对数及对数运算(2)ppt课件

1、2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第一课时第一课时 对对 数数 1. 1.庄子庄子: :一尺之棰，日取其半，万世一尺之棰，日取其半，万世不竭不竭 ，问，问4 4天还有多少尺？取多少次还天还有多少尺？取多少次还有有0.031250.03125尺？尺？设取设取x x次还有次还有0.031250.03125尺尺问题提出问题提出( )x( )x0.031250.03125，求，求x=?x=?12 2. 2.截止到截止到19991999年底，我国人口约年底，我国人口约1313亿亿. .假设今后能将人口年平均增长率控制在假设今后能将人口年平均增长率控制在1%1%，那么过几年人口数将到达

2、，那么过几年人口数将到达1818亿？亿？ 1313 (1 (11 1)x)x1818，求，求x=?x=?即即 1.01x1.01x ，求，求x=?x=?1813设过x年人口数将到达18亿知底数和幂的值，求指数知底数和幂的值，求指数. . 3.3.上面的实践问题归结为一个什么上面的实践问题归结为一个什么数学问题？数学问题？ 1.01x1.01x ，求，求x=?x=?1813( )x( )x0.031250.03125，求，求x=?x=?12知识探求一：对数的概念知识探求一：对数的概念 思索思索1:241:24 2 22 2思索思索2:2:假设假设2x2x1616，那么，那么x x 假设假设2x2

3、x , ,那么那么x x 假设假设4x4x8 8， 那么那么x x 假设假设2x2x3 3， 那么那么x x411641234-2假设假设2x2x3 3， 那么那么x x 苏格兰数学家纳皮尔在研讨天文学过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。满足满足2x2x3 3的的x x的值，我们用的值，我们用log23log23表示，表示，即即x xlog23log23，并叫做，并叫做“以以2 2为底为底3 3的对数的对数. .思索思索3: 假设假设2x16，那么，那么x 假设假设2x ,那么那么x 假设假设4x8， 那么那么x 41假设2x3， 那么xlog23log216log241log48思索思索

4、5: 5: 满足满足 , , ， 其中其中e=2.71828e=2.71828的的x x的值可分别怎的值可分别怎样表示？样表示？10 xNxeNX=log10NX=logeNx=log1.01181312思索思索4:4:前面问题中，前面问题中， , , 中的中的x x的值可分别怎的值可分别怎样表示？样表示？181.0113x x x0.031250.03125x=log 0.03125 12 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的开创和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。 但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。思索思索1:1:指数与对数有什么关系？指数与对数有什么关系？ 知识探求二：对数

5、与指数的关系知识探求二：对数与指数的关系 指数与对数是可以等价且相互转化指数与对数是可以等价且相互转化axaxN Nx xlogaNlogaN当当a0a0，且，且a1a1时时思索思索3:3:当当a0a0，且，且a1a1时，时，logaloga-2-2，loga0loga0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么结论？结论？ 设loga(-2)=x,那么ax=-2而当a0，且a1时,恒有ax0设loga0=x,那么ax=0 a a N N x x 指数式指数式axaxN N 指数的底数指数的底数 幂幂 幂指数幂指数 对数式对数式x xlogaN logaN 对数的底数对数的底

6、数 真数真数 对数对数 思索思索2:2:在指数式在指数式axaxN N和对数式和对数式x xlogaNlogaN中，中，a a，x x，N N各自的位置有什么不同？各自的位置有什么不同？ 思索思索4:4:根据对数定义，根据对数定义，logallogal和和logaalogaa和和logaanlogaana0a0，a1a1的值分别是多少？的值分别是多少？ 设loga1=x, 那么ax=1,所以x=0,得loga1=0设logaa=x, 那么ax=a,所以x=1,得logaa=1设logaan=x, 那么ax=an,所以x=n,得logaan=n实际迁移实际迁移641 例例1.1.将以下指数式化为

7、对数式，对数式将以下指数式化为对数式，对数式 化为指数式：化为指数式： (1) 54(1) 54625 ; (2) 2625 ; (2) 26 6 ; ; (3) ( )m (3) ( )m5.73 ; (4) 5.73 ; (4) ; ; (5) lg0.01= (5) lg0.01=; (6) ln10; (6) ln102.303.2.303.3116log21 例例2.2.求以下各式中的值：求以下各式中的值： (1)log64x(1)log64x ; (2) logx8; (2) logx86 ; 6 ; (3)lg100=x; (4) (3)lg100=x; (4)lne2lne2

8、. .23例3 计算1log 8143(2) log0.30.09例例4:4:1 1知知a0a0，且，且a1a1时时,N0,N0,证明证明 alogaN=N alogaN=N练习：(1)计算 2log25=_(2)知logx+3(x2+3x)=1,务虚数x的值。(3)知loga3=m, logan=5,那么a2m+n=_第二课时第二课时 对数的运算对数的运算2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 问题提出问题提出1.1.对数源于指数，对数与指数是怎样互对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？化的？ 2.2.指数与对数都是一种运算，而且它们指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，

9、指数运算有一系列性质，互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？那么对数运算有那些性质呢？ 知识探求一：积与商的对数知识探求一：积与商的对数思索思索2:2:将将log232log232log24log24十十log28log28推行到普推行到普通情形有什么结论？通情形有什么结论？思索思索1:1:求以下三个对数的值：求以下三个对数的值：log232log232， log24 log24 ， log28log28他能发现这三个对数之他能发现这三个对数之间有哪些内在联络？间有哪些内在联络？思索思索3:3:假设假设a0a0，且，且a1a1，M0M0，N0N0，他，他能证明等式能证明等

10、式logalogaMNMNlogaMlogaM十十logaNlogaN成立吗？成立吗？思索思索4:4:将将log232log232log24=log28log24=log28推行到推行到普通情形有什么结论？怎样证明？普通情形有什么结论？怎样证明？ 思索思索5:5:假设假设a a0 0，且，且a1a1，M1M1，M2M2，MnMn均大于均大于0 0，那么，那么loga(M1M2M3Mnloga(M1M2M3Mn？ 知识探求二知识探求二:幂的对数幂的对数思索思索1:log231:log23与与log281log281有什么关系？有什么关系？思索思索2:2:将将log281=4log23log281

11、=4log23推行到普通情形推行到普通情形有什么结论？有什么结论？ 思索思索3:3:假设假设a0a0，且，且a1a1，M0M0，他有什，他有什么方法证明等式么方法证明等式logaMnlogaMnnlogaMnlogaM成立成立 思索思索4:log2x2=2log2x4:log2x2=2log2x对恣意实数对恣意实数x x恒成恒成立吗？立吗？思索思索6:6:上述关于对数运算的三个根本性上述关于对数运算的三个根本性质如何用文字言语描画？质如何用文字言语描画？思索思索5:5:假设假设a0a0，且，且a1a1，M0M0，那么，那么 等于什么？等于什么？lognaM两数积的对数，等于各数的对数的和；两数

12、积的对数，等于各数的对数的和；两数商的对数，等于被除数的对数减去两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数；除数的对数；幂的对数等于幂指数乘以底数的对数幂的对数等于幂指数乘以底数的对数实际迁移实际迁移例例1 1 用用logaxlogax，logaylogay，logazlogaz表示以下表示以下 各式：各式： ; (2) . ; (2) . logaxyz23logaxyz31 log 23例例2 2 求以下各式的值：求以下各式的值： (1) log2(1) log247472525； (2) lg (2) lg ；(3) log318 -log32 (3) log318 -log32 ；

13、(4) .(4) .510031 log 23例例3 3 计算：计算： 8log3136. 0log2110log3log2log255555小结作业小结作业: :性质的等号左端是乘积的对数，右端是性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是对数的和，从左往右看是个降级运算个降级运算. .性质的等号左端是商的对数，右端是对性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个晋级运算往左是一个晋级运算. .性质从左往右依然是降级运算性质从左往右依然是降级运算利用对数的性质可以使两正数的积、利用对数的性质可以使两正数的积、

14、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求差运算，大大的方便了对数式的化简和求值值. .作业：作业： P68练习：练习：1, 2，3.P74习题习题2.2A组：组：3,4,5.2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第三课时第三课时 换底公式及对数运算的运用换底公式及对数运算的运用 问题提出问题提出.1 1 2 2 3 3loglognaaMnMlogloglog ()aaaMNM NlogloglogaaaMMNN1 1 ; ; 2 2 ; ; 3 3 . .log1aa log 10alogaNaN1.1.

15、对数运算有哪三条根本性质？对数运算有哪三条根本性质？2.2.对数运算有哪三个常用结论？对数运算有哪三个常用结论？ 3. 3.同底数的两个对数可以进展加、减同底数的两个对数可以进展加、减运算，可以进展乘、除运算吗？运算，可以进展乘、除运算吗？ 4.4.由由 得得 ，但这只，但这只是一种表示，如何求得是一种表示，如何求得x x的值？的值？ 181.0113x1.0118log13x 知识探求一：对数的换底公式知识探求一：对数的换底公式 思索思索2:2:他能用他能用lg2lg2和和lg3lg3表示表示log23log23吗？吗？ 思索思索1:1:假设假设 ，那么，那么 ，从而有从而有 . .进一步可

16、得到什么结论？进一步可得到什么结论？ 22log 5log 3x222log 5log 3log 3xx35x思索思索4:4:我们把我们把 a0a0，且，且a1a1；c0c0，且，且c1c1；b0b0叫叫做对数换底公式，该公式有什么特征？做对数换底公式，该公式有什么特征？logloglogcacbba思索思索3:3:普通地，假设普通地，假设a0a0，且，且a1a1；c0c0，且，且c1c1；b0b0，那么，那么 与哪个对与哪个对数相等？如何证明这个结论？数相等？如何证明这个结论？ loglogccba思索思索6:6:换底公式在对数运算中有什么意换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？义和作用？

17、 思索思索5:5:经过查表可得任何一个正数的常用经过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求对数，利用换底公式如何求 的值？的值？ 1.0118log13知识探求二：换底公式的变式知识探求二：换底公式的变式 思索思索1: 1: 与与 有什么关系？有什么关系？ logablogba思索思索2: 2: 与与 有什么关系？有什么关系？ lognaNlogaN思索思索3: 3: 可变形为什么？可变形为什么？ (log) (log)aaMN实际迁移实际迁移 例例1 1 计算：计算： (1) (1) ; ; (2) (2)log2125log2125log425log425log85)log85

18、) log52log52log254log254log1258log125832log9log278作业：作业：P68 P68 练习：练习：4.4.P74 P74 习题习题2.2A2.2A组：组： 6 6，1111，12.12.2.2.1 2.2.1 对数与对数运算对数与对数运算 第四课时第四课时 对数运算习题课对数运算习题课 知识回想知识回想.logbaaNbN(1) log1aa (2) log 10alog(3)aNaN1.1.指数与对数的换算指数与对数的换算: :2.2.对数运算的三个常用结论对数运算的三个常用结论: :(3) loglognaaMnM(1) logloglog ()a

19、aaMNM N(2) logloglogaaaMMNN3.3.对数运算的三条根本性质对数运算的三条根本性质: :4.4.对数换底公式对数换底公式: :logloglogcacbba实际迁移实际迁移55(1) 2 log 10log0.25127(2) log81例例1 1 求以下各式的值求以下各式的值: :41291(3) log 8log 3log42lg5)lg2 lg50(4)（lg 27lg8 3lg 10(5)lg1.2 2 243 -2 -2 1 132例例2 2 知知 ，求，求 的值的值. .a12log324log3312a例例3 3 设设 ，知，知 , , 求求 的值的值.

20、.35abm112abm15 例例4 204 20世纪世纪3030年代，里克特制定了一种年代，里克特制定了一种阐明地震能量大小的尺度，就是运用测震仪阐明地震能量大小的尺度，就是运用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越仪记录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们这就是我们常说的里氏震级常说的里氏震级M M，其计算公式为，其计算公式为M MlgAlgAlgA0. lgA0. 其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A0A0是是“规范地震的振幅运用规范振幅是为了规范地震的振幅运用规范振幅是为了修正测震仪距实践震

21、中的间隔呵斥的偏向修正测震仪距实践震中的间隔呵斥的偏向. .1 1假设在一次地震中，一个间隔震中假设在一次地震中，一个间隔震中100100千米的测震仪记录的地震最大振幅是千米的测震仪记录的地震最大振幅是2020，此，此时规范地震的振幅是时规范地震的振幅是0.0010.001，计算这次地震，计算这次地震的震级准确到的震级准确到0.10.1； 4.3 4.3 20 20世纪世纪3030年代，里克特制定了一种阐明年代，里克特制定了一种阐明地震能量大小的尺度，就是运用测震仪衡量地震能量大小的尺度，就是运用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线

22、的振幅就越录的地震曲线的振幅就越. . 这就是我们常说这就是我们常说的里氏震级的里氏震级M M，其计算公式为，其计算公式为M MlgAlgAlgA0. lgA0. 其中其中A A是被测地震的最大振幅，是被测地震的最大振幅，A0A0是是“规范规范地震的振幅运用规范振幅是为了修正测地震的振幅运用规范振幅是为了修正测震仪距实践震中的间隔呵斥的偏向震仪距实践震中的间隔呵斥的偏向. .2 25 5级地震给人的震感已比较明显，计算级地震给人的震感已比较明显，计算7.67.6级地震的最大振幅是级地震的最大振幅是5 5级地震的最大振级地震的最大振幅的多少倍准确到幅的多少倍准确到1 1. . 398 398 例

23、例5 5 生物机体内碳生物机体内碳1414的的“半衰期半衰期为为57305730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳出土时碳1414的剩余量约占原始含量的的剩余量约占原始含量的76.776.7，试推算马王堆古墓的年代，试推算马王堆古墓的年代. . 2193 2193,lg) 2(lg)(2bxaxxf思索题思索题: :设函数设函数知知 且对一切且对一切 恒成立，求恒成立，求 的最小值的最小值. ., 2) 1(f,Rxxxf2)()(xf2.2.2 2.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质第一课时第一课时 对数函数的概念与图象对数函数的概念与图象 问题提出问题提出

24、1. 1.用清水漂洗含用清水漂洗含1 1个单位质量污垢的个单位质量污垢的衣服，假设每次能洗去污垢的四分之三，衣服，假设每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数试写出漂洗次数y y与残留污垢与残留污垢x x的关系式的关系式. . t57301p2 2. 2. x0 x0是函数吗？假设是函数吗？假设是，这是什么类型的函数？是，这是什么类型的函数？14logyx知识探求一：对数函数的概念知识探求一：对数函数的概念 思索思索1:1:在上面的问题中，假设要使残留在上面的问题中，假设要使残留的污垢为原来的的污垢为原来的 ，那么要漂洗几次？，那么要漂洗几次？ 641思索思索2:2:在关系式在关系式 中，取中

25、，取 对应的对应的y y的值存在吗？怎样计算？的值存在吗？怎样计算？ 14logyx(0)xa a思索思索3:3:函数函数 称为对数函数，称为对数函数，普通地，什么叫对数函数？普通地，什么叫对数函数？ 14logyx思索思索4:4:为什么在对数函数中要求为什么在对数函数中要求a a0 0， 且且alal？ 思索思索5:5:对数函数的定义域、值域分别是对数函数的定义域、值域分别是什么？什么？思索思索6:6:函数函数 与与 一样吗？一样吗？为什么？为什么？ 23logyx32logyx思索思索1:1:研讨对数函数的根本特性应先研研讨对数函数的根本特性应先研讨其图象讨其图象. .他有什么方法作对数函

26、数的图他有什么方法作对数函数的图象？象？知识探求二：对数函数的图象知识探求二：对数函数的图象 思索思索2:2:设点设点P(mP(m，n)n)为对数函数为对数函数 图象上恣意一点，那么图象上恣意一点，那么 ，从而，从而有有 . .由此可知点由此可知点Q Qn n，m m在哪个在哪个函数的图象上？函数的图象上？logayxloganmnma思索思索3:3:点点P(mP(m，n)n)与点与点Q(nQ(n，m)m)有怎样的有怎样的位置关系？由此阐明对数函数位置关系？由此阐明对数函数 的图象与指数函数的图象与指数函数 的图象有怎样的图象有怎样的位置关系？的位置关系？ logayxxyaPQxyo思索思索

27、4:4:普通地，对数函数的图象可分为普通地，对数函数的图象可分为几类？其大致外形如何？几类？其大致外形如何？ yx011xy011思索思索5:5:函数函数 与与 的图象分别如何？的图象分别如何？ 2|log|yx2log |yxa1a10a10a0,a1);a0,a1);4 4log75log75，log67.log67.实际迁移实际迁移 例例2 2 求以下函数的定义域、值域：求以下函数的定义域、值域： (1) y(1) y ； (2) y(2) ylog2(x2log2(x22x2x5). 5). 31 log (1)x例例3 3 溶液酸碱度的丈量溶液酸碱度的丈量: : 溶液酸碱度是经过溶液

28、酸碱度是经过pHpH描写的描写的. pH. pH的计算公式为的计算公式为pHpHlgH+lgH+，其中，其中H+H+表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升尔升. .1 1根据对数函数性质及上述根据对数函数性质及上述pHpH的计的计算公式，阐明溶液酸碱度与溶液中氢算公式，阐明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；离子的浓度之间的变化关系；2 2知纯真水中氢离子的浓度为知纯真水中氢离子的浓度为H+H+10107 7摩尔升，计算纯真水的摩尔升，计算纯真水的pH.pH.作业：作业： P73 练习：练习：3 P74 习题习题2.2B组：组：1， 2，3.第三课时第三

29、课时 指、对数函数与反函数指、对数函数与反函数 2.2.2 2.2.2 对数函数及其性质对数函数及其性质问题提出问题提出 设设a a0 0，且，且a1a1为常数，为常数， . .假设假设以以t t为自变量可得指数函数为自变量可得指数函数y yaxax，假设，假设以以s s为自变量可得对数函数为自变量可得对数函数y ylogax. logax. 这两个函数之间的关系如何进一步进展这两个函数之间的关系如何进一步进展数学解释？数学解释？tas知识探求一：反函数的概念知识探求一：反函数的概念 思索思索1:1:设某物体以设某物体以3m/s3m/s的速度作匀速直线运的速度作匀速直线运动，分别以位移动，分别

30、以位移s s和时间和时间t t为自变量，可以得为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数一样吗？到哪两个函数？这两个函数一样吗？ 思索思索2:2:设设 ，分别，分别x x、y y为自变量可以为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数一样吗？得到哪两个函数？这两个函数一样吗？ 2xy思索思索3:3:我们把具有上述特征的两个函数我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数，那么函数互称为反函数，那么函数y yaxaxa a0 0，且且a1a1的反函数是什么？函数的反函数是什么？函数 的反函数是什么？的反函数是什么？ 21yx思索思索4:4:在函数在函数y yx2x2中，假设将中，假设将y y作自变作自变量，那么量，那么x x与与y y的对