第21章 一元二次方程 复习课（第2课时） 教学设计

第21章一元二次方程复习课（第2课时）教学内容解析教学流程图地位与作用本节课是复习课的第2课时，是在学生已经复习一元二次方程相关的基础知识和基本技能的基础上，通过综合应用知识解决问题，深化学生对知识的理解，进一步培养发现和提出问题、分析和解决问题的能力．概念解析方程的根是指使方程两边相等的未知数的值．一元二次方程（ax2＋bx＋c=0）的根由系数决定，可以通过根的判别式（Δ=b2－4ac）判断根的存在与否．配方是指把一个多项式经过适当变形配成完全平方式，利用配方可以确定代数式的最值．思想方法通过以判断一元二次方程根的具体数值及根是否存在为目标导向，经历对代数式的不断变形，体会化归和符号化的思想，培养运算能力；通过过几何问题的解决，建立几何对象之间的数量关系，体现数形结合的思想。通过对实际问题的解决，建立方程模型解决实际问题，体现数学与现实世界的联系，体现数学建模的思想。以综合问题作为复习课研究的对象，能够加深学生对于一元二次方程的学习和理解，并且能够训练学生的代数变换的基本能力，培养学生分析和解决问题的能力．知识类型一元二次方程属于概念性知识；一元二次方程的解法是关于原理与规则类知识，建立一元二次方程模型解决实际问题，是数学建模思想的重要体现，这是关于数学思想方法的知识．一元二次方程属于概念性知识；一元二次方程的解法是关于原理与规则类知识，建立一元二次方程模型解决实际问题，是数学建模思想的重要体现，这是关于数学思想方法的知识．教学目标解析教学目标：1．巩固本章基础知识和基本技能，深化理解．2．经历分析和解决例题的过程，培养分析和解决问题的能力．目标解析：达成目标1的标志是：通过例题的解决，深化对方程的根、判别式等基础知识的理解，巩固一元二次方程解法、配方法、代数式变形等基本技能的掌握，巩固利用一元二次方程模型解决实际问题的一般步骤．达成目标2的标志是：通过问题的引导，学生引发思考，主动呈现分析过程，互相交流完善．教学问题诊断分析具备的基础在本课之前，学生已经基本掌握一元二次方程的概念、解法，经历了应用一元二次方程模型解决简单问题的过程．与本课目标的差距分析例题的解决过程中需要一定的代数式变形的能力，较强的运算能力和逻辑思维能力．可能存在的问题存在的问题：学生对如何有逻辑地分析问题可能存在困难．应对策略：设计合适的例题作为复习提升的载体；通过有效的问题设计，引发学生准确、有逻辑地思考．教学难点本节课的教学难点：抽象出问题中的数量关系．教学支持条件分析通过信息技术直观地呈现几何图形，标明相关线段的表示；通过列表等功能直观地呈现实际问题中各个量的表示及关系．教学支持条件分析课前检测1．关于x的方程（a2－3a－5）x2＋2ax+4=0的一个根为1，则实数a的值是__________．2．一条长20cm的绳子围成一个的矩形．（1）若矩形面积为24cm2，求矩形的长和宽．（2）这个矩形的面积能达到26cm2吗？设计意图：复习一元二次方程根的概念、解法和应用．为复习课的开展做好知识上的准备．例题分析【例题1】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：（1）若，则方程一定有一根是x=－1；（2）若a＜0，b＜0，c＞0，则方程必有两个不相等的实数根；；（3）若a－b+3c=0，则方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是____________．（填序号）师生互动设计：学生先独立思考，然后小组交流，最后学生呈现，相互完善，教师引导总结．期间教师巡视课堂并指导．教师可追问以下问题．追问1：如果x=－1是方程的根，我们可以得到怎样的等式？已知等式能通过变形得到这个等式吗？追问2：如何判断方程根的情况？根的判别式如何表示？追问3：得到根的判别式的表示后，如何判断它与0的关系？追问4：你总结下解决此类关于一元二次方程根的问题的一般策略吗？设计意图：通过对含字母的方程根的讨论，巩固对根的概念、判别式的理解，渗透化归和符号化的思想，培养运算能力．【测评1】对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，下列说法：（1）若b=a＋c，则方程必有一根为x=－1；（2）若c是方程的一个根，则一定有ac＋b＋1=0成立；（3）若ac＜0，则方程一定有两个不相等实数根；（4）若2a＋3c=b，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论有_________．（填序号）设计意图：检测例1是否掌握．若测评不合格，则讲解测评1并回至例1的教学．【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发向顶点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．P，Q两点从出发开始到几秒时，（1）四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？（2）点P和点Q之间的距离是cm？（3）点P和点Q之间的距离最小？师生互动设计：学生先独立思考，然后小组交流，最后学生呈现，相互完善，教师引导总结．期间教师巡视课堂指导．为了帮助学生有逻辑地思考，教师可追问以下问题．追问1：如何计算四边形PBCQ的面积？需要确定哪些量？追问2：如何计算线段PQ的长度？需要确定哪些线段？追问3：这些线段用x表示唯一吗？追问4：如何确定二次三项式的最值？追问5：你总结下解决动点问题的一般策略吗？设计意图：通过动点问题的解决，巩固用一元二次方程模型解决问题的一般步骤，培养对几何图形观察和分析的能力．【测评2】在例2中，另一点M同时以3cm/s的速度，从点A沿DA射线方向运动．当P，Q停止运动时，M也停止运动．问：出发开始到几秒时，三角形MQD的面积为cm2？设计意图：检测例2是否掌握．若测评不合格，则讲解测评2并回至例2的教学．【例题3】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？师生互动设计：学生先独立思考，然后小组交流，最后学生呈现，相互完善，教师引导总结．期间教师巡视课堂指导．为了帮助学生有逻辑地思考，教师可追问以下问题．追问1：每天的利润如何计算？追问2：降价后每箱的利润如何表示？追问3：降价后销售量如何表示？追问４：你总结下解决利润问题的一般策略吗？设计意图：通过利润问题的解决，巩固用一元二次方程模型解决问题的一般步骤，培养分析和解决问题的能力．【测评3】某商场将原来每件进价80元的某种商品按每件100元出售，一天可出售100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加20件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？设计意图：检测例3是否掌握．若测评不合格，则讲解测评3并回至例3的教学．课堂小结通过本节课的学习，请你回顾和总结学习中的经验，并回答以下问题：（1）在解决实际问题时，你是怎样设未知数的？（2）你是如何发现问题的数量关系？有什么独到的方法能与同学交流？（3）你是怎样用数学符号表示数量关系的？存在什么问题没有？（4）在解一元二次方程方程中，你有什么简便而准确的方法吗？你如何保证你所得到的结果都是正确的吗？设计意图：指导学生完成例题后，引导学生对内容和过程加以总结和反思，促使学生的数学思维活动更加活跃，形成理性认识．引导学生总结归纳例题解决过程中所运用到的数学知识、数学方法、数学思想，畅谈过程中的成功体验与不足．通过总结与反思，知识更加条理化、系统化，并形成一定的技能，学生的数学思维品质得以提升．目标检测设计一、选择题1．已知m是方程x2－2x－5=0的一个根，则m3－2m2－5m－5=（）A．－4B．－5C．4D．52．关于x的方程x2－mx＋2m=0的一个实数根是3，并且它的两个实数根恰好是等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为（）A．12B．15C．10或12D．12或153．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．无法确定三角形的形状4．对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，下列说法：①若2b=4a＋c，则方程必有一根为x=－2；②若c是方程的一个根，则一定有ac＋b＋1=0成立；③若b2＞5ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若2a＋5c=b，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论有（）个．A．1B．2C．3D．45．如图，某小区规划在一个长12m，宽8m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为64m2，设小路宽为xm，那么x满足的方程是（）A．2x2－25x＋16=0