专题23：解直角三角形 (2)

1、考点课标要求难度轴对称1了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分2能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形3了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质4认识和欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形中等及中等以下考点课标要求难度旋转1认识平面图形关于旋转中心的旋转探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等2了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中

2、心平分3探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质4认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形中等及中等以下考点课标要求难度平移1认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等2认识和欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。3运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。中等及中等以下题型预测轴对称、旋转、平移在中考试卷中一般以填空、选择和简单解答题的形式出现，题目一般不难，注重图形的识别、变换的性质和作变换后的图形对称轴上对称轴上对称轴对称轴全等全等对称轴对称轴轴对称图形轴对称图形完全重合完全重合垂直平分线垂直平分线某条直线某条直线

3、对称点对称点对称轴对称轴轴对称轴对称完全重合完全重合全等全等平分平分对称中心对称中心P1(x，y)相反相反对称中心对称中心中心对称中心对称完全重合完全重合180对称点对称点对称中心对称中心中心对称中心对称关于这个点对称关于这个点对称完全重合完全重合180平行且相等平行且相等全等全等大小大小形状形状相等相等相等相等距离距离方向方向平移平移全等全等形状形状角角线段线段相同相同角角逆时针逆时针旋转中心旋转中心距离距离顺时针顺时针旋转中心旋转中心旋转角旋转角旋转中心旋转中心转动的角度转动的角度点点O绕着一个点O转动一个角度考点1 轴对称、中心对称图形的识别（考查频率：） 命题方向：（1）判断一些图形是

4、轴对称图形还是中心对称图形；（2）对称轴和对称中心的识别；（3）求旋转的旋转角的度数1（2013呼和浩特）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）CBA1 个 B2 个 C3 个 D4 个2（2013广东广州）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）A13 B11 C10 D8C 3（2013广西玉溪）如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若AOB绕点 O按逆时针方向旋转到COD的位置，则旋转的角度为（ ）A30 B45 C90 D1354（2013浙江湖州）在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A正三角形 B等腰梯形

5、C矩形 D平行四边形CC5（2013广东广州）在66方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ） A向下移动1格 B向上移动1格 C向上移动2格 D向下移动2格D考点2 图形的平移（考查频率：） 命题方向：（1）判定图形平移的方向和距离6（2013四川凉山州，11，4分）如图，330，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证1的度数为（）A30B45C60D75 B考点3 轴对称、中心对称的性质（考查频率：）命题方向：（1）利用轴对称前后对称角相等证明对称角相等、对称线段相等；（2）折叠问题；（3）距离之和最小问题7（2013辽宁大连

6、，）P是AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是( )AOP1OP2 BOP1OP2COP1OP2且OP1OP2DOP1OP2CA9（2013四川资阳）如图，在RtABC中，C90， B60，点D是BC边上的点CD1将ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处若点P是直线AD上的动点，则PEB的周长的最小值是_考点4 设计对称图形（考查频率：）命题方向：（1）将一个图形补全成轴对称图形或中心对称图形10（2013江苏盐城）如图1是33正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心

7、旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）CfA4种 B5种C6种 D7种考点5 平面直角坐标系中点的平移、旋转和轴对称（考查频率：）命题方向：（1）平面直角坐标系内的平移问题；（2）平面直角坐标系内的旋转问题；（3）平面直角坐标系内的轴对称问题11（2013四川遂宁）将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A，点A关于y轴对称的点的坐标是（ ） A(3，2) B（1，2） C（1，2） D（1，2）12（2013山东济南）如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(2，0)，C(3，1)将ABC绕点A按

8、顺时针方向旋转90，得到ABC，则点B的坐标为（ ）A(2，1) B(2，3) C(4，1) D(0，2)AC例1：（2013福建福州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到OBD（1）AOC沿x轴向右平移得到OBD，则平移的距离是_个单位长度；AOC与BOD关于直线对称，则对称轴是_；AOC绕原点O顺时针旋转得到DOB，则旋转角可以是_度；（2）连接AD，交OC于点E，求AEO的度数【解题思路】（1）平移距离等边三角形的边长，可度量线段AO、BO的长；对称轴是一对对应点连线段的垂直平分线，如AB的垂直平分线；旋转角等于AOD或

9、COB的大小；（2）先证明AD平分CAO，可得AD垂直平分CO【思维模式】这是一道轴对称、旋转、平移和等边三角形综合的题目，解决问题的关键是抓住变换前后的线段与角度之间的关系120y轴轴2B【解题思路】连接BD，根据菱形的性质和A60得到DAB为等边三角形在等边DAB中，已知一边的中点，利用“三线合一”得到DPAB根据两直线平行，同旁内角互补得到PDC的度数，根据折叠的特点得到CDECDE PDC，从而CDE可求 在CDE中，利用三角形的内角和即可求出DEC的度数【思维模式】在解决与菱形有关的问题时，主要考虑其“边”的性质和“对角线”的性质，因为本题中没有对角线，所以应考虑其“边”的性质，即菱

10、形的四条边相等，又因为图中有60的角，所以可考虑构造等边三角形，利用等边三角形的性质进行求解例2： （2013山东淄博）如图，菱形纸片ABCD中，A60，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE则DEC的大小为（ ）A78B75C60 D4521例3：（2013甘肃兰州）如图1，在OAB中，OAB90，AOB30，OB8以OB为边，在OAB外作等边OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长【解题思路】（1）由在ABO中

11、，OAB90，AOB30，OB8，根据三角函数的知识，即可求得AB与OA的长，即可求得点B的坐标；（2）首先可得CEAB，D是OB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得BDAD，ADB60，又由OBC是等边三角形，可得ADBOBC，根据内错角相等，两直线平行，可证得BCAE，继而可得四边形ABCD是平行四边形；（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AGCG8x，然后根据勾股定理可得方程 ，解此方程即可求得OG的长【方法指导】要证一个四边形是平行四边形，通常有五种方法，分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边

12、形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形连接BD四边形ABCD是菱形，ADAB又A60，DAB为等边三角形点P为AB的中点，DPAB又DCAB，PDCDPB90DEC是DEC沿DE折叠得到的，CDECDE PDC 9045在CDE中，CDE45，C60，DEC1804560752121例4：（2013辽宁锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连结EF（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1

13、中，过点A作AMEF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将RtABC沿斜边AC翻折得到RtADC，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF BAD，连结EF，过点A作AMEF于点M试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想12【解题思路】（1）猜想EFBEDF但本题直接作EF的垂线，没有条件证到全等，只有在CB延长线截取BGDF，连结AG通过构造ADFABG，进而证明GAEFAE，得GEEF，可证EFBEDF（2）证AMF ABG或AME ABE可得AMAB（3）类比题（1）可证GAE FAE根据两三角形面积相等、底相等，则高相等，可得AMAB【思维模式】解证明线段的和差问题常用的方法是截长补短，但本题题（1）在EF上截取与DF或BE相等的线段并不能证明三角形全等，因此只有用补短的方法来证明（2）（3）两题中要证AMAB，必须找到对应的全等三角形可以说，利用旋转