器这两个因素对射程的影响是显著的，为燃料和推进器这两个因素对射程的影响是显著的，且交互作用是显著的。且交互作用是显著的。方差来源方差来源 平方和平方和 自由度自由度 均方均方 F比比 F临界值临界值因素因素A因素因素B交互作用交互作用A B 误差误差总和总和261.675370.9811768.693236.9502638.298326122387.2251

17、85.490294.78219.746FA=4.42 FB=9.39 FAB=14.9 3.493.893.00上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编二、双因素无重复试验的方差分析二、双因素无重复试验的方差分析 在上面的分析中，我们考虑了双因素间有在上面的分析中，我们考虑了双因素间有交互作用的情况。交互作用的情况。 为了检验因素之间的交互为了检验因素之间的交互作用是否显著，对于两个因素水平的每一组合作用是否显著，对于两个因素水平的每一组合至少要试验两次至少要试验两次。如在实际中已知因素之间无。如在实际中已知因素之间无交互作用，或交

18、互作用对试验指标的影响很弱，交互作用，或交互作用对试验指标的影响很弱，则可以忽略交互作用。则可以忽略交互作用。 此时我们上面讨论的此时我们上面讨论的模型得到了简化，同时试验的次数（对因素水模型得到了简化，同时试验的次数（对因素水平的每一组合）也可以是一次。平的每一组合）也可以是一次。 上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编双因双因素方素方差分差分析的析的类型类型 无交互作用的无交互作用的双因素方差分析双因素方差分析 有交互作用的有交互作用的双因素方差分析双因素方差分析 假定因素假定因素A A和因素和因素B B的效应之间是相的效应之

19、间是相互独立的，不存在互独立的，不存在相互关系相互关系 假定因素假定因素A A和因素和因素B B的结合会产生出一的结合会产生出一种新的效应种新的效应 双因素方差分析的类型双因素方差分析的类型上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编试验结果试验结果 因素B因素AB1B2BsA1X11X12X1sA2X21X22X2sArXr1Xr2Xrs上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编此假设检验问题为此假设检验问题为上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差

20、分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编方差分析表方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方均方F比比因素因素A 因素因素B 误差误差 总和总和 ASBSESTS1r1s) 1)(1(sr1rsASBSESEAASSFEBBSSF上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编此假设检验问题的拒绝域的形式为：此假设检验问题的拒绝域的形式为：在显著性水平在显著性水平 下，检验问题的拒绝域分别为下，检验问题的拒绝域分别为假设假设 的拒绝域为的拒绝域为假设假设 的拒绝域为的拒绝域为01H)1)(1( , 1(srrFFA)1)(1( ,

21、1(srsFFB02H上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编 例例3 为了研究为了研究4种水稻种水稻品种对产量品种对产量有无显著有无显著影响，分别在影响，分别在5块面积相同的试验地上种上同一块面积相同的试验地上种上同一品种的水稻，总共种了品种的水稻，总共种了20块地。虽然每块地的面块地。虽然每块地的面积是相同的，积是相同的，但各块地的土质但各块地的土质可能有较大的差异。可能有较大的差异。为获得试验结果的正确性，把为获得试验结果的正确性，把20个试验单位按土个试验单位按土质分为质分为5类，每个组内有类，每个组内有4个试验单位，它们的

22、基个试验单位，它们的基本条件认为是相同的。在每一个组中，本条件认为是相同的。在每一个组中，4种品种种品种的水稻种子随机地播种在其中的一个试验单位上。的水稻种子随机地播种在其中的一个试验单位上。下下表是将表是将4个品种的水稻播种在个品种的水稻播种在5个组上测得收获个组上测得收获量的数据（单位：公斤）。在每一试验单位上水量的数据（单位：公斤）。在每一试验单位上水稻的播种量及其它条件可以认为都相同。稻的播种量及其它条件可以认为都相同。设品种设品种和地块的各水平搭配下收获量的总体都服从正态和地块的各水平搭配下收获量的总体都服从正态分布且方差相同。分布且方差相同。问在水平问在水平=0.05下，品种对水下，品种对水稻收成有无显著影响。稻收成有无显著影响。 上一页上一页下一下一页页返回本章首页返回本章首页第五章第五章 方差分析方差分析刘思峰等主编刘思峰等主编试验数据试验数据B1B2B3B4B5A1A2A3A432.333.230.829.534.033.634.426.234.736.832.328.136.034.335.828.535.536.132.