《线性代数与空间解析几何》(1)ppt课件

1、一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa即即 AX = 0 AX = 0平凡解：平凡解：X = 0(X = 0(零解零解) )设设 A =( 1, 2, , n), 那么以下命题等价：那么以下命题等价：1o 1, 2, , n线性相关线性相关;2o AX = 0有非零解有非零解;.)(nAR3o解的性质：解的性质：AX = 0 的解向量的线性组合仍为的解向量的线性组合仍为AX = 0的解的解.证证 设设1, 2, , s 为为AX = 0 的解向量，那么的解向量，那么 A(k11+ k22+ + ks

2、s ) = A(k11) + A(k22)+ + A(kss ) = k1 A1 + k2 A2 + + ksAs = k1 0 + k2 0 + + ks0 = 0. 所以，所以，k11+ k22+ + kss 仍为仍为AX = 0的的解解. W =XRn | AX = 0 为为Rn的子空间的子空间AX = 0的根底解系：的根底解系：W 的一组基的一组基.1o 假设假设1, 2, , s 线性无关线性无关;那么称那么称 1, 2, , r 为为AX = 0 的一个根底解系的一个根底解系.2o AX = 0的任一解向量均可由的任一解向量均可由1, 2, , s 线线性表出性表出 定理定理1 设

3、设R(A) = r n, 那么那么AX = 0有根底解系有根底解系且所含向量个数为且所含向量个数为n - r, 即即dimW = n - r, 这里这里n为为方程组未知数个数方程组未知数个数.证证R(A) = r, 无妨设无妨设A的前的前r 个列向量线性无关个列向量线性无关, 那那么么ObbbbBAnrrn1111111001,行初等变换行初等变换得得AX = 0的同解方程组的同解方程组nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,1111111分别取分别取,10001000121nrrxxx那么依次得那么依次得, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxx便得便得AX = 0的的n r

4、 个解：个解： 100,010,001, 121221111rnrrnrnrrbbbbbb可证明可证明: 1, 2, , n-r 即为根底解系：即为根底解系：线性无关线性无关100010001,(1) 证明证明 1, 2, , n-r 线性无关：线性无关： 1, 2, , n-r 线性无线性无关关为什么？为什么？(2) 可以证明可以证明AX = 0的任一解都可由的任一解都可由 1, 2, , n-r 线性表出线性表出.略略 设设 1, 2, , n - r 为为AX = 0 的一个基解系，的一个基解系，那么那么 AX = 0 的解的解 ， = k1 1+ k2 2+ + kn-r n-r ,

5、k1, k2, , kn-r R. AX = 0 的根底解系普通不独一，但其任一根的根底解系普通不独一，但其任一根底解系中所含向量个数必为底解系中所含向量个数必为 n (未知数个数未知数个数) - R(A). AX = 0 的的 通解通解 假设假设AX = 0有非零解，那么必有无穷多个解有非零解，那么必有无穷多个解.例例1 求方程组的通解求方程组的通解 02630284204232143214321xxxxxxxxxxx解解 026328421421A 3100000001421 0000310001421, 2)(, 42)( ARnnAR为求通解，可进一步化为为求通解，可进一步化为 000

6、0100021000031000142110351得同解方程组得同解方程组 43421103512xxxxx(x2, x4为自在未知量为自在未知量)根底解系为根底解系为 10,00121035121方程组通解为方程组通解为.R,212211 kkkkX例例2 解解 042075201063032321321321321xxxxxxxxxxxx解解 1001101003214217521063321A 000100110321r(A) =3 = n, 只需零解只需零解 X = 0例例3 解解 04320464203440324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 4

7、321464234411321A 3000600041201321 0000600041201321 00001000210520121 00001000010020121得同解方程组得同解方程组 021243231xxxxx(x3为自在未知量为自在未知量)根底解系为根底解系为,01212 方程组通解为方程组通解为.,RkkX 例例4 证明：与证明：与AX = 0根底解系等价的线性无关根底解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的根底解系的向量组也是该方程组的根底解系. 证证 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等相等. 设设1, 2, , s 是是AX

8、 = 0根底解系，根底解系， 1, 2, , s与之等价与之等价. 1, 2, , s可由可由1, 2, , s 线性表出，线性表出，所以是所以是AX = 0的解；的解； AX = 0的任一解的任一解X 可由可由1, 2, , s 线性表线性表出，出， 故，故， 1, 2, , s 是是AX = 0的根底解系的根底解系.又又1, 2, , s 可由可由1, 2, , s 线性表出，线性表出，所以所以X 可由可由1, 2, , s 线性表出；线性表出； 例例5 设设n阶矩阵阶矩阵A, B满足满足AB = 0, 证明：证明： R(A)+R(B) n.证证设设 B = (b1, , bn), 那那么

9、么AB = A(b1, , bn) = (A b1 , , Abn) = 0,A bi = 0, i = 1, , n.bi ( i = 1, , n)为为AX = 0的解，所以可由根底解系的解，所以可由根底解系1, 2, , n-r(r = R(A)线性表出线性表出.所以所以, 秩秩( B) =秩秩 (b1, , bn) 秩秩(1 , , n-r)= n-r(A).即即 R(A)+R(B) n.二、非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111即即 AX = b AX = b设设 A =( 1, 2

10、, , n), 即即x1 1 + x2 2 + +xn n = b,AX = b 有解有解 b可由可由 1, 2, , n线性表出线性表出 )()(ARAR(AX = 0称为称为AX = b的导出组的导出组)解的性质：解的性质： 性质性质1 设设1 , 2 为为AX = b 的解的解, 那么那么1 - 2为为其导出组的解其导出组的解.证证 A(1 - 2 ) = A1 - A2 = b b = 0所以，所以， 1 - 2为为AX = 0的解的解. 性质性质2 设设 为为AX = b 的解的解, 为为AX = 0的解，那么的解，那么 + 为为AX = b 的解的解.证证 A( + ) = A +

11、 A = b + 0 = b所以，所以， + 为为AX = b 的解的解.AX = b 的特解：的特解： AX = b 的任一解的任一解. 性质性质3 设设0 为为AX = b 的一个特解的一个特解, 那么那么AX = b 的任的任一解一解 可表为可表为 = 0 + , (为为AX = 0 的一个的一个解解) 对于对于AX = b 的任一个特解的任一个特解0, 当当 取遍它的导出组取遍它的导出组的全部解时，的全部解时， = 0 + 就给出就给出AX = b 的全部解的全部解. 性质性质3的证明的证明 = 0 + ( - 0 )为为AX = 0的解，设为的解，设为 为了求为了求AX = b 的通

12、解全部解，只需求其一个特的通解全部解，只需求其一个特解解0, 以及导出组的全部解即可：以及导出组的全部解即可： 设设0为为AX = b 的一个特解，的一个特解， 1, 2, , n-r为为其导出组的根底解系，那么其导出组的根底解系，那么AX = b 的通解为的通解为 X = 0 + k11+ + kn-rn-r , k1 , , kn-rR例例6 解解 221323532321321xxxxxxxx解解 2210131235111A 000022105111 000022103101, 32)()( nARAR有无穷多解有无穷多解得同解方程组得同解方程组 3231223xxxx(1)求非齐次的

13、特解求非齐次的特解:取取x3=0, 得得 0 =(3,2,0)T(2)求导出组的根底解系求导出组的根底解系:取取x3=1, 得得 =(1, -2, 1)T AX = b 的通解为：的通解为： X = 0 + k , kR例例7 解解2233235332321321xxxxxxxx解解221033235113A221022105113400022105113,)()(32ARAR无解无解例例8 解解23213213211xxxxxxxxx解解21111111A111111123221110111011)(32221200111011)()()()()(11210011101122,)()(31n

14、ARAR(1) = 1时，时，有无穷多解有无穷多解000000001111A得同解方程组得同解方程组 x1 = 1- x2 x3 导出组根底解系：导出组根底解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T非齐次特解：非齐次特解： 0 =(1, 0, 0)T原方程组通解：原方程组通解：X = 0 + k1 1 + k2 2 , k1 , k2 R(2) = - 2时，时，,)()(32ARAR无解无解(3) 1, - 2时，时，,)()(nARAR3有独一解：有独一解：2132122112)(xxx例例9 判别方程组有无解判别方程组有无解 2221221211cxbxacbx

15、axxx(a, b , c互不等)解解222111detcbacbaA )()(bcacab 0 , 3)( AR, 2)( AR( (为什么？为什么？) )所以，方程组无解所以，方程组无解例例10 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数矩阵系数矩阵A的秩等于的秩等于 02121111211nnnnnnnbbbbaaabaaaB的秩，证明上述方程组有解的秩，证明上述方程组有解. 证证nnnnnnnbaaabaaabaaaA21222221111211A的行向量组是的行向量组是B 的行向量组的部分组，的行向量组的部分组，A所以所

16、以的行向量组可由的行向量组可由B 的行向量组线性表出的行向量组线性表出,A的行向量组的秩的行向量组的秩 B 的行向量组的秩的行向量组的秩),()()(ARBRAR又又),()(ARAR故故),()(ARAR方程组有解方程组有解已已 知知1.).()(ARAART证明证明证证.,维维列列向向量量为为矩矩阵阵为为设设nxnmA ;)(,)(, 000TTxAAAxAAxx即即则则有有满满足足若若.,)()(,)(,)( T0000TTTAxAxAxxAAxxAAx从而推知从而推知即即则则满足满足若若,)(同同解解与与综综上上可可知知方方程程组组00TxAAAx思索题思索题( )()TnR AnR

17、A A).()( ARAART因因此此知四元齐次方程组知四元齐次方程组 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为 II.,R1221011021T2T1kkkk .,;,?说说明明理理由由有有若若没没求求出出来来若若有有是是否否有有非非零零公公共共解解与与问问III2. 解解 得得的的通通解解代代入入将将III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解为为与与故故IIIT2T2T1111112210110,kkk所所有有非非零零公公共共解解为为 .,01111Tkk 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的的通通解解求求bAx 3. , 1)(,3 ARmA矩矩阵阵是是.2130 无关的解向量无关的解向量个线性个线性的基础解系中含有的基础解系中含有 Ax则则令令,133221cba ,21231)(211 bca ,23230)(21