深究结构参量变化时弹性机构特征

1、深究结构参量变化时弹性机构特征 现代科技的发展,要求我们设计出更快、更轻、更准的高性能机器。弹性机构动力学研究正是为实现这一设计目的而开展的。弹性机构的设计过程就是选择适当的机构结构、截面及材料等方面的参数以满足其运动和动力设计要求。目前在这类机构的设计研究中,一般都是将以上三种设计参量分开来独立进行研究的,其中,截面参数在以前的设计中被广泛取为设计变量14,这在以机构重量最小为目标的弹性机构设计中取得了较好的效果。文4、5讨论了材料参数对弹性机构动力特性的影响,并指出它是在弹性机构设计中应当考虑的重要因素。然而,结构参量在机构弹性动力学中的作用却研究得很少,文6、7虽然涉及结构参量问题,但它

2、对弹性机构动态特性的潜在影响却未能表现出来。显然,对于高性能弹性机构设计来说:截面参量,材料参量和结构参量三个方面是十分重要的基本因素,高质量的设计过程中应同时包含此三方面变量。根据不同设计要求合理选择三种参数,使机构性能最佳,这正是新型高性能弹性机构设计的发展方向。当然,要实现这样复杂的设计是比较困难的,因此,首先深入了解这些参量与机构弹性动力性能之间的内在关系是十分必要的,这对高水平的设计过程有重要的指导作用。在此方面,文8已经作出了初步成绩,它从参量振动频率响应角度研究了平面曲柄滑块机构弹性动力特性的变化及其规律,较有新意,但在模型建立、简化条件和理论分析等方面还不够深入。显然,多弹性杆

3、的一般机构参变特性研究更具有普遍意义。 本文从改变机构结构参量入手,研究一般平面弹性机构本征特性的变化规律。首先以4R机构为例,根据其结构参量的不同改变情况,分杆了此弹性机构的前三阶固有频率以及机构各杆中最大动应力值等特性指标的动态响应,然后从理论上对此变化规律进行了解释,给出了机构固有频率与结构参量之间的内在关系,从面揭示了结构参变弹性机构的本征特性,为高性能弹性机构设计提供了重要的理论依据。 1动态响应 首先对一机构实例进行分析,观察弹性机构动态特性指标,如固有频率和动应力等,因机构结构参量改变而引起的动态响应。根据有限元方法可能将此机构分为5个单元,每个单元有8个结点弹性位移变量,整个机

4、构共有18个广义弹性位移变量u1u18。根据本文前述宗旨,此机构的杆件材料及截面参量都不作为设计变量,因而在下面的弹动力分析中均视为常数。机构中各杆均为铝材,其密变为2710kg/m3,弹性模量为71GN/m2,阻尼系数为0.03。各杆截面均为圆形,直径分别为:d1=1.9mm,d2=1.1mm,d3=1.0mm。机构结构参数为参变量,其初始值选为:l10=108mm,l20=279.4mm,l30=270.5mm,l40=254.0mm。表1所列为这个参量的各种变化形式。在机构曲柄(杆1)以500r/min等速运转条件下,运用弹性机构动力学分析方法9,可以得出在一个运动循环内此机构前三阶固有

5、频率fi(i=1,2,3)的变化曲线,和相应的各杆的最大动应力j(j=1,2,3)及其中的最大值max的响应曲线。为了便于说明问题,这里给出了几种典型情况如图2图5所示。为了进一步说明问题,把各种情况下的重要特性评价指标,如机构各价固有频率的平均值fai(i=1,2,3)和最小值fmin。各杆及机构中的最大应力值jmax(j=1,2,3)和其中最大值max等一并列于表2中。从表2中的数据及图中曲线变化的情况可以明显看出,机构各阶固有频率随着机构结构参数的增加而降低,而机构中最大动应力的响应则正好相反,即随着结构参数的增加而增加。改变机构中不同杆件的结构参量所得到的机构动态响应在固有频率和动应力

6、上的表现有所不同,而以第5种状态下的响应最强烈,图2图5正好说明了这点。另外,机构各阶固有频率在机构弹性动力特性上所起的作用也有较大差别。所有这些现象被揭示出来,无疑对在进行弹性机构设计时优选结构参量是有重要指导意义的,但要解释这些现象并总结出其规律还需要从理论上进一定深入分析。 2本征特性分析 现在从频率分析角度研究弹性机构结构参量与其特性之间的关系。根据机构弹性动力学分析可知9,机构中某一单元或杆件的动力学方程可表示为m+(k)u=p(1)式中,m、k分别为此单元的质量和刚度矩阵,u为弹性位移向量;是其加速度向量;p为单元所受外载,其中包括惯性力作用。此单元的固有频率e可由方程(1)的特征

7、根求得为det(eI-k-1m)=0e=1/2e(2)这说明单元固有频率是由其质量和刚度矩阵决定的。当杆件轴向弹性位移很小时有9m=Al(la)kEJ(1/l3)lb(3)式中,和E分别为杆件材料的密度和弹性模量,A和J分别为单元的截面面积和惯性矩;(la)和(lb)是两个仅与单元长度l有关的相似矩阵,两者中各对应项l的次数完全相同。因此,由式(2)、(3)不难推出下面关系式10。eJ/AE/(1/l2)(4)式(4)明确表示了机构某单元固有频率与其各种参量之间的定性关系,其中,前两部分J/A和E/分别表示单元的截面参数和材料参数,在本文中这两种参数是固定不变的,因此,式(4)可进一定简化为e

8、1/l2(5)这说明,单元固有频率变化与其结构长度的平方成反比关系。 对于整个机构来说,其弹性动力学方程为(M)U+(K)U=P(6)它与式(1)形式相同,只是用大写字母表示式(1)相应的整个机构系统的参量。所以,机构固有频率由式(6)的特征根确定为det(I-K-1M)=0=1/2(7)显然,机构固有频率是由其系统质量和刚度矩阵M和K决定的。而此M、K又是由各单元矩阵M、K通过装配组成的,因此,机构的固有频率特性是由各单元固有频率所决定的。所以,可以推断,机构固有频率与其截面、材料和结构参量之间存在着与式(4)、(5)相似的内在定性关系。对于本文研究的情况,就是机构固有频率的变化与其结构参数

9、的平方成反比关系。这种内在关系揭示了弹性机构的本征特性。 下面通过对数值结果的再分析进一步阐明结构参变弹性机构的本征特性。首先,在前三种结构参量改变状态中,虽然在总体上都表现为固有频率随结构参数反变而动应力随结构参数正变的总规律,但各种状态下的响应程度却各不相同,这种现象产生的主要原因是各杆结构参数或固有频率在整个机构系统的固有频率中所占的比重不同,因而所起的作用也不同。在仅某一单元结构参数变化时,机构频率响应的总效应不能像单元本身那样符合式(5)的规律,而直接反应在整个机构上。尽管如此,在这几种状态下,机构动态响应总趋势还是符合理论分析规律的。其中,在与之相对应的第5种状态下,机构中各单元结

10、构参量同时增加或减小,使得机构固有频率各组成部分同时改变,因而整个机构的频率响应最为强烈,如图2图5所示。下面讨论一种特殊情况,即将机构中各杆按同一比例增加,使显然,由式(8)可知:l/l0=1.1,所以,(l/l0)2=1.21。这结果正好与前面的频率比值0/相同,即式(9)成立。因此,这就从数值上检验了理论分析结论式(5)的正确性。 另外,在第4种状态下,仅仅改变机构机架参数。但由机构动力方程式(6)和式(7)的组成中可知,机架参数并不直接影响机构的质量和刚度矩阵,因此,对机构固有频率也没有直接作用,它的改变仅仅是稍微改变一下机构的位形。因此,机架参量的改变不会对机构特征产生什么作用。从表

11、2中的数值可以直接看出,这是5种状态下响应最弱的情况。这一结果说明,在弹性机构设计中,根据需要可适当改变机架参数,而不会对机构固有频率等特征有大的影响。下面再从应力指标角度进一步分析。表2中的数据及图5都表明弹性机构的动应力随着结构参量的增加而增加,这是因为机构固有频率随结构参量的增加而降低。这时,从方程(6)可知,机构刚度下降,质量略增,其总效应是机构变软。因此弹性变形和应力必然增高。这种结果正好与前面的频率分析结论相符,也进一步说明了弹性机构结构参量与其动力特性之间的内在联系。将有关频率响应结果与应力结果相比可以发现,机构第一阶固有频率(基频)的变化规律与机构应力的变化情况是基本对应的(图2与图5),而第二、第三阶频率的响应则与应力变化相差较远(图3、图4、与图5)。基频的增减变化带来了应力上的响应,这说明基频在弹性机构固有频率中占有主导地位,它在很大程度上决定了机构的动力性能,而高阶频率的作用是很小的。也正因为如此,机构固有频率的最低值就成为一个非常重要的指标,而需要特别注意(见表2中fmin)。在此值附近,机构特性处在一种临界状态,此时有可能发生象弹性共振等现象,在机构设计中应尽量避免。 3结论 以上从数值计算和理论分析两方面探讨了弹性机构的结构参量与其本征特性之间的内在关系,可得出如下结论:(1)机构结构参量是弹性机构的重要设计变量之一,它的改变将