管网数学模型分析论文

1、管网数学模型分析论文 复杂管网分析方法有多种，近年新出现的有图论法和有限元法34。两种方法各有所长，图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型以适用范围各不相同管网水力计算。有限元法通过局部的管元分析得出管网的数学模型。 管网水力分析的基础是管段的水力学模型。常用的数学模型是采用Darcy-Weisbach公式和Hazen-Williams公式。这两个公式原用于管道沿程水力损失的计算，公式来源于理论研究和实验得到的结果。这两个公式的应用基础是大量实验统计得出的参数。Darcy-Weisbach公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain实验公式和Moo

2、dy图表来求出沿程损失系数f2。文献1论述了水力模型的基本形式和管网中管件的定理，该理论统一了局部损失和沿程损失的数学模型。这里进一步讨论在复杂管网中，基于该定理并利用节点分析方法给出Kirchhoff第一定律和第二定律的表示方法及其应用。 1.管网模型 1.1.管道模型 按文献1介绍的： 定理1：任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。 （1） 式中：a,b为不会等于零的实系数；hf为管段的水头损失；q是管段内的流量。 换言之，对于管段两端，记上游端水头为H2，下游端水头为H1，即： （2） 1.2.复杂管网模型 对于复杂管网，这里所说的复杂

3、是指有多环、多水源、多出流口的管网，对于这种管网可以用与一般管道同样形式的矩阵公式来表示。 记： 式中：H为管段的节点水头矢量；q为管网的管段流量；n为管网中的管段数量。 为了有利于统一表达式，记管段两端的水头为H1，H2。 对于简单管段有： （4） 容易看出这种变形为采用线性方程组提供了方便。当第t次计算时，令： （5） 式中：管段在第t-1时的流量，在第t-1次计算时它是已知量；是管段在第t时的假定流量。 q是有方向的矢量，其方向是由管段端点2指向端点1。换言之，端点2水头大于端点1的水头，这样水才能从端点2流到端点1，流量的值才可能是正值。从数学的角度理解，假定H1，H2，q为不为零的实

4、数，H1，H2前面的正负号可以表示为管段的端点i在流量指向的方向。 对于如图1所示的管网，可以用管网邻接矩阵A表示。 图1.一个简单复杂管网图 对于图1按节点及管段编号来关联，行是管段，列是节点。 节点与1管段、2管段相连接，因假定管段的水流方向是由节点编号大端流向节点编号小端。节点的邻接向量是。同理：节点的邻接向量是，易知： 容易得到矩阵： 通常将以上矩阵称为管网的邻接矩阵， 2.节点分析法 如令： 图1中与矩阵等式 （6） 对应的是以下矩阵： （7） 对节点有： 对节点有： 表明矩阵等式可以表示节点流量守恒定律。 根据流量守恒定律和能量守恒定律，有的学科也称为Kirchhoff第一定律和第

5、二定律。管网系统的两个定律可表达为： （8） 这也是节点分析法的关键方程组。 其中： （9） 式中：Ac节点与管段的邻接矩阵；Af节点与已知水头的邻接矩阵；Hc管段的节点水头矢量；Hf已知节点水头矢量。 而且， 是式（4）在管网中的矩阵表达。 以图1的管网为例有： 而且， 采用计算机程序自动搜索分析，容易得到以上矩阵。同时，用矩阵表示的是： =（10） 矩阵运算后可表示成以下方程： （11） 其中H6是已知水塔的水头。式（10）表明矩阵方法可以表示节点能量守恒定律。 以上分析虽然是针对图1的实例进行，但没有设立管网联接及出流的特殊性条件，故所介绍的分析结果具有一般性。显然，这种结果也可以通过采

6、用“图论法”和有限元法进行分析得到。 3.方程的解法 矩阵方程（8）是复杂管网的数学模型，对此模型的求解可以得到管网的水力学参数。如将Y(q)看作一个常数，该方程就是一个线性方程组，可将此线性方程组称为非线性方程（8）的伴随方程。注意到管网在第t-1时的流量为q(t-1)，在第t-1次计算时Y(q(t-1)是已知量；q(t)是管网在第t时的流量。 实际上是在迭代运算中令： Y(q(t)=Y(q(t-1) 因大多数管网它们的管段内流速v都在13m/s之内。经验证明这样种情况下，令流速v=1作为t=0的初值比较合理。这时，矩阵方程（8）实际迭代时t为： 式中：Ai为i管段的断面面积；n为管网的管段

7、数。 当在te时，迭代中，当时，认为方程解为：i=1,n；k=1,m；m为管网的节点数。 其中，为一相对小的数，工程上，一般取就行了。的值越小计算机的运算时间就越长。 由方程（8）变形得到方程： （12） 式中，Hc管段的节点水头矢量，是待求的未知量；Hf为已知节点水头矢量。q=是管段内的流量矢量，是待求的未知量；d是管网的出水量矢量，是已知量。 用线性方程组的解法容易经34次迭代得到方程（12）的解。 4.结论 复杂管网可以用矩阵的形式表示，并可用节点法建立其矩阵方程。其方程为： （12） 此方程是一个非线性方程，解此方程可用迭代法进行计算。迭代的初始参数及计算方法如下： 当时，认为方程解为：i=1,n；k=1,m；n为管网的管段数，m为管网的节点数。 1李鸣，管网基本定理及其数学模型J，节水灌溉，2001(1)8-11 2HaestadMethods,ThomasM.Walski,AdvancedWaterDistributionModelingandManagementM,HaestadPress,2003 3石继，张丰周，魏永曜，图论法用于供水管网水力计算的研究J，水利