椭圆和双曲线地离心率地求值及范围问题

1、椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】c / b2cje 二 a二1-a2（0eb 0）的右焦点为4直线l : 3x 4y = 0交椭圆E于A B两点.若| AF + I BF = 4,点M到直线l的距离不小于-,5则椭圆E的离心率的取值范围是（）2 2x y例4.（2014 江西）设椭圆C： -+ 2= 1（ab0）的左，右焦点为 F1, F2,过F2作x轴的垂线a b与C相交于A, B两点，RB与y轴相交于点 D若AM F1B,则椭圆C的离心率等于 【跟踪练习】2 2x y1. （2015 浙江）椭圆孑+1（ a b0）的右焦点bF（c, 0）关于直线y = -X的对

2、称点Q在椭C2.已知椭圆=1（ab0）与双曲线2 2x y2 2m n=1(m0,n0）有相同的焦点(c, 0)和(c, 0),圆上，则椭圆的离心率是 若c是a、m的等比中项，n2是2ni与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）A.B.1C. 4 D.2 2x y3. 已知椭圆孑+詁=1（ ab0）的左、右焦点分别为F1（ c, 0）、F2（c, 0），若椭圆上存在点Pasin / PFF2csin / PER则椭圆的离心率的取值范围为2 2A,与另一条4. 过双曲线x b2= 1（a0, b0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点渐近线交于点B,若FB= 2FA则此双曲线的离心率为（）A.

3、 2 B. 3 C . 2 D. 52 25. （2015 山东）过双曲线C： x2 y2= 1（a0, b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线, a b交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为6.（2015 湖北）将离心率为e1的双曲线C的实半轴长a和虚半轴长b（az b）同时增加n（m0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线G,则（）A.对任意的a, b, e1b 时，e1e2;当 a62C.对任意的a, b, e1e2D.当 ab 时，e1e2 ；当 a0, b0）.矩形ABCD勺四个顶点在a bE上，AB, CD的中点为 E的两个焦点，且 2|AB=3| BQ，贝U E的离心

4、率是 .2 28 （2015年高考）过双曲线C： x2 一 y2. =1（a 0,b 0）的右焦点作一条与其渐近线平行的 a a直线，交C于点P .若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .9、（齐鲁名校协作体 2016届高三上学期第二次调研联考）设直线x 3y + m= 0（ m 0）与双2 2x y曲线-5= 1（a 0, b0）的两条渐近线分别交于点 A, B若点Rm 0）满足I PA =丨PB , a b则该双曲线的离心率是（）(A)2(B)5(C)2(D)10、（东营市、潍坊市2 22016届高三高三三模） 已知F1、F2为椭圆-2 = 1 a b 0的a b左、右焦点，以原点O为圆心

5、，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为B，若 ABFi为等边三角形，则椭圆的离心率为（A.,2-1D. 士311、（济宁市2016届高三上学期期末）已知抛物线y2= 2x的焦点到双曲线2 x2 a2y2 =1 a 0,b0的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为5A.2.23B.少 C帀 D.32、3903912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线2x2a2yb2=1 a 0,b0的左焦点是F -c,0，离心率为e,过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆x2 y2二c2在y轴22右侧交于点P,若P在抛物线y =2cx上，贝U e =A. 5c. .,

6、5-1= 2py p 0的焦点，F1是13,（烟台市2016届高三上学期期末）设点 F是抛物线 :x22 2双曲线。：牛-占=1 a 0,b0的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线与双曲线a bC的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为c. 981,4、（青岛市2016高三3月模拟）已知点2 2F1, F2为双曲线 C : 2y? = 1 a 0,b 0 的a b=FF2 b0)的左、右焦点分别为 R、F2,过F2的直线交椭圆于P, Q两点，且PQL PF.P(1)若| PF| = 2+寸2, | PF2| = 2羽，求椭圆的标准方程； 若| PQ =入| PF|，且入v4,试

7、确定椭圆离心率 e的取值范围.答案部分：2 2例1【解析】如图，设双曲线 E的方程为a-2= i（a0, b0）,曲线的对称性，可设点 MX1, yi）在第一象限内，过 M作MNLx轴于点为等腰三角形，且/AB= 120 ,.|BM = | AB = 2a,/ MB= 60,./ MB= 2asin 60=寸3a, xi=|OB +1 BN| = a + 2acos 60 = 2a将点则| AB = 2a,由双N(X1, 0) , ABMy1=|MN =|BMSinMx1, y1)的坐标代2b?= 1，可得a2 = b2，-2 2c a + b”e= a=：一a2 = 2，选 D.例2【答案】

8、A例3如图，设左焦点为Fo,连接FoA, FoB,则四边形 AFBF为平行四边形.| AF + |BF = 4,| AF + | AF| = 4, a= 2.4b 4设 M0 , b)，则 5, 1 w bv 2.c离心率e=a2 2a b2 a4 b2-r *0,故选A.2例4.直线AB x= c,代入利占=1,得 y= 72 2bb A(c, 2), B(c， a).b2b20 aa kBF =-=c ( c)2cb!2ac.直线 BF： y 0 = 2b-(x+ c). 2ac令 x= 0，贝U y=b22a,5,- 2a),a + 2a3b2kAD=c2ac由于ADL BF,b22ac

9、聲=-1,4,222、c) = 2ac, 3b = 4a c ,即一 3( a2 S3b = 2ac, 3e2+ 2e 3 = 0,24-4X3X (-羽)2 4 e=2 3= T3 -c 2 + 42J3-e=3 = 23=亍.【跟踪练习】1,答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为 Fi( c, 0)，如图，连接QF, QF设QF与直线yCx交于点M由题意知 M为线段QF的中点，且 OML FQ又O为线段FiF的中点, FiQ/ OM二 FiQ丄 QF| FiQ = 2| OM在 Rt MOI中, tan / MOF= OM= b I F = c,| OM c可解得 |OM = , | mf =

10、 bc, aa2故|QF = 2|MF =晋，|QF| = 2|OM = 2c2bc 2c2由椭圆的定义得|QF +|QF| = v+T 整理得 b = c,. a= b2 + c2= 2c,故FQ的中点坐标y2 ,kFQ = X，依题意yo b i 2 = c上Xo CXo+ C2 ，2 2、c(2 c a)Xo=2,解得222、2,4c(2c a) , 4c”所以76+ 4 = 1 ,ac令 e=，贝U 4e6 + e2= 1,a离心率6 a又因为(Xo, yo)在椭圆上,2解析 在双曲线中mi+ n2 = c2,又2n2= 2m+ c2,解得n= |，又c2= am,故椭圆的离心率 ec

11、 1 a= 2.3依题意及正弦定理,得rpFFT = a(注意到P不与Fl, F2共线), 丨 PF| c2afPFjc 2a+ 1a a+ cIPRI = a 2a | PF| = c,2ac1 = _I P冋a (e+ 1)22.又 0e1，因此 2 1e1.4解析如图,/ FB= 2FA A为线段BF的中点,/ 2=Z 3.又/ 1 = Z 2,aZ 2= 60b5= tan 60 = %：3,-e2= 1 + (5)2 = 4,e = 2.答案 C2r八A x5.把 x= 2a 代入 52 22y2= 1得 y=3b.不妨取P（2a,3b） 又双曲线右焦点 冃的坐标为（c,0）, kF

12、?P= 坞.由题意，得洱=Pc 2ac 2a a- （2 +宀?3） a= c. 双曲线 C的离心率为e = a= 2+;：；36./b2/( b+ n)2 十丄、入八 ”,口 b b+ m/口ei =1 + -2, e2 = ：. ：12.不妨令 eie2,化简得一0)，得aj (a+ ma a+ mb b+ mb b+ m所以当ba时，有一r，即eie2；当ba时，有一 ，即卩eie2.故选a a+ ma a+ mbrKam 得 b1),故双曲线的离心率黄 a ?qa02+J5.考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y = bx，易求得渐近线与直线

13、x- 3y +哙0的交点为am bm a+ 3b，a+ 3b， B a 3b，” 2a mam ab .设AB的中点为 D.由|PA = |PB知AB与DP垂直，则3b2m、k =3a+ 3b)( a 3b) ，(a+ 3b)( a 3b)， DP ，2 2解得a = 4b ,故该双曲线的离心率是_52 .屁110B,11.B 12.D 13 D 14.15.A 16.解(1)由椭圆的定义，2a=|PF| + | PF2| = (2 + 边)+ (2 -迄)=4，故 a= 2. 设椭圆的半焦距为 C,由已知PF丄PF2,因此 2c = IF1F2I *| PF|2+ | PFf=.(2 +2)

14、2+ (2 - , 2)2= 2 3,即 c= 3,从而 b= a2- c2= 1.2故所求椭圆的标准方程为 X+y2= 1.4如图，连接FQ由PF丄PQ| PQ = X | PF|，得|QF| =PF| 2+ | PQ2T + 入2 ipfi.由椭圆的定义,|PF| + |PB|= 2a, |QF| + |QF| = 2a, 进而 |PF| + |PQ + |QF| = 4a,于是(1 + X +、J1 + X )| PF1| = 4a,解得| PF| =4a1 + X + ,;1+ X2?故| PF = 2a-1 PF| =2a( X +1+ X 2- 1)1 + X + . 1 + X 2由勾股定理得2 2 2 2 2| PF| + | PF2| = | F1F2| = (2 c) = 4c ,