高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件[共13页]

1、【课题 】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义 .（2）了解平面向量内积的计算公式 . 为利用向量的内积研究有关问题奠定基础 .能力目标：通过实例引出向量内积的定义 , 培养学生观察和归纳的能力【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式 .【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角【教学设计】教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念需要强调力与位移都是向量,而功是数量因此,向量的内积又叫做数量积在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积 . 其符号是由夹角

2、决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量 .教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中：（1）当0 时, a b|a| |b|；当180时,a b|a|b|可以记忆为：两个共线向量, 方向相同时内积为这两个向量模的积； 方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数（2）|a| a a 显示出向量与向量的模的关系,是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cosa b| a |b|,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a b0 a b”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示的重要基础【教学备品】教学课件【课时安排】2

3、 课时 ( 90 分钟)【教学过程】教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间* 揭示课题 介绍 了解 07.3 平面向量的内积* 创设情境 兴趣导入F 从 实例 出30 O质疑 思考 s发 使学 生自 然图 721的 走向 知 如图 721 所示,水平地面上有一辆车,某人用 100 N 的识点力,朝着与水平线成 30 角的方向拉小车,使小车前进了 100引导 自我5 m那么,这个人做了多少功？分析 分析* 动脑思考 探索新知【新知识】我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积如图 722 所示,设水平方向的单位向量为 i,垂直总结 思考 带领方向的单位向量为 j,

4、则归纳 学生F x i + y j F sin30 i F cos30 j ,分析即力 F 是水平方向的力与垂直方向的力的和, 垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为 s,即WFcos30 s1003210500 3 （J）教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间理解yF (x,y)jO i x图 722引导这里,力 F 与位移 s 都是向量,而功 W 是一个数量,它仔细记忆 式启等于由两个向量 F,s 的模及它们的夹角的余弦的乘积, W 叫分析 发学做向量 F 与向量 s 的内讲解生得关键积,它是一个数量,又叫A 出结a词语 果做 数量积 bB O如图 72

5、3,设有两图 723个非零向量 a, b,作 OAa, OB b,由射线 OA 与 OB 所形成的角叫做向量 a 与向量 b15的夹角 ,记作 两个向量 a, b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积 ,记作 a b, 即a ba| |b|cos (7.10)上面的问题中,人所做的功可以记作 WF s.由内积的定义可知a 00, 0 a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当0 时,ab|a|b|；当180时,a b- |a|b|.（2） cosa b| a |b|.思考教 学 教师学生 教学 时过 程 行为行为意图间（3） 当 ba时,有 0,所以 a a |

6、a|a|a|2,即|a| a a .总结 （4） 当 a,b 90时, a b , 因 此 , a b 带领归纳学生 a b cos90 0,因此对非零向量 a,b,有分析 a b0 a b.理解可以验证,向量的内积满足下面的运算律：（1） a bb a反 复 （2） ( a ) b (a b)a ( b)仔细 强调（3） (a b) ca cb c分析30 记忆注意 ：一般地,向量的内积不满足结合律,即讲解a (b c)（ a b） c.关键请结合实例进行验证.词语* 稳固知识典型例题例 1 已知 |a| 3,|b|2, 60 ,求 a b说明 思考 注意解 a b|a|b| cos 32c

7、os60 3强调观察例 2 已知 |a| |b| 2 ,a b 2 ,求学生解 cosa b|a |b|222 -22.引领主动求解是否理解知识由于 0 180 ,点 40所以 135 * 运用知识强化练习及时 601. |a| 7 |b| 4 a b a b 已知 , , 和 的夹角为,求 提问思考巡视口答2. 已知 a a9,求|a|了解学生知识3. 已知 |a|2,|b| 3, 30 ,求 (2ab) b指导 掌握得情况 45教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间* 动脑思考 探索新知设平面向量 a(x1,y1),b(x2,y2),i,j 分别为 x 轴,y 轴上的单位

8、向量,由于 ij,故 i j 0,又| i |j|1,所以a b(x1 iy1j) (x2 iy2j) x1 x2 i ?i x1 y2 i ?j x2 y1 i ?j y1 y2 j ?j x1 x2 |j|2 y1 y2 |j|2 x1 x2 y1 y2这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,总结 思考 即归纳 归纳a b x1 x2 y1 y2 (7.11)利用公式 (711)可以计算向量的模设 a(x,y),则a a a2 2x y ,即带领a2 2x y (7.12)学生总结由平面向量内积的定义可以得到,当 a、b 是非零向量时,cosa b| a |b|x x y y1

9、2 1 22 2 2 2x y x y1 1 2 2. (7.13)仔细 理解分析 记忆利用公式 (7.13)可以方便地求出两个向量的夹角 .讲解 由于 a b a b0,由公式 (7.11)可知关键a b0 x1 x2 y1 y20词语因此60a b x1 x2 y1 y20 (7.14)利用公式 (7.14) 可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题* 稳固知识 典型例题说明 观察例 3 求下列向量的内积：强调 （1） a (2,- 3), b(1,3)；讲解（2） a (2, - 1), b(1,2)；说明教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间引领 思考（3） a

10、(4,2), b(- 2, - 3)解 (1) a b2 1(- 3) 3- 7；(2) a b2 1(- 1) 20；(3) a b2 (- 2)2 (- 3)- 14讲解 主动说明 求解例 4 已知 a(- 1,2),b(- 3,1).求 a b, |a|,|b|, 解 a b(- 1)( - 3)2 15；注意|a|2 2a a ( 1) 2 5 ；观察学生|b|2 2b b ( 3) 1 10 ；引领 观察 是否cosa b|a |b |5 210 5 2,分析理解知识思考 点所以 45 求解强调 例 5 判断下列各组向量是否互相垂直：含义反复(1) a(- 2, 3), b(6, 4

11、)；领会 强调(2) a(0, - 1), b(1, - 2)解 (1) 因为 a b(- 2) 63 40,所以 a b 说明 70思考 (2) 因为 a b0 1(- 1) （- 2)2,所以 a 与 b 不垂 求解直* 运用知识 强化练习1 已知 a(5, - 4),b(2,3),求 a b启发 思考 及时2 已知 a(1, 3),b(0, 3 ),求引导 了解 了解学生3 已知 a(2, - 3),b(3,4),c(- 1,3),求 a (bc)4. 判断下列各组向量是否互相垂直：提问 动手巡视 求解(1) a(- 2, - 3),b(3, - 2)； (2) a(2,0),b(0,

12、- 3)；知识掌握得情(3) a(- 2,1),b(3,4)指导 况5. 求下列向量的模：80(1) a(2, - 3), (2) b(8, 6 )教 学 教师 学生 教学 时过 程 行为 行为 意图 间* 理论升华 整体建构及 时 思考并回答下面的问题：质疑 回答了 解 平面向量内积的概念、几何意义 ?学 生结论：知 识 两个向量 a, b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与掌 握向量 b 的内积 ,记作 a b, 即归 纳情况强调a ba| |b|cos (7.10)a b 的几何意义就是向量 a 的模与向量 b 在向量 a 上的投影的乘积83* 归纳小结 强化思想引导 回忆本次课

13、学了哪些内容？重点和难点各是什么？* 自我反思 目标检测提问 反思 检验本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？学生 你的学习效果如何？巡视 动手 学习1.已知 a(5, - 4),b(2,3),求 a b指导 求解 效果2.已知 a(2, - 3),b(3, - 4),c(- 1,3),求 a (bc)88* 继续探索 活动探究说明 记录 分 层 ( 1) 读书部分：阅读教材( 2) 书面作业： 教材习题 7.3 A 组（必做）；7.3 B 组（选次 要求做）( 3) 实践调查：编写一道向量内积问题并解答90【教师教学后记】项目 反思点学生是否真正理解有关知识；学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生是否参与