数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修课件

1、数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修1.1.1变化率与导数变化率和导数数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修教学目标教学目标 了解函数的平均变化率 教学重点：教学重点： 函数的平均变化率与导数数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修1.1.1变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度变化率问题数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等求物体在任意时刻的速度与加速度等

2、; 二、求曲线的切线二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。最一般、最有效的工具。数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修1.1.1变化率问题变化率问题 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的增随着气球内空气容量

3、的增加加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是34( )3V rr 如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么33( )4Vr V数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修我们来分我们来分析一下析一下: 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm

4、 L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L显然显然0.620.16 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?33( )4Vr V数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修思考? 当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV数学111

5、变化率与导数变化率问题(新人教A版选修问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单（单位：秒）存在函数关系位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?请计算请计算00.52:ttv 和1时的平均速度hto数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修请计算00.52:ttv 和1时

6、的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修平均变化率定义平均变化率定义: 若设若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1) 则则平均变化率平均变化率为为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修 思考思考? 观察函

7、数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修做两个题吧做两个题吧! 1 、已知函数、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D 2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。 2x0+x 数学111变化率与

8、导数变化率问题(新人教A版选修练习：练习：1.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B. 6+ t+C.3+ t D.9+ t 2.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直的规律作直线运动线运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A253 t 数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修总结：总结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率( )f xx121)()f xxx2f(x 2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量y=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平

9、均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的运动员相对于水面的高度高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒（单位：秒）存在函数关系）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. hto6549t 计算运动员在0这段时间里的平均速度，计算运动员在0这段时间里的平均速度，数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修65()(0)1049hh0hvt 6549t 计算运动

10、员在0这段时间里的平均速度，计算运动员在0这段时间里的平均速度，思思考考下下面面问问题题；1 1）运运动动员员在在这这段段时时间间里里是是静静止止的的吗吗？2 2）你你认认为为用用平平均均速速度度描描述述运运动动员员的的状状态态有有什什么么问问题题吗吗？数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修瞬时速度瞬时速度. 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.又如何求又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速瞬时速度度.数学111变化率与导数变化率问题(新人教A

11、版选修如何求（比如，如何求（比如， t t=2=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势 ：当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修瞬时速度 我们用我们用 表示表示 “ “当当t=2, tt=2, t趋近于趋近于0 0时时, ,平均速度趋于确平均速度趋于确定值定值-13.1”.-13.1”.0limt(2)(2)13.1htht 那么那么, ,运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度? ?0lim t00()( )h tth tt 局部以

12、匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修导数的定义导数的定义:从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修问题: 求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数. 求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数. 数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修应用：应用：例例1 物体作自由落体运动物体作自由落体运

13、动,运动方程为：运动方程为： 其其中位中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求：求： (1) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度. 221gts 分析分析:_00()( )12()2s tts tsvggttt 2001()( )2()2ss tts tg tgt 数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修解解:)(212_tggtsv s ss(2+t)Os(2)(1)将将 t=0.1代入上

14、式，得代入上式，得: ./5 .2005. 2_smgv (2)将将 t=0.01代入上式，得代入上式，得: ./05.20005. 2_smgv 的的极极限限为为：从从而而平平均均速速度度当当_, 22 , 0)3(vtt ./202limlim0_0smgtsvvtt 数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修应用： 例例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：0C）为）为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计

15、算第计算第2（h) 和第和第6（h）时，原）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。27fxxx关键是求出：关键是求出：它说明在第它说明在第2（h)附近，原油附近，原油温度大约以温度大约以3 0C/h的速度下降；的速度下降；在第在第6（h)附近，原油温度大附近，原油温度大约以约以5 0C/H的速度上升。的速度上升。027limxfxx再求出数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修应用： 例例3 3质量为质量为kgkg的物体，按照的物体，按照s(t)=3ts(t)=3t2 2+t+4+t+4的的规律做直线运动，规律做直线运动，（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的瞬时速度；时物体的瞬时速度；（）求运动开始后（）求运动开始后s s时物体的动能。时物体的动能。21()2Emv200022253limlimlim(253)251110 253125( )22xxxsttvtttEmvJ 数学111变化率与导数变化率问题(新人教A版选修小结： 1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s