高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用第六节一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线 .例如, 双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差纵坐标差”LbxkyNMOxyC)(xfy POxy目录 上页 下页 返

2、回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若,)(limbxfx则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或若,)(lim0 xfxx则曲线)(xfy 有铅直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线211xy的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为铅直渐近线.yxO21目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用2. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0

3、)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P76 题题14)目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例2. 求曲线3223xxxy的渐近线.解解:,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xyyxO目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用二、函数图形的

4、描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例3. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(002

5、34(极大)(拐点)32(极小)4)xy1332201123yOx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例4. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点.)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x原方程两边对 x 求导得两边对 x 求导得目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用113) 1,() 1 , 1(

6、)3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义1x目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学

7、.微分中值定理与导数的应用6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy04924112Oyx3215) 1( 4) 3(2xxy1x4541xy目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例5. 描绘函数21y22ex的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,e22xx y2122ex)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极

8、大)(拐点拐点)目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线(极大极大)(拐点拐点)2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (22e21xyxyOA210yB1目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形的描绘目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用思考与练习思考与练习 1. 曲线)(e1e122xxy(A) 没有渐近线

9、；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;1e1e1lim22xxx22e1e1lim0 xxxD目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用拐点为 ,凸区间是 ,),(21)e1,(21212. 曲线2e1xy的凹区间是 ,提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及渐近线 .1yyOx1)e1 ,(2121)e1 ,(2121目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用P76 14 (2); P169 2 ; 5作业作业第七节 目录 上页 下页

10、 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用备用题备用题 求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线 . 解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :x,133ttay233,1att, 1tx时当因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1 ()1 (312limtttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy叶形线 1t高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线Oxy313tatx3213taty1t参数的几何意义参数的几何意义:tant),() 1,(4

11、2t图形在第四象限,(0, 1(43t图形在第二象限),0),02t图形在第一象限点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用一、一、 弧微分弧微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧

12、长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxO)(xfy ABabxyxMxxMy1lim0MMMMx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用则弧长微分公式为tyxsdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsOxxdxdxyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx的导数数表示对参tx 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用二、曲率及其计算公式二、曲

13、率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y ar

14、ctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用说明说明: (1) 若曲线由参数方程)()(tyytxx给出, 则23)1(2yyK (2) 若曲线方程为, )(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例2. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(, )0,0

15、(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用Oyx例例2. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx1221xlRy RB36

16、1xlRy l目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例3. 求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小22( )2sin cos2cos sinf tattbtttba2sin)(22求驻点: 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用,0)( tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(t

17、f022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大.OK 最大tbtatf2222cossin)(最小目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxO),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;

18、(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用设曲线方程为, )(xfy 且,0 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1 (2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式 .TyxOR),(yxMC),(D目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MT

19、DM yyx由此可得曲率中心公式yyyx )1 (2yyy 21(注意y与y 异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 )(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停TyxOR),(yxMC),(D目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用Oyxab例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3

20、可知, 椭圆在)0,( a处曲率最大,即曲率半径最小, 且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然, 砂轮半径不超过时，ab2才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用( 仍为摆线 )sin( a)cos1 ( a例例5. 求摆线)cos1 ()sin(tayttax的渐屈线方程 . 解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式,)sin(tta) 1(cos ta得渐屈线方程 ,t令aa2摆线 Oyyyx )1 (2yyy 21OyxM摆线高等数

21、学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停MyxtaO其上定点 M 的轨迹即为摆线 .)sin(ttax)cos1 (tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心yyyx )1 (2yyy 21目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定

22、理与导数的应用思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.2. 求双曲线1yx的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1 (2yy 234)1 (1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xRO11yx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用作业作业第八节 P177 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； *9 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用三、一般迭代法 (补充) 第八节的实根

23、求方程0)(xf可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法，内只有一个根在若方程,0)(baxf内严格单调）（在且baxf,)(为则称,ba.其隔根区间0)()(, ,)(bfafbaCxf为隔根区间,ba(1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 ;)(估计隔根区间的草图由xfy 转化为等价方程将0)(xfOxy)(xfy .)(, )(的草图估计隔根区间由xyx

24、yab)()(xx)(xy)(xyOxyab目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用(2) 逐步收索法01,3 xx方程例如13 xx由图可见只有一个实根, )5 . 1, 1 (可转化为.)5 . 1, 1 (即为其隔根区间,的左端点出发从区间ba以定步长 h 一步步向右搜索, 若0) 1()(hjafjhaf) 1(;, 1,0(bhjaj.) 1(内必有根，则区间hjajha搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 时,0)( xf从而)(xf在),0(上单调增.得目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用

25、例例9. 设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)(e)(xfxx则 )()(e)(xfxfxx0,0)()(xfxf故)(x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0e x因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其他不变时, 如何设辅助函数?)(e)(xfxx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例10. 求数列nn的最大项 .证证: 设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, exx)(

26、xf )(xfe)e, 1),e(0e1e因为)(xf在),1只有唯一的极大值点,ex因此ex在 处)(xf也取最大值 .又因,3e2442 且,33nn为数列故33中的最大项 .极大值列表判别:目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例11. 证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时,

27、如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例12. 设,0)0(f在),0上)(xf 存在 , 且单调递减 , 0,0ba有)()()(bfafbaf证证: 设, )()()()(xfafxafx则0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当时，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立 . 证明对一切目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例13. ,10:时当证明 x.112xxxe证

28、证: 只要证) 10(01e)1 (2xxxx,1e)1 ()(2xxxfx设0)0(f则, 1e)21 ()(2xxxf0)0( f) 10(0e4)(2 xxxfx利用一阶泰勒公式, 得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0e222xx故原不等式成立.目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例14. 证明当 x 0 时,.) 1(ln) 1(22xxx证证: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf则0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1,

29、) 1(2x法法1. 由)(xf在1x处的二阶泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所证不等式成立 .与 1 之间)目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用法法2. 列表判别.,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx时故当即.) 1(ln) 1(22

30、xxx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用例例15. 求)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann

31、22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用解法解法3 利用洛必达法则)0()1arctan(arctanlim2ananann原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt bt at目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用 P182 5 ; *7 ; *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20作业作业目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教

32、学.微分中值定理与导数的应用备用题备用题1. 设函数), 0()(在xf上具有二阶导数，且满足证明序列)(nf发散. 证：证：单调递增，)(,0)(xfxf )2, 1 (,0)() 1 ()2(, )2() 1 (11fffff11,0)()(xfxf), 2()2(! 2)()2)(2()2()(2nnfnffnf )2)(2()2(nff n故序列)(nf发散. , )2() 1 (,0)(ffxf (2007 考研）目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济六版)教学.微分中值定理与导数的应用保号性保号性 定理定理2. 设)(xf在区间,ba上连续 , 且, 0)()(bfaf, 0)()(bfaf试证存在, ),(ba使. 0)(f证证: 不妨设. 0)(,0)(bfaf0lim)()()(axafxfaxaf必有1x, ),(2baa使,011)(axxf故0)(1xf0lim)()()(bxbfxfbxbf保号性保号性 定理定理必有2x, ),(2bba使,022)(bxxf故0)(2xf又在,21baxx上)(xf连续, 由零点定理知, 存在, ),(),(2