非线性计算理论

1、第十一章第十一章 桥梁结构几何非线性计算理论桥梁结构几何非线性计算理论11.1 概概 述述1.几种非线性问题几种非线性问题工程上的非线性问题主要分为材料非线性、工程上的非线性问题主要分为材料非线性、 几何非线性、接几何非线性、接触非线性三类触非线性三类. .2.几种几何非线性问题几种几何非线性问题两种几何非线性问题两种几何非线性问题大位移小应变即大位移小应变即有限位移理论有限位移理论和大位移大应变即有限变形理和大位移大应变即有限变形理论两种论两种.3.大跨度桥梁结构几何非线性效应大跨度桥梁结构几何非线性效应1)单元初内力对单元刚度矩阵的影响单元初内力对单元刚度矩阵的影响; 常采用单元几何刚度矩

2、阵的方法来考虑。一般指轴力对弯常采用单元几何刚度矩阵的方法来考虑。一般指轴力对弯曲刚度的影响，即初应力引起结构刚度的变化对后期荷载曲刚度的影响，即初应力引起结构刚度的变化对后期荷载的影响。的影响。2)大位移对建立结构平衡方程的影响大位移对建立结构平衡方程的影响;3)索单元垂度的影响索单元垂度的影响.11.2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法桥梁结构几何非线性分析的有限元方法11.2.1 变形体的运动描述变形体的运动描述 基本概念：基本概念： 初始构形，现时构形；运动初始构形，现时构形；运动 变形体及其上质点的运动状态变形体及其上质点的运动状态, ,随不同坐标选取有几随不同坐标选取有几种描述方

3、法种描述方法: :11.2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法桥梁结构几何非线性分析的有限元方法11.2.1 变形体的运动描述变形体的运动描述 变形体及其上质点的运动状态变形体及其上质点的运动状态, ,随不同坐标选取有几种描述方法随不同坐标选取有几种描述方法: :(1)物质描述物质描述 ；(2)参照描述；参照描述；(3)相关描述；相关描述；(4)空间描述空间描述11.2.2 总体拉格朗日列式法总体拉格朗日列式法(T.L Formulation) 在整个分析过程中在整个分析过程中, ,以以t=0t=0时的构形作为参考时的构形作为参考, ,且参考位形保持不且参考位形保持不变变, ,这种列式称为总体

4、这种列式称为总体拉格朗日列式拉格朗日列式. 杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到:其中应变矩阵可进一步写成其中应变矩阵可进一步写成:B=B0 +BL 将平衡方程写成增量形式将平衡方程写成增量形式:上式左边第一项可写成上式左边第一项可写成: 0fdVBVT fddVdBdVBdVVTT dkdVBddVBdVTLVT0有关系式代入增量平衡方程左边第二项后,经整理,并记最后得:11.2.3 更新的拉格朗日列式法更新的拉格朗日列式法(U.L Formulation) 以本增量步起始时的t时刻构形为参照构形,建立t+t时刻物体平衡方程.增量形式的U.L列式结构平

5、衡方程可写成: dBBDdL0 VLTLVTLVLTLVTdVBDBdVBDBdVBDBkdVBDBk0000000 fddkdkkkTL00000 Pddkktt011.2.4 T.L列式与列式与U.L列式的异同及适用范围列式的异同及适用范围11.3 11.3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵11.3.1 11.3.1 平面桁架单元的切线刚度矩阵平面桁架单元的切线刚度矩阵由前面的讨论可知，由前面的讨论可知，T.LT.L列式下，单元切线刚度矩阵可以分为列式下，单元切线刚度矩阵可以分为三个部分，即弹性刚度矩阵三个部分，即弹性刚度矩阵0 0 k k 0 0 、

6、初位移刚度矩阵初位移刚度矩阵0 0 k k L L、 和几何刚度矩阵和几何刚度矩阵0 0 k k ；而；而U U、L L列式下，单元切线刚度矩阵列式下，单元切线刚度矩阵只有只有t t k k 0 0 和和t t k k ; ; 考虑大位移条件考虑大位移条件, ,桁架单元轴向应变可写为桁架单元轴向应变可写为: :221dxdvdxdux 取桁架单元的形函数矩阵为取桁架单元的形函数矩阵为:那么单元上任意点的位移可写成那么单元上任意点的位移可写成:代入应变关系式中可得代入应变关系式中可得:其中其中 lxlxlxlxN010001 Nvu dBBdLx0)(11010,01010ijLvvlllBll

7、B由此由此, ,代入前式代入前式k0 、 kL、 k的表达式中可得在的表达式中可得在T.L列式下列式下,建立在变形前建立在变形前的初始状态下的单元局部坐标下的切线刚度矩阵的初始状态下的单元局部坐标下的切线刚度矩阵: kkkkLT0 U.L列式下的单元切线刚度矩阵列式下的单元切线刚度矩阵:由此说明由此说明T.L列式与列式与U.L列式的单元切线列式的单元切线刚度矩阵具有等价性刚度矩阵具有等价性. LTTkkTkTk0011.3.3 平面梁单元的切线刚度矩阵：平面梁单元的切线刚度矩阵：11.3.4 算例：算例：11.3.4 算例：算例：11.3.2 平面柔索单元的切线刚度矩阵平面柔索单元的切线刚度矩

8、阵一基本假定一基本假定 (1)柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力;(2)柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载;(3)柔索材料符合虎克定律柔索材料符合虎克定律;(4)局部坐标系取在柔索荷载合力平面内局部坐标系取在柔索荷载合力平面内.柔索单元如右图柔索单元如右图:由平衡方程和由平衡方程和几何关系几何关系,可导得图中各参量之可导得图中各参量之间的关系间的关系,在此基础上在此基础上,易导出各易导出各力素与几何变量之间的关系力素与几何变量之间的关系对上式取全微分后对上式取全微分后, ,可得到索端力和位移的增量关系可得到索端力和位移

9、的增量关系: :qTTTTEAqqTTqSFEAShFTFTqEASFlijQiQjijyyjyixijii212ln1000hCAlCBFhCAlCBFiiyx1122hCAlCBFhCAlCBFjjyx1122ijijvvhuul将上式合并经整理后可写成将上式合并经整理后可写成: 在索端力未知的情况下在索端力未知的情况下,首先采用迭代法求算索端力首先采用迭代法求算索端力,然后求取单然后求取单元切线刚度矩阵元切线刚度矩阵. eTekF11.4 11.4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论11.4.1 11.4.1 稳定函数与几何刚度稳定函数与几何刚度 建

10、立如图所示压杆的挠曲平衡微分方程建立如图所示压杆的挠曲平衡微分方程:其解为其解为: 当当N为压力时为压力时: ()ijiMMEIyxMN yxlsin1sin1sinsinjixxMMxxLLyxNLNL 式中式中:引入边界条件引入边界条件:由此可得到压杆的割线刚度矩阵由此可得到压杆的割线刚度矩阵:式中式中:而而EINljlxixyy0bjijjiiCleEANCClEIMCClEIM122121222221122222121882sincos22sinsincos22cossinCCCbqCCCbCbbCCjijibEINlq22进一步求该压杆单元的切线刚度矩阵进一步求该压杆单元的切线刚度矩

11、阵:通过通过由此可得单元的切线刚度矩阵由此可得单元的切线刚度矩阵:如此可得单元的增量平衡微分方程如此可得单元的增量平衡微分方程cjicjicjcicjciijuqqSuSdqqFdFk 222122122211221222212212122122211jijijijiTbbHCCGCCGHHGHGHGHGCHGGCHGHGGCHGCk TkS11.4.2 弯矩对轴向刚度的影响弯矩对轴向刚度的影响11.4.3 11.4.3 活载几何非线性分析活载几何非线性分析 活载几何非线性分析活载几何非线性分析, ,会遇到如下问题会遇到如下问题: :(1)(1)线性叠加原理失败线性叠加原理失败, ,无法再用传

12、统的影响线加载法进行活载分析无法再用传统的影响线加载法进行活载分析. .(2)(2)确定影响区本身是一个非确定影响区本身是一个非线性问题线性问题, ,仅用恒载初始状态计算活载仅用恒载初始状态计算活载, ,会带来影响区范围改变和不正确载位引起的误差会带来影响区范围改变和不正确载位引起的误差. .(3)(3)单位强迫变位产生的等效力很大单位强迫变位产生的等效力很大, ,用机动法求解影响区将破坏指用机动法求解影响区将破坏指定状态结构影响区的真实形状定状态结构影响区的真实形状. .11.4.3 11.4.3 几何非线性调值计算几何非线性调值计算 桥梁结构在设计和施工过程中常常遇到下列问题：桥梁结构在设

13、计和施工过程中常常遇到下列问题： (1) 设计阶段：通过调整部分杆件的内力和支点位移，来优化整个设计阶段：通过调整部分杆件的内力和支点位移，来优化整个结构体系的受力状态；结构体系的受力状态； （2）施工阶段：通过调整部分杆件的内力和部分支点位移，来减）施工阶段：通过调整部分杆件的内力和部分支点位移，来减少已建结构和控制目标的偏差；少已建结构和控制目标的偏差； （3）服役结构：通过调整部分杆件的内力和支点位移，来优化整）服役结构：通过调整部分杆件的内力和支点位移，来优化整个结构体系的受力状态；个结构体系的受力状态；随着新工艺和新技术的发展，调值问题在工程中越来越多，成为结随着新工艺和新技术的发展

14、，调值问题在工程中越来越多，成为结构设计和优化必不可少的方法。构设计和优化必不可少的方法。11.5 11.5 非线形方程组的求解非线形方程组的求解11.5.1 求解方法简介求解方法简介 1）直接求解法：）直接求解法： 基于全量列式的求解过程；基于全量列式的求解过程； 2）增量法）增量法 将整个荷载变形的过程看做一连串将整个荷载变形的过程看做一连串 增量段，每一增量段中结构的荷载增量段，每一增量段中结构的荷载 反应近似为线形，不断累加其位移增量。反应近似为线形，不断累加其位移增量。 一阶自校正的增量法。一阶自校正的增量法。11.5 11.5 非线形方程组的求解非线形方程组的求解 3）Newton-Raphson Method： 11.5 11.5 非线形方程组的求解非线形方程组的求解11.5.3 11.5.3 收敛准则收敛准则 一般依结构的不平衡力向量和位移增量向量来判断迭代的收敛性。一般依结构的不平衡力向量和位移增量向量来判断迭代的收敛性。向量的大