2021年高二导数讲义含经典例题学生用

1、名师精编欢迎下载导数学问点归纳1、导数的概念函数 y=fx, 假如自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量y =，y比值叫做函数 y=f（ x）在 x 0 到 x 0 +x 之间的平均变化率， 即=；假如当x0x时，y 有极限，我们就说函数y=fx 在点 xx0 处可导，并把这个极限叫做f（ x）在点 x0 处的导数，记作 fx0（ x 0 ）或 y| x；y即 f（ x 0 ）= lim= lim；x0xx02、导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（ x 0 ， f（x 0 ）处的；也就是说，曲线 y=f （

2、 x）在点 p（ x 0 ， f（ x 0 ）处的是 f/（ x 0 ）；相应地，切线方程为3、几种常见函数的导数:4、两个函数的和、差、积的求导法就法就 1 ：法就 2 ：如 c 为常数 ,法就 3 ：形如 y=f x 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解求导回代；5、单调区间： 一般地，设函数yf x 在某个区间可导，f x，就 f x 为增函数；f x，就 f x 为减函数；假如在某区间内恒有f x0 ，就f x为常数；6、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为，极值点处的导数为；曲线在极大值点左侧切线的斜率为， 右侧为；曲线在微小值点左侧切线的斜率为，右侧为；7、最值 ：一般地，

3、在区间 a， b 上连续的函数f x 在a ，b 上必有最大值与最小值；求函数 . x 在a ， b 内的；求函数 . x 在区间；将函数 .x 的各与比较，其中是最大值，其中是最小值；常见综合题方法导航1、关于函数的单调区间（如单调区间有多个用“”字连接或用“ 号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f x0 得到两个根；其次步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）- 题型特点（已知谁的范畴就把谁作为主元）；其次种：分别变量求最值；第三种：关于二次函数的不

4、等式恒成立；第四种：构造函数求最值题型特点f xg x 恒成立h xf xg x0 恒成立；2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴及函数与x 轴即方程根的个数问题；（ 1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即f x0或f x0 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分别变量时要特殊留意是否需分类争论（看是否在0 的同侧），假如是同侧就不必分类争论；如在0 的两侧，就必需分类争论，要留意两边同处以一个负数时不等号的方向要转变呀！有时分别变量解不出来，就必需用另外的方法；其次种：利用子区间（即子集思想）；第一求出函数的单调增或减区间，

5、然后让所给区间是求的增或减区间的子集；第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0 的关系和对称轴相对区间的位置；特殊说明：做题时肯定要看清晰“在（ a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b ）”， 要弄清晰两句话的区分； （ 2 ）函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （ 即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增” 仍是“先减后增再减”；其次步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和微小值与0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；3、函数的切线问题；问题 1：在点处的切线，易求；问题 2：

6、过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；其次步：写切线（一般用点斜式）；第三步：依据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判定三次方程根的个数；经典题型分类解析【导数定义的应用】例 1 、求抛物线yx 2 上的点到直线xy20 的最短距离 .1、（福建）已知对任意实数x ，有 f xf x， gxg x ，且 x0 时， f x0， gx0 ，就 x0 时（）af x0， g x0bf x0， g x0cf x0， g x0df x0， g x02、已知 p （ 1 ， 1）， q（ 2， 4 ）是曲线 yx2 上的两点，就与直线pq 平行的曲线 yx2 的切线方程是.

7、3、已知函数f xx3ax 2bxc在x2 处取得极值，并且它的图象与直线y3x3 在点（ 1，0）处相切，就函数f x 的表达式为 m 2 .【利用导数争论函数的图像】例 1 、（安徽高考）设 a b, 函数 y xa 2 xb 的图像可能是（）1、设f x 是函数f x 的导函数，将yf x 和 yfx 的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的是；yyyyoxoxoxox图 1图 2图 3图 4【利用导数解决函数的单调性及极值问题】例1 、 当x0，证明不等式x1xln1xx .例 2 、（全国高考）已知函数f x32xaxx1 ， ar （）争论函数f x 的单调区间；（）设函数f x

8、 在区间2 ， 1内是减函数，求 a 的取值范畴33【变式 1 】（ 全国高考） 如函数 fx1 x 331 ax 22a1 x1 在区间1,4上是减函数， 在区间 6,上是增函数，求实数a 的取值范畴32【变式 2 】（ 浙江高考）已知函数f xx1a xa a2 xba, br 如函数f x 在区间1,1 上不单调，求 a 的取值范畴练习1、 利用函数的单调性，证明：lnxxex , x0变式 1 ： 证明： 11x1ln x1x ， x1变式 2 ：（理科） 设函数 fx=1+x 2 ln1+x 2.如关于 x 的方程 fx=x 2+x+a 在0 ，2 上恰好有两个相异的实根，求实数 a

9、 的取值范畴 .2、已知函数f x1 x33bx 22 xa ， x2 是 fx 的一个极值点（）求fx 的单调递增区间； （）如当 x1, 3 时，f xa 223恒成立，求 a 的取值范畴3、设函数f xln xax2 ,如当 x1 时，f x 取得极值，求 a 的值，并争论f x 的单调性 .4、设a 0 ，f xx1lnx2a ln xx0 22（）令f xxf x，争论f x 在 0， 内的单调性并求极值；（）求证：当 x1 时，恒有 xlnx2a ln x1 5、设2 x2f x,g xax52aa0 ；x1（ 1）求f x 在 x0,1 上的值域；（ 2）如对于任意x10,1 ，

10、总存在x00,1 ,使得g x0f x1 成立, 求 a 的取值范畴；【利用导数的几何意义争论曲线的切线问题】例 1 、（江西高考）如存在过点1,0 的直线与曲线3yx 和yax215 x49 都相切，就 a 等于a 1或 - 2564b 1或 214c7 或 - 25464d 7 或 74【变式】（ 辽宁高考）设 p 为曲线 c ：2yx2 x3 上的点，且曲线 c 在点 p 处切线倾斜角的取值范围为0，就点 p 横坐标的取值范畴为（）4a1， 12b 1，0c 0，1d1 ，1 2综合实战训练1. 设函数 fx 在定义域内可导，y=fx的图象如右图所示，就导函数y=f x的图象可能为 2.

11、 已知曲线 s:y=3 x x3 及点 p 2,2 ,就过点 p 可向 s 引切线的条数为 a0b1c2d34. 函数yx cos xsinx 在下面哪个区间内是增函数（）.3 a,b , 235c , d 2,322225. y=2 x3 3 x2 +a 的极大值为 6，那么 a 等于 a6b0c5d16. 函数 fx x3 3x+1 在闭区间 -3 ， 0 上的最大值、最小值分别是 a1 ， 1b3 ， -17c1 ， 17d9 ， 197. 设 l1 为曲线 y1=si nx 在点 0 ， 0 处的切线， l 2 为曲线 y2=cos x 在点,0 处的切线，就 l1 与 l2 的夹角为

12、2 .8. 设函数 f x=x3+ax2+bx 1，如当 x=1时，有极值为1 ，就函数 g x= x3+ ax2 +bx 的单调递减区间为.9（湖北）已知函数yf x 的图象在点m 1， f11 处的切线方程是 yx22 ，就f 1f 110 （湖南）函数f x12 xx3 在区间 3，3 上的最小值是11 （浙江）曲线yx32 x24 x2 在点 1， 3 处的切线方程是12. . 已知函数f x32x axb a,br（）如函数f x图像上任意一点处的切线的斜率小于1 ，求证：3a3 ；（）如 x0,1，函数y f x 图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试争论k 1的充要条件；实战训练

13、 b1（海南）曲线 y1 xe2 在点4， e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） 9 e22 4e22e2 e222（海南）曲线yex 在点2， e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（） 9 e24 2e2 e2 e 23（江苏） 已知二次函数f xax2bxc 的导数为f x ， f00 ，对于任意实数 x 都有f x0 ，f 1就f 0的最小值为（）a 3b 524（江西） 5 如c 2d 32）0x，就以下命题中正确选项（2a sinx3 xb sinx3 xc sin x4 x2 d sin x24 x225（江西）如 0x2，就以下命题正确选项（）2233a sinxxb sinxxc sinxxd sin xx6（辽宁）已知f x与 g x是定义在 r 上的连续函数，假如f x与 g x 仅当 x0 时的函数值为 0，且 f x gx ，那么以下情形不行能显现的是（）a. 0 是f x的极大值，也是g x 的极大值b. 0 是f x的微小值，也是g x 的微小值c. 0 是f x的极大值，但不是g x的极值d. 0 是f x的微小值，但不是g x的极值1347（全国一）曲线yxx 在点31， 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为