反常积分法的收敛判别法

1、2反常积分的收敛判别法反常积分的Cauchy收敛原理下面以y（x）dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。由于反常积分兀皿收敛即为极限lim Cfdx存在，因此对J aA400 J a其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的Cauchy收敛原理，它可以 表述为如下形式：2反常积分的收敛判别法反常积分的Cauchy收敛原理下面以7（x）为例来探讨反常积分敛散性的判别法。由于反常积分兀）dx收敛即为极限lim A fx）dx存在，因此对J aJ ci其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的Cauchy收敛原理，它可以 表述为如下形式：定理& 2.1 （Cauchy收敛原理） 反常积分f（x）dx收敛的充 分

2、必要条件是:对任意给定的$ 0，存在人 m 使得对任意人理 4。, 有fx）dx o,由于jfVid尢收敛，所以存在人,得对任意Ao,成立I /(x) dx sf 3)clx I /(x)l dx利用定积分的性质,得到由Cauchy收敛原理，可知广f (x)dx收敛。虽然Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件， 但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一 些便于使用的收敛判别法。我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。非负函数反常积分的收敛判别法 定理8.2.2 (比较判别法)设在S,+oo)上恒有0 /(x) K(p(x),其中K是正常数。则(1)当厂cp(

3、x)dx收敛时J f (x)dx也收敛;(2 )当J f (x)dx发散时cpx)dx也发散。例82.1讨论广需氷的敛散性(。是常数)。解因为当兀nl时有cos 2% sin xyjx3 + a2在例8.1.2中，已知r-dx收敛，由比较判别法，gsing绝 xQxW+q2对收敛，所以广cos25%收敛。注意:在以上定理中,条件“在a,+ 8)上怛有0 /(x) a 9在4,+ oo)上怛有0 f(x) 0和 （px） 0 9 且lim = I,fK0 0（兀）则（1）若 0 / 4-co ,则 J （px）dx 收敛时 J f（x）dx 也收敛；（2）若0/ +8 9 则0（x）dx发散时8

4、 f（x）dx也发散。所以,当OvZv+8时,广换兀）dx和广于（兀皿同时收敛或同时发散。证若lim公LECO 0(兀)/ a ,当xA时成立 管,即/W (/+ 1)0(无)O于是，由比较判别法,当8p(x)dx收敛时8y也收敛。证若陀話则存在常数心，当宀时成立0（兀）/（兀）（忙也收敛。(2)若 lim 四=/0,X卄0 0(兀)存在常数Aa,使得当4时成立其中or lg）。于是，由比较判别法，当8於皿发散时厂M）dX也发散。例& 2. 2解因为讨论1#兀4 + 3兀3 + 5兀2 + 2兀一 1dx的敛散性。limxT+oo/x4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1由于J去必收敛，所

5、以iVx4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1dx收敛。例& 2. 2解因为讨论1冯x。+ 3兀3 + 5兀2 + 2兀一 1心的敛散性。limxT+oo/x4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1由于J去必收敛，所以dx收敛。iVx4 + 3x3 + 5x2 + 2x -1将定理8. 2. 2中的(p(Q取为,就得到如下的Cauchy判别法: 定理& 2.3 (Cauchy判别法)设在S, + s)u(O, + 0o)上恒有 /(x) 0 , K是正常数。(1) 若 /(x) 1,则 f(x)dx 收敛；xpJa(2) 若 /(%) ,且pWl,则f(x)dx 发散。XpJd推论(Ca

6、uchy判别法的极限形式)设在q, + s) u (0, + s)上恒有 fMo,且lim xpf(x) = I)x+O(1) 0Z +co ,且 p1f(x)dx 收敛; 若 0 / +oo ,且 /? 1 ,则 f f (x)dx发散。J a推论(Cauchy判别法的极限形式)设在k, + oo) u (0, + s)上恒有 且lim xpf(x) = I ,XT+OO则(1) 若 0 / 则 J f (x)dx 收敛；(2) 若 0 / +oo ,且 /? +00证 设是任意给定的正数。(1)若Abel判别法条件满足，记G是lg(Q在S, + 8)的一个上界，因为?fWx收敛，由Cauc

7、hy收敛原理，存在Ao ,使得对任意由积分第二中值定理, irA, Ar Aq 9f(x)g(x)dx 电(绷：/(兀皿+|gI:f(x)dx G |J/(x)|+ GIJ f(x)dx a ,显然有a,当兀观时，有于是，对任意A,Af Ag ,J： f(x)g(x)dx |g(A)f (x)dx +|g(Az)|-|f(x)dx 2M g(A)l+2M I g I 0,存在50,使得对任意Z矿W (00)， 有：；f(Qdx 0,若当 兀属于b的某个 左邻域b-%,b）时，存在正常数心 使得（X）V ：）p 且PK(b- x)p)且 p 则 hfx)dx 发散。推论(Cauchy判别法的极限

8、形式)设在上恒有/(%)0 , 且hm(b-xyf(x) = l,xfb-则(1) 0Z +C0 5 且 p 1， 则f(x)dx收敛；若 0 I 1 ,则发散。定理825,若下列两个条件之一满足，则f(x)g(x)dx收敛： (Abel判别法)收敛，g(x)在a, Z?)_h单调有界； (2) (Dirichlet 判别法)F() = /O)dx在(0,b-上有界，g(x) 在a, b)上单调且lim g(x) = 0 oxTb例& 2.6讨论的敛散性（PeR+） o xp lnx解 这是个定号的反常积分，兀=0是它的唯一奇点。当 0p1时，取勺=丘（1，卩），则Xqlim = +00 ,x

9、to+ x/?|lnx 由Cauchy判别法的极限形式，十一发散。x p In x当P = 1时，可以直接用NewtomLeibniz公式得到f 1/eJodxxnxlim lnl In xll/L70+I=CO o因此，当0阳1时，反常积分收敛;x in x当卩n 1时，反常积分J：dxxp nx发散。例& 2.7讨论Jsin丄必的敛散性(p2)o 解 令于= -ysin-, g(x) = x2p。X X1=cos UJX1对于7 e (0,1),有f1 f(x)dx =丄 sin 丄 dr = _sin 丄 dJr7J7 JT 无比 X所以/(兀皿有界；而g(x)显然在(0,1单调，且时,

10、lim g(x) = lim x2/? = 0 oXT0+xT0+由无界函数反常积分的Dirichlet判别法，&sin%收敛。当pvl时，有11 1一sin 一 ,0 X xp由比较判别法，此时isin-dx绝对收敛。而利用例824类似的方法 X X可以得到,当12时，sindr条件收敛。 x1 x注 事实上，若对jjsinb作变量代换兀丄 就可将它化为 X1 Xtr+8 sinfJi 戸 dt,利用无穷区间反常积分的Dirichlet判别法，可以得到同样的结果。对两种类型反常积分并存（或多个奇点）的情况，应先将积分区 间适当拆分。例& 2. 8讨论厂x-plx 1P+Gdx的敛散性(p,q

11、 eR ) o解 因为兀=0和兀=1可能是被积函数的奇点，积分区间也无界, 所以将其拆成( 4-00 JC-P f 1dxr +codxh I兀一 ll+ 一(l_Q“+q +J1 xp- .(x-l )P+7 要使积分收敛，考虑奇点X = O,应要求p-;考虑奇点x = l, 应要求p+q1时积分收敛。所以，只有当喰同时满秋爲甘-时,积分+00dx才收敛。上一节中已经提到，在厂7（兀皿收敛的情况下，即使于在a+oo） 上斤次可微，也不能导出/d）在+8）有界的结论。作为反常积分 Cauchy收敛原理的一个应用，下面证明，只要把条件换成“ /（兀）一致 连续”（注意这个条件并不比“可微”强，两者是互不包含的），就 可以得到：例& 2. 9设广7（朗必收敛，且/在a,+oo） 致连续，则lim /（x） = 0 ox-+a）证用反证法。若当XT+8时于(朗不趋于零，则由极限定义，存在0,对于 任意给定的Xa,存在x0X,使得I/O。)In 5。又因为/(X)在a,+8)致连续，所以对于y 0,存在a,只要10-xl，就有1/(x0