关于负数在计算机中的表示方法讲述

1、负数的二进制编码越是基础的越是要掌握分类： 学习笔记2010-02-15 13:18330人阅读评论(0)收藏举报原码就是原来的表示方法反码是除符号位（最高位）外取反补码=反码+1以前学习二进制编码时，老师讲了一堆堆的什么原码啊反码啊补码啊xxxx转换啊，还有负数的表示方式啊 总是记不零清，终于从网上找到了一种比较好的讲解方式，保存再share一下，不过为了系统化讲解，又找来了一些编码的基础知识，如果只想看负数编码记忆法，请跳转到1.如果你不知道二进制怎么编码，请继续，否则请跳到21字节 = 8位，所以它能表示的最大数当然是8位都是1（既然2进制的数只能是0或1,如果是我们常见的10进制，那就

2、8位都为9，这样说，你该懂了？）1字节的二进制数中，最大的数：11111111。这个数的大小是多少呢？让我们来把它转换为十进制数。无论是什么进制，都是左边是高位，右边是低位。10进制是我们非常习惯的计数方式，第一位代表有几个1（即几个100），第二位代表有几个10（即几个101），第三位代表有几个100（即有几个102），用小学课本上的说法就是：个位上的数表示几个1，十位上的数表示向个10，百位上的数表示几个100同理可证，二进制数则是：第1位数表示几个1 （20），第2位数表示几个2（21），第3位数表示几个4（22），第4位数表示向个8(23)以前我们知道1个字节有8位，现在通过计算,我们

3、又得知：1个字节可以表达的最大的数是255，也就是说表示0255这256个数。那么两个字节（双字节数）呢？双字节共16位。 1111111111111111，这个数并不大，但长得有点眼晕，从现在起，我们要学会这样来表达二制数：1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。双字节数最大值为：1 * 215 + 1 *214 + 1* 213 + 1 * 212 + 1 * 211 + 1 * 210 + + 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20 = 65535 很自然，我们可以想到，一种数据类型允许的最大值，和它的位数有关。具体的计算方法方法是，如果它有n位，那么最大值就是

4、：n位二进制数的最大值：1 * 2(n-1) + 1 * 2(n-2) + . + 1 * 202、理解有符号数和无符号数负数在计算机中如何表示呢？这一点，你可能听过两种不同的回答。一 种是教科书，它会告诉你：计算机用“补码”表示负数。可是有关“补码”的概念一说就得一节课，这一些我们需要在第6章中用一章的篇幅讲2进制的一切。再 者，用“补码”表示负数，其实是一种公式，公式的作用在于告诉你，想得到问题的答案，应该如何计算。却并没有告诉你为什么用这个公式就可以得到答案？ -我就是被这个弄混淆的_另 一种是一些程序员告诉你的：用二进制数的最高位表示符号，最高位是0，表示正数，最高位是1，表示负数。这

5、种说法本身没错，可是如果没有下文，那么它就是 错的。至少它不能解释，为什么字符类型的-1用二进制表示是“1111 1111”(16进制为FF)；而不是我们更能理解的“1000 0001”。（为什么说后者更好理解呢？因为既然说最高位是1时表示负数，那1000 0001不是正好是-1吗？-re！当初偶就是这么想的，so一直在脑中打架，越打越混淆，）。让我们从头说起。2.1、你自已决定是否需要有正负。就像我们必须决定某个量使用整数还是实数，使用多大的范围数一样，我们必须自已决定某个量是否需要正负。如果这个量不会有负值，那么我们可以定它为带正负的类型。在计算机中，可以区分正负的类型，称为有符类型，无正

6、负的类型（只有正值），称为无符类型。数值类型分为整型或实型，其中整型又分为无符类型或有符类型，而实型则只有有符类型。字符类型也分为有符和无符类型。比如有两个量，年龄和库存，我们可以定前者为无符的字符类型，后者定为有符的整数类型。2、使用二制数中的最高位表示正负。首先得知道最高位是哪一位？1个字节的类型，如字符类型，最高位是第7位，2个字节的数，最高位是第15位，4个字节的数，最高位是第31位。不同长度的数值类型，其最高位也就不同，但总是最左边的那位（如下示意）。字符类型固定是1个字节，所以最高位总是第7位。(红色为最高位)单字节数： 1111 1111双字节数： 1111 1111 1111

7、1111四字节数： 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111当我们指定一个数量是无符号类型时，那么其最高位的1或0，和其它位一样，用来表示该数的大小。当我们指定一个数量是有符号类型时，此时，最高数称为“符号位”。为1时，表示该数为负值，为0时表示为正值。3、无符号数和有符号数的范围区别。无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比：无符号数： 1111 1111 值：255 1* 27 + 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 2

8、2 + 1* 21 + 1* 20有符号数： 0111 1111 值：127 1* 26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20 同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数的最大值是127。原因是有符号数中的最高位被挪去表示符号了。并且，我们知道，最高位的权值也是最高的（对于1字节数来说是2的7次方=128），所以仅仅少于一位，最大值一下子减半。不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：无符号数： 0 - 255有符号数： -128 - 0 - 127

9、同样是一个字节，无符号的最小值是 0 ，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。一个有符号的数据类型的最小值是如何计算出来的呢？有符号的数据类型的最大值的计算方法完全和无符号一样，只不过它少了一个最高位（见第3点）。但在负值范围内，数值的计算方法不能直接使用1* 26 + 1* 25 的公式进行转换。在计算机中，负数除为最高位为1以外，还采用补码形式进行表达。所以在计算其值前，需要对补码进行还原。这里，先直观地看一眼补码的形式：以我们原有的数学经验，在10进制中：1 表

10、示正1，而加上负号：-1 表示和1相对的负值。那么，我们会很容易认为在2进制中（1个字节）： 0000 0001 表示正1，则高位为1后：1000 0001应该表示-1。然而，事实上计算机中的规定有些相反，请看下表：二进制值（1字节）十进制值1000 0000红色的1代表负数蓝色的是补码(补码=反码+1)-1281000 0001蓝色部分代表多大的值？：将补码还原为原码-127想化成负数？：先减去1再按位取反1000 0010还原方法：补码-1再取反-1261000 0011-125.1111 1110-21111 1111-1首先我们看到，从-1到-128，其二进制的最高位都是1（表中标为红

11、色），正如我们前面的学。然后我们有些奇怪地发现，1000 0000 并没有拿来表示 -0；而1000 0001也不是拿来直观地表示-1。事实上，-1 用1111 1111来表示。怎么理解这个问题呢？先得问一句是-1大还是-128大？当 然是 -1 大。-1是最大的负整数。以此对应，计算机中无论是字符类型，或者是整数类型，也无论这个整数是几个字节。它都用全1来表示 -1。比如一个字节的数值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和现实中的计算结果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。这样一直减下去，当减到只

12、剩最高位用于表示符号的1以外，其它低位全为0时，就是最小的负值了，在一字节中，最小的负值是1000 0000，也就是-128。-小米批注：就是这部分蓝色的文字，让我终于能记清楚-1的编码方式了，汗。我们以-1为例，来看看不同字节数的整数中，如何表达-1这个数：字节数二进制值十进制值单字节数1111 1111红色表示负数蓝色部分的补码为值1-1负数：原码就是原来的表示方法、反码是除符号位（最高位）外取反、补码=反码+1双字节数1111 1111 1111 1111-1四字节数1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111-1可 能有同学这时会混了：为什么 1111

13、 1111 有时表示255，有时又表示-1？所以我再强调一下本节前面所说的第2点：你自已决定一个数是有符号还是无符号的。写程序时，指定一个量是有符号的，那么 当这个量的二进制各位上都是1时，它表示的数就是-1；相反，如果事选声明这个量是无符号的，此时它表示的就是该量允许的最大值，对于一个字节的数来说， 最大值就是255。ok 摘抄暂告段落，其实原文对于c的一些基础数据类型知识介绍的非常详细，8过太长了，摘到我需要的内容后就没全帖过来，如果有需要学习的同学，建议参见原文：）转自关键字： 二进制编码，负数二进制，二进制什么叫机器数？计算机为什么要采用补码？2007-09-09 14:24:25大中

14、小标签：教育杂谈在计算机内部，所有信息都是用二进制数串的形式表示的。整数通常都有正负之分，计算机中的整数分为无符号的和带符号的。无符号的整数用来表示0和正整数， 带符号的证书可以表示所有的整数。由于计算机中符号和数字一样，都必须用二进制数串来表示，因此，正负号也必须用0、1来表示。通常我们用最高的有效位来 表示数的符号（当用8位来表示一个整数时，第8位即为最高有效位，当用16位来表示一个整数时，第16位即为最高有效位。）0表示正号、1表示负号，这种 正负号数字化的机内表示形式就称为“机器数”，而相应的机器外部用正负号表示的数称为“真值”。将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。无符

15、号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。带符号整数有原码、反码、补码等几种编码方式。原码即直接将真值转换为其相应的二进制形式，而反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。正整数的原 码、反码和补码都一样，负数的反码是对原码的除符号位外的其他位进行取反后的结果（取反即如果该位为0则变为1，而该位为1则变为0的操作）。而补码是先 求原码的反码，然后在反码的末尾位加1 后得到的结果，即补码是反码+1。IBM-PC中带符号整数都采用补码形式表示。（注意，只是带符号的整数采用补码存储表示的，浮点数另有其存储方式。）采用补码的原因或好处如下。采用补码运算具有如下两个特征：1）因为使用

16、补码可以将符号位和其他位统一处理，同时，减法也可以按加法来处理，即如果是补码表示的数，不管是加减法都直接用加法运算即可实现。2）两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。这样的运算有两个好处：1）使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。从而可以简化运算器的结构，提高运算速度；（减法运算可以用加法运算表示出来。）2）加法运算比减法运算更易于实现。使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计。下面深入分析上面所陈述的采用补码的原因（目的）。用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题，如下：假设字长为8bits( 1

17、 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.。因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出现在带符号位的负数身上，对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应。下面是反码的减法运算：( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题。( 1 )10

18、 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的。于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加一，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：(-1280127)共256个。注意:(-128)没有相对应的原码和反码， (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下：( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + (

19、 -1 )10 = ( 0 )10(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10(00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确采用补码表示还有另外一个原因，那就是为了防止0的机器数有两个编码。原码和反码表示的0有两种形式+0和-0，而我们知道，+0和-0是相同的。这 样，8位的原码和反码表示的整数的范围就是-127+127（1111111101111111），而采用补码表示的时候，00000

20、000是+0， 即0；10000000不再是-0，而是-128，这样，补码表示的数的范围就是-128+127了，不但增加了一个数得表示范围，而且还保证了0编码 的唯一性。整数和0的原码、反码和补码都相同，下面介绍手工快速求负数补码的方法。这个方法在教材的第8页已经提到了，这里再写出来以便能引起大家的注意。其方法如下：先写出该负数的相反数（正数），再将该正数的二进制形式写出来，然后对这个二进制位串按位取反，即若是1则改为0，若是0则改为1，最后在末位加1。接下来的问题是，如何能将减法运算转换成加法运算呢？我们已经知道，原码表示简单直观，与真值转换容易。但如果用原码表示，其符号位不能参加运算。在计算机中用原码实现算术运算时，要取绝对值参加运算，符号 位单独处理，这对乘除运算是很容易实现的，但对加减运算是非常不方便的，如两个异号数相