直线圆的位置关系

1、普通高中课程标准实验教科书一 数学人教版高三新数学第一轮复习教案(讲座14)直线、圆的位置关系一. 课标要求：1. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2 .探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5 在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二. 命题走向本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、 直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何 中也会出现大题，多

2、考察其几何图形的性质或方程知识。预测2007年对本讲的考察是：(1) 一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；(2) 热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注 重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；(3) 本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。三. 要点精讲1 .直线11与直线12的的平行与垂直(1) 假设11, 12均存在斜率且不重合： 11/12 k1=k2 : 11 12k1k2= 1。(2) 假设 11 : A1X B1y C1 0, I2 : A2X B2y C2 0假设A1、A2、B1、B2都不为零。 11/12&邑

3、CL ；A2B2 C2 11 12A1A2+B1B2=0 ；11与12相交Ai旦AB211与12重合AB1GA2B2C2注意：假设A2或B2中含有字母，应注意讨论字母 =0与 0的情况。两条直线的交点：两 条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。2. 距离(1)两点间距离：假设 A(X1，yJ,B(X2，y2)，那么 AB 昆 xj2 (y? yj2特别地：AB/X 轴，那么 AB | x1 x2 |、AB /y 轴，那么 AB | y1 y2 |。(2 )平行线间距离：假设 11 : Ax By G 01 : Ax By C20那么：d IC； c22。注意点：x,

4、y对应项系数应相等。.A2 B2(3)点到直线的距离:P(x,y ),l: AxBy C 0，那么P到l的距离为:d 驱 By CB2A23 .直线AxByC 0与圆(xa)2(y b)2的位置关系有三种(1)Aa Bb C相离(2)相切(3)相交还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax2xBy2yDx Ey F求解，通过解0的个数来判断：(1) 当方程组有2个公共解时(直线与圆有(2) 当方程组有且只有 1个公共解时(直线与圆只有(3) 当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) 即:将直线方程代入圆的方程得到一兀的距离为相切相交相离4.两圆位置关系的判定方法，直线与圆相交； 1个交点)，直

5、线与圆相切;，直线与圆相离； 一二次方程，设它的判别式为，圆心d,那么直线与圆的位置关系满足以下关系： = 0； 0 ； 0。2个交点)C到直线ld=rdr设两圆圆心分别为 Oi,O2,半径分别为ri, r2,0Q2 d。dr1r2外离dr1r2外切r1r2dr1 r2dr1r2内切4条公切线；3条公切线；相交2条公切线；1条公切线；0 d内含 无公切线；判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。四典例解析题型1直线间的位置关系例 1 . (1) ( 2006 北京 11)假设三点 A (2, 2), B (a, 0), C (0, b) (ab 0)共线，那么，-1的值

6、等于a b(2) (2006 上海文 11)两条直线 11 : ax 3y 3 0,l2 : 4x 6y 1 0.假设 l1 /12,贝 y a 。1解析：(1)答案：丄;(2) 2。2点评：(1)三点共线问题借助斜率来解决，只需保证kAB kAC ； (2 )对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例2. (1) (2006福建文，1)两条直线 y ax 2和y (a 2)x 1互相垂直，那么 a等于()A. 2B. 1C. 0D.1(2)(2006安徽理,7)假设曲线yx4的一条切线l与直线x4y 80垂直，那么1的方程为()A. 4xy 3 0B. x 4y50 C. 4x

7、y 30D . x4y 3 0解析：(1)答案为D；( 2)与直线x 4y 80垂直的直线l为4x y m 0,即y x4在某一点的导数为4,而y4x3，所以y x4在(1 , 1)处导数为 4，此点的切线为4x y 30，应选 A。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型2:距离问题例3. (2002京皖春文，8)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是()A. x y=0B. x+y=0C. |x| y=0D. |x| |y|=0解析：设到坐标轴距离相等的点为(x, y)I x|= |y|x|y|= 0。答案：D点评：此题较好地考查了考生的

8、数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑， 通过不等式解等知识探索解题途径例4. (2002全国文，21)点P到两个定点 M ( 1, 0)、N (1 ,0)距离的比为 J2 , 点N到直线PM的距离为1 .求直线PN的方程。I pm |，解析：设点P的坐标为(x, y),由题设有v2 ,|PN|即(x 1)2 y22 (x 1)2 y2。整理得 x2+y2 6x+1=0因为点N到PM的距离为1, |MN|= 2,73所以/ PMN = 30，直线PM的斜率为 _上，3直线PM的方程为y= (x+ 1)3将式代入式整理得 x2 4x+ 1 = 0。解得 x= 2+ . 3 , x= 2

9、.一 3。代入式得点 P 的坐标为(2+U 3 , 1+%3 )或(2 J3 , 1+*3 ) ； (2 + J3 , 1 3 )或(2 . 3 , 1 3 )。直线PN的方程为y=x 1或y= x+1。点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分表达了“注重学科 知识的内在联系题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力比拟深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对 思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。题型3:直线与圆的位置关系例5. (1) (2006安徽文，

10、7)直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0(a 0)没有公共点， 那么a的取值范围是()A. (0, . 21) B.0/2 1,.21)C.(.2 12 1)D. (0, .21)(2) (2006江苏理，2)圆(x 1)2(y 3)21的切线方程中有一个是()A. x y= 0B. x+y= 0C.x= 0D . y = 0解析：(1)解析：由圆x2 y22 ay0(a0)的圆心(0, a)到直线x y1大于a ,且a 0,选A。点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。(2)直线 ax+by=0与(x 1)2 (y . 3)21 相切，选C，此题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用

11、图象法解最省事。点评：此题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解，从而转化成判别式等于零来解。例 6. (2006 江西理，16)圆 M : (x+ cos ) 2+( y sin ) 2= 1,直线 I: y= kx, 下面四个命题：(A) 对任意实数k与，直线I和圆M相切；(B) 对任意实数k与，直线I和圆M有公共点；(C) 对任意实数，必存在实数k,使得直线l与和圆M相切；(D) 对任意实数k，必存在实数 ，使得直线l与和圆M相切。其中真命题

12、的代号是 (写出所有真命题的代号)解析：圆心坐标为(一 cos , sin )d =| k cos sin |1 + k2 |si n( + )y. 1 + k21 + k2= |si n( + )|1应选(B) ( D)点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。题型4:直线与圆综合问题例7. (1999全国，9)直线.3x+y 2 . 3 =0截圆x2 + y2 = 4得的劣弧所对的圆心角为B. 4C.图( )解析：如下图:3x y2 2x y消 y 得：x2 3x+2=0，二 X1=2, x2=1。 A (2, 0), B (1,. 3 )|AB|=.(2 1)2 (03)2=

13、2又 |0B|= |OA|=2, AOB是等边三角形，/ AOB= ，应选C。3点评：此题考查直线与圆相交的根本知识，结合思想，同时也表达了数形结合思想的简捷性。那么等腰 OAB的底角为60 因此/ AOB=60及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形 如果注意到直线AB的倾斜角为120,.更加表达出平面几何的意义。例 8. (2006 全国 2, 16)劣弧所对的圆心角最小时，直线过点(1,I的斜率,2)的直线I将圆(x 2)2+ y2= 4分成两段弧，当 k=。解析：过点d)的直线I将圆(x2)22y4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最k小时，直线丨的斜率-22解析(数形结合)由图形可知点 A

14、(1,-2)在圆(X2)22y 4的内部，圆心为O(2,0)要使得ki劣弧所对的圆心角最小，只能是直线I OA，所以点评：此题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。 题型5:对称问题x轴反射到O C:例9. (89年高考题)一束光线I自A ( 3, 3)发出，射到x轴上，被 x2 + y2 4x 4y+ 7= 0 上。(I )求反射线通过圆心 C时，光线I的方程；(n )求在x轴上，反射点M的范围.解法一：圆的标准方程是L所在的直线的 -2)到这条直线(x 2)2+(y 2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x 2)2+(y+2)2=1。设光线 方程是y 3=k(x

15、+3)(其中斜率k待定)，由题设知对称圆的圆心 C( 2,|5k 5|34的距离等于1，即d=1。整理得12k2+25k+12=0，解得k= 或k= 。故Wk243、44所求直线方程是 y 3=(x+3)，或 y 3= (x+3)，即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。33解法二：圆的标准方程是(x 2)2+(y 2)2=1，设交线L所在的直线的方程是3(1 k)y-3=k(x+3)(其中斜率k待定),由题意知 心0，于是L的反射点的坐标是(一，0),k因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L 所在直线的方程为 y= k(x+3(l ),k即y+kx+3(1+k)=0 。这条直线应

16、与圆相切，故圆心到直线的距离为1,即d=| 5k5 1 =1 。以下同解法一。点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。例10.函数f(x)=x2 1(x 1)的图像为 6,曲线C2与C1关于直线y=x对称。(1) 求曲线C2的方程y=g(x)；(2) 设函数 y=g(x)的定义域为 M , X1, x2 M,且 X1 工 X2，求证 |g(x1) g(x2)| 1,. x= y 1，那么曲线 C2 的方程为 g(x)= 、x 1 (x0)。(2)设X1,X2 M，且X1MX2,贝 yX1 X2 0。又 X1 0 ,X2 0,

17、X1 X2 |g(x1) g(X2)|=|. X11 X21 |= : x11Jx21X1X22|X1 X2|o(3)设 A(X1, y1)、B(X2, y2)为曲线C2上任意不同两点,X1 , X2 M，且 X1M X2,X由(2)知，|kAB|=|M| X1X2 |y2|=|g(X1)g(X2)|211，解得kkx 1，即 kx y 10，那么47。口的最大值与最小值。0 .4X因此，Zmax4、73点评：直线知识是解析几何的根底知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用。例14.设双曲线xy 1的两支分别为 G、C2，

18、正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。假设P 1,1在C2上，Q、R在C1上，求顶点 Q、R的坐标。分析：正三角形PQR 中，有 |PQ |PR QR ,那么以 P 1,1为圆心,PR为半径的圆与双曲线交于根据两曲线方程可求出交点R、Q两点。Q、R坐标。解析：设以P为圆心,PR(r0为半径的圆的方程为:2 2x 1 y 1 由yxy 1得:x2r21 x 10。1t x进行换元解之X设Q、R两点的坐标分别为那么X1X2X-|X21即x1X2X1X24x1x2r21同理可得:y1y2.r2214,且因为 PQR是正三角形，那么即r22X1X2 22，r2114 ，得 r224。代入方程x21r2

19、 1 x 1 0,即 x2 4x 1 0。由方程组x 4x 10，得:xy 1x12. 3 、x22. 3_或yi 23 y223所以，所求Q、R的坐标分别为 23, 2 -.3 , , 23点评：圆是最简单的二次曲线， 它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，假设能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。1 关于直线对称问题：1关于I : Ax + By + C = 0对称问题：不管点，直线与曲线关于I对称问题总可以转化为点关于I对称问题，因为对称是由平分与垂直两局部组成，如求P xo，yo关于I : Ax + By + C = 0

20、对称点 QX1 , y1.有吐虫=-1与 A 也 生 + B -y 吐x0 x-iB22+ C = 0。2解出X1与y1 ；假设求C1 :曲线f x ，y= 0 包括直线关于I : Ax + By + C1 = 0对称的曲线 C2 ，由上面的1 、2中求出X0 = g1 X1 ，y1与y0 = g2 X1 ，y1， 然后代入C1 : f g1 X1 ，y1，g2 X2，y2 = 0，就得到关于I对称的曲线C2方程：f g1x，y，g2 x，y = 0。3假设I : Ax + By + C = 0中的x，y项系数|A|= 1，|B |= 1 .就可以用直接代入解之，尤其是选择填空题。如曲线C1

21、: y2 = 4 x 2关于I : x y 4= 0对称的曲线I2的方程为：x 4 2 = 4 y + 4 2 即y用x 4代，x用y + 4代，这样就比拟简单了。4解有关入射光线与反射光线问题就可以用对称问题来解决。点与圆位置关系：P X0，y0和圆 C : x a 2 + y b 2 = r2。 点P在圆 C外有(X0 a) 2 + (y0 b) 2 r2； 点P在圆上：(X0 a) 2 + (y0 b) 2 = r2; 点P在圆内：(X0 a) 2 + (y0 b) 2 v r2。3直线与圆的位置关系:I : f1 (x ，y)= 0.圆 C : f2 (x，y)= 0 消 y得 F ( X2)1直线与圆相交：F(x，y)= 0 中 0;或圆心到直线距离 d直线与圆相交的相关问题：弦长 AB| =1 k2-|X1X2| =1 k2(x1 x2)2 4x1x2，或|AB| = 2 r2 d2 ；弦中点坐标(X1X22弦中点轨迹方程。(2) 直线与圆相切：F (x)= 0中 =0,或d = r .其相关问题是切线方程女口P(xo,yo)是圆x2+ y2= r2上的点