几何分布的定义以及期望与方差的证明

1、几何分布的定义以及期望与方差中，几何分布(Geometric distributi on )是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。公式：它分两种情况：n次伯努利 实验，n的概率分布，取值范围为1，2，3，.1得到1次成功而进行，X的分布列:概率为p的事件 A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则lp(x=i=px=L-pr 卩1(711 I具有这种分布列的随机变量 X，称为服从参数p的几何分布，记为XGeo(p)几何分布的期望高中数学教科书新版第三册(选修只给出了结论： (1)E1，(2)D1 p ，

2、而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。2ppII )比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中(1)由 P( k ) q k 1 p，知rE p 2 pq 3q 2 p kq k 1 p2. k 1、(1 2q 3q kq ) pF面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记Sk 1 2q3qkq2k 1. kqSk q 2qk 1 qkq-(C； _两式相减，得L、2(1 qjS k1 q 亠qk 1kqSk由021 2 p 3qk 1kqlim S kkJ1 1= 2 2(1 q) pd kk1 q kq2(1 q) 1 qc咸赠1kp 1，知 0 q 1，则 lim q 0，

3、故k从而E也可用无穷等比数列各项和公式S a1 (| q|1）（见教科书91页阅读材料），推导如下:2记 S 1 2q 3qkq2k *qS q 2q( k 1) q 1相减，2(1 q)S 1 q qq k 111 q2 2(1 q) p3 )还可用导数公式(xn ) nxn 1，推导如下:21 2 x 3xkxk 1x (x 2 ) ( x (x x 2 x 3/ k(xkX)X(1 x1(1 x)2)(1 x) ( x)(1 x) 2上式中令 x q,则得21 2q 3qkq k 11(1 q) 2(2)为简化运算，利用性质2(E )来推导(该性质的证明，可见本刊6页)。可见关键是求E

4、2P 22 qpo2 23 q- 2 2P(12 q 3 q对于上式括号中的式子，利用导数，关于2 k 1kq求导：k q (kq )，并用倍差法求和，有2 o2q 3k 2q k 1(q2q23q 3kq k)(11q2 q)2q(1(1 q) 4(12q) 2(1 q) q4(1 q)q 2 p 33q) pp则 E 2p(2 3P )2 2 ，因此 Dpp 2 2E (E )22pP(1)21 2Pp p利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。取出黑球就放回，取出例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E 与方差D的取

5、值为12 3?5解：每次从袋内取出白球的概率p ，取出黑球的概率7有无穷多个。我们用k表示前k 1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此P(k)q k1 pk(2) 1 ( 5 )( k 1,2,3,)。可见服从几何分布。所以7717Ep5514251 p 72p (5)2例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p ( 0p1 )。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1 , 2, ?, 9, 10。k (k 1,2,9)，则表明他前k 1次均没击中目标，而第k次击中目标；若 k = 10 ,则表明他前l9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此(1p).k 1小 p( k1,2,9)P(k )9(1p)(k 10)E1(1p)0 p 2(1p) p9(1 p) 8 p 10(1p) 9 12(1 p) 9(1 p) 8 p 10(1 p)1的分布列为用倍差法，可求得1 2(1P)1(1P) 91 C(1P) 21(1P) 9!2Pp99(1 P)1 (1 P)99(1 P)9(1 P) 8所以E 1(1 P) 92P99109(1 P) P 10(1 P) 1 (1 P)PP