矩阵论论文旋转矩阵在机器人运动学中的应用

1、旋转矩阵在机器人运动学中的应用摘要：旋转矩阵是机器人学的重要的数学工具，在机器人运动学中应用甚广，非常适合机器人的机构描述与运动学分析。在介绍有关性质的基础上，本文还给出了部分算例，可为机器人学科的教学与科研提供有一的支持。关键词：旋转矩阵 机器人 运动学 引言：机器人机构的运动学和动力学分析涉及到各个关节的空间位置和姿态以及关节之间的空间关系。矩阵的旋转变换不仅仅应用到机器人上，还涉及到了很多领域，比如彩票，再次不对此进行深入分析。正文：首先介绍下机器人坐标系统，刚体运动是指物体上任意亮点之间距离保持不变的运动，机器人运动学、动力学及其控制，实质上就是研究刚体运动的问题。其次介绍下几个概念：

2、位置和姿态：要全面的确定一个刚体在三位空间的状态就需要有三个位置的自由度和三个姿态自由度。刚体姿态的描述可以是用：横滚、俯仰和侧摆来实现，我们将物体的六个自由度的状态成为物体的位姿。刚体运动的坐标表示：早在19世纪初期，Chasles已经证明：刚体从一位置到另一位置的运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到。在基坐标系B和手坐标系H的原点补充和，且姿态也不同的情况下r0,r,rp,R的含义如下图： ： 规定一个过度坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B保持一致。可得到rp=ro+rc=r0+Rr.齐次坐标变换：在此我们不再介绍齐次坐标的由来，由齐次坐标得到的上面r到r

3、p的变换的表达式为：T矩阵为齐次变换矩阵，建成齐次矩阵。齐次矩阵T是个4x4的矩阵，一般的能够用来表示平移、旋转、伸缩的变换。可以把T的4部分表示为：其中R3x3是表示两坐标系间的旋转关系的旋转矩阵，f1x3矩阵表示沿3根坐标轴的透视变换，f3x1=a b c的转置，表示两坐标系间的平移，右下角的演艺元素矩阵k1x1为使物体产生总体变换的比例因子，在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1，征缴变换都是线性变换，故其次变换是用其次平移变换也可以解释为两个向量之和。坐标表示的现行变换。矩阵的平移变换：旋转矩阵的一些性质如下：两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:

4、从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的 是单位矩阵。 一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是 1；如果行列式是 1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成 的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。二维的旋转矩阵如下：旋转矩阵：根据直角坐标和其次坐标系，易得1：绕X轴旋转一个相应的旋转变换是： 2：绕Y轴旋转的一个相应的旋转变换是：3：绕Z轴旋转的一个相应的旋转变换是：在此我们应用的绕Z轴旋转的变换比较多。现例举一个实际应用的例子来具体阐明旋转

5、矩阵在机器人运动学中的应用。在此，我们阐明下工业机器人运动学描述方法-D-H法的约定如下：（i-1）与i的几何齐次坐标变换矩阵i-1Ti 沿坐标轴Xi-1平移变换ai-1 绕变换后的（i-1）的Xi-1轴旋转变换i-1 沿变换后的Zi-1轴平移ci 绕变换后的Zi-1轴(即Zi轴)轴旋转变换i按照D-H约定其运动功能矩阵为：具体例子：如下是一个机器人的坐标选取，其中坐标系的选取已经画好，现在写出其变换矩阵，即末端执行器位姿矩阵。Z2Z0, Z1l2X3,X4Z3,Z4ZmXmX0, X1l3l1X2解：从所得到的结果我们可以直观的看出，机器人只有在Z轴方向的旋转，并没有在X、Y方向旋转，根据矩

6、阵的第4列可以看出，其在X、Y、Z方向上均有位移。总结：旋转变换矩阵可以很方便的用来描述坐标系的空间位姿，如果在物体上固定一个坐标系，则他的位置和姿态也很容易得到描述。变换可以被解释为转动和移动变换的成绩，从左至右的解释与从右至左的解释是不同的，他与移动所相对的坐标系紧密相连。如果用方向余弦法、欧拉法等对多关节机器人进行运动学分析描述的话，则推导过程会十分繁琐冗长的，且不够直观明了。相比之下用旋转变换是较为简捷、方便、有效的描述工具，在机器人运动学研究中起着很重要的作用。 从学科的角度来讲，世界上公认为数学是所有学科的基础，因而是最美妙的一门科学，也吸引着全世界最聪明的人加入其中。而作为这门学科的基础，矩阵论是探索这门学科的最有效工具。认识总是随着时间和已有知识的积累在不断修正，我对矩阵论的认识也大致如此。从一开始的认为只能解线性方程，到如今发现它的几乎无所不能，我想我收获到的不仅仅是这种简单的知识，更是一种世界观，那就是对所有的事物都不要轻易地下定论。同时，当我们知道的越多，就会发现未知的东西越多。作为一门已经发展了一百多年的学科，我对矩阵论的认识只是沧海一粟，可能唯有终身学习，不断探索，才可能真正领悟到其中之真谛，我亦将为此付诸行动。参考文献：1.安杰利斯：机器人机械系统原理：理论、方法和算法，机械工业出版社，2004.82.黄玉美等：机械制造装备设计，高