人教版高中数学必修第二册课后巩固练习6.3.1《平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》(含解析)

1、6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示课后篇巩固提升基础巩固1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为() A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4答案D解析因为向量e1与e2不共线,所以3x=4y-7,10-y=2x,解得x=3,y=4.2.如图所示,在ABC中,AD=23AB,BE=12BC,则DE=()A.13AC12ABB.13AC16ABC.12AC13ABD.12AC16AB答案D解析DE=DB+BE=13AB+12(ACAB)=12AC16AB.3.如图,平

2、面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分,(不包含边界).设OP=mOP1+nOP2,且点P落在第部分,则实数m,n满足()A.m0,n0B.m0,n0C.m0D.m0,n0;OB与OP2方向相反,则n0.4.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);若x1,x2,y1,y2R,a=(x1,y1)(x2,y2),则x1x2,且y1y2;若x,yR,a=(x,y),且a0,则a的始点是原点O;若x,yR,a0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).其中正确结论的个数是()A.1B.2

3、C.3D.4答案A解析由平面向量基本定理,知正确;举反例,a=(1,0)(1,3),但1=1,故错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故错误.5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为.答案6解析由已知得,存在R,使得a=b,即xe1+2e2=3e1+ye2,所以x=3,2=y,故xy=32=6.6.如图,C,D是AOB中边AB的三等分点,设OA=e1,OB=e2,以e1,e2为基底来表示OC=,OD=.答案23e1+13e213e1+23e2

4、解析OC=OA+AC=OA+13AB=e1+13(e2-e1)=23e1+13e2,OD=OC+CD=OC+13AB=23e1+13e2+13(e2-e1)=13e1+23e2.7.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一个基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(1)证明假设a,b共线,则a=b(R),则e1-2e2=(e1+3e2).由e1,e2不共线,得=1,3=-2,即=1,=-23.所以不存在,故a,b不共线,即a,b可以作为一个基底.(2)解设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e

5、2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以3=m+n,-1=-2m+3n,解得m=2,n=1.故c=2a+b.8.如图,在ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.(1)解如图,延长AD到点G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,BE=AEAB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AFAB=12b-a=12(b-2a).(2)

6、证明由(1)知,BE=23BF,BE,BF共线.又BE,BF有公共点B,B,E,F三点共线.能力提升1.若O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足OP=OB+OC2+AP(0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心答案C解析设线段BC的中点为D,则有OD=12(OB+OC),因此由已知得OP=OD+AP,即OPOD=AP,于是DP=AP,则DPAP,因此P点在直线AD上,又AD是ABC的BC边上的中线,因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心.2.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且

7、|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),则+的值等于.答案6解析如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=OD+OE.在RtOCD中,因为|OC|=23,COD=30,OCD=90,所以|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA,OE=2OB,即=4,=2,所以+=6.3.如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值.解设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M和B,P,N分别共线,存在实数,使AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2,BA=BPAP=(+2)e1+(3+)e2.又BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2,3+=3,解得=45,=35.AP=45AM,即APPM=41.4.如图,已知OAB,若正实数x,y满足x+y1,且有OP=xOA+yOB.证明:点P必在OAB内部.证明由题意可设x+y=t,t(0,1),则xt+yt=1.设P为平面内一点,且OP=xtOA+ytOB,则AP=