向量.板块一.向量的概念与线性运算.学生版

1、板块一.向量的概念与线性运算-2 -：丨丨卩-典例分析题型一：向量及与向量相关的基本概念【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由：(1) 共线向量一定在同一条直线上。(2) 所有的单位向量都相等。(3) 向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线。(4) 向量a与b共线，则a/b(5) 向量 AB/CD，贝V AB/CD。(6) 平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。【例2】给出命题零向量的长度为零，方向是任意的(2) 若a , b都是单位向量，贝U向量Au与向量D四点共线.)uuu LUU以上命题中，正确命题序号是()若非零向量AB与CD是共线向量，贝V A , B ,C 【例3】 如图

2、，在正方形 ABCD中，下列描述中正确的是(uuuUULILLULLA ABBCB.ABCDLULT_LUILILLUUUUULLUTC.AC2 ABD.ABBCABBC【例4】下列命题正确的是()A. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点r rr rC. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D. 有相同起点的两个非零向量不平行【例5】设畧为单位向量，若a为平面内的某个向量，则aa z；若a与质平行，则aa碁；r rnr uu若a与ao平行且|a 1，则a a。上述命题中，假命题个数是()A 0B 1C. 2D. 3【例6】下列

3、命题中正确的有：()uuu uuir四边形ABCD是平行四边形当且仅当 AB DC ;向量AB与BA是两平行向量；uuu uiur向量AB与CD是共线向量，则 A , B , C , D四点必在同一直线上；单位向量不一定都相等；(5) a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；平行向量的方向一定相同；【例7】判断下列各命题是否正确(4)向量就是有向线段两相等向量若共起点，则终点也相同(6)右 a b， b c，贝V a c ；(7) 若 a /b , b /c，贝V a/c(8) 若四边形ABCD是平行四边形 则AB CD,BC DA(9) a b的充要条件是|a| | b |且a/b ;【例8

4、】 在四边形ABCD中，AB = 2DC”是四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【例9】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由 向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上; 单位向量都相等; 任一向量与它的相反向量不相等；uui iuu 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 AB CD 模为0是一个向量方向不确定的充要条件； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同【例10】平面向量a，b共线的充要条件是()B. a , b两向量中至少有一个为零向量D.存在不全为零的实数i ,2, ia2b 0【例11】给出下列

5、命题：若a b，则a5 -若A , B,C , D是不共线的四点,uuuABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;c，则aa b的充要条件是c ；r r且 a / b其中正确的序号是题型二：向量的加、减法uui luuuur uuu【例12】化简(AB CD) (AC BD)【例13】化简下列各式：,、 r r rr ,、 r r r 1 r r r 7(a b) 8(a b)； 2(a 2b c) (4a 3b 2c) 6irrrirrrr ritr【例14】若3m 2n a , m 3n b，其中a , b是已知向量，求m , n.uuu uuu uuu【例15】设P是厶ABC所在平

6、面内的一点，BC BA 2BP，贝卩()UUUUUUJUULUA.PAPB0B.PCPA0UUTUUUTUUCIUUUUUUTC.PBPC0D.PAPBPC07【例16】如图，在平行四边形UU UUTA. AB DCUUU UULT UULT C. AB AD BDABCD中，下列结论中错误的是(UULT UUU UULTB. AD AB ACUUU UJU TD. AD CB 0UUU1 UUUBC-BA2UUU 1 UUUB. BC BA2UUU 1 UUUC. BC BA2UJU 1 UlUD. BC - BA.2UUT【例17】D是 ABC的边AB上的中点，则向量 CD ()【例18】

7、根据图示填空:A【例19】【例20】r b2已知O, A , B是平面上的三个点，直线UUUA. 2OAuuuOBUUU UUUOA 2OBC.F ,分别是ABC的三边AB上有一点2 UUTOA31 UUUOB3D.满足LUT2AC1 UUOA3BC、CA、UUITAB上的点，且DCUJU T CB 02 uuuOB3UUT UUT2BD, CELUIT贝y oc (UU UJU2EA, AFUUL2FB,B.同向平行D.既不平行也不垂直UULT UUU UUU , UU则 AD BE CF 与 BC ()A. 反向平行C. 互相垂直【例21】如图，D , E , F分别是ABC的边AB ,B

8、C,CA的中点，则UUTUUUUUUTUUUUUUUUTTA. ADBECF 0B.BDCFDF0UUTUUUUUUTUUUUJUUUTTC. ADCECF 0D.BDBEFC0【例22】如图所示E、F是四边形 ABCD的对角线 AC、BD的中点，已知ABr uur ruuua,CD c ,求向量EF .【例23】如图，在A ABC中，D、E为边AB的两个三等分点,r3agCAuuCD【例24】已知任意四边形 ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点，求证：Ef1 uuu严luir DC).【例25】Buuu uuu若|0A OB|uun uiuA .平行nu uuu|OA OB|则向量OA,

9、 OB的关系是B .重合C.垂直D.不确定【例26】若非零向量a , b满足2ba 2br brbr arB. 2b【例27】在ABC所在的平面上有一点A.B.C.，则（）r ra 2b1 1 1C. 2a a 2buuu uuu uur P，满足 PA PB PCrD. 2aa 2buuAB，贝ij PBC与ABC的面积之比16 -题型三：向量数乘运算及其几何意义* 4 f【例28】已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a、1 b、2直线上，则实数 t=.【例29】设a， b， c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知ar r r贝 V b a c .r ruuur r ujltr

10、 r uur【例30】已知a,b是不共线的向量，AB2a5b , BCa8b , CD中共线的三点是r ruuu rr uuu r【例31】设a,b是不共线的两个向量，已知AB 2ka (k2 2)b , BC a三点共线，求k的值.t ( a +b )三向量的终点在一b与c共线，且3(a b)，则 A B、C D 四点r uuu r rb , CD a 2b，若 A B、Dit uu【例32】设e ,e2是不共线的向量，已知向量uuuit uu uuu uin uuuAB 2e ke2,CB e 3e2 ,CDit in-2e ，右 A、B、D 三点共线，求k的值.【例33】已知A、B、C、

11、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对uiutuuu uuu实数 m、n,使 PC mPA nPB，且 m+n=1 .r r【例34】已知向量l10,( )A、0raR,2BBr brr r211，若向量a和b共线，则下列关系一定成立的是C、h / l2D、l20或 0【例36】已知：AB 3(e,62),A、A，B，C三点共线B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线D、B，C，D三点共线【例37】如图，在ABC 中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是()D【例35】D、E、F分别是 ABC的BC、CA、AB

12、上的中点，且BC a , CA b，给出下列命题,其中正确命题的个数是()AD1 a bBE1 . ab22CF1 1 . abADBE CF 02 2A、 1B、2C、 3D、 4BC $ e2, CD 2 e2，则下列关系一定成立的是(A .uuir BG2 uun BE3B.uuu CGuur2GFC.uurDG1 UULT AGD.1 uuu DA2 uju-FC1 uur-BCuu r uuur【例38】如图，已知AB a, ACr uuub, BDuuirr ruuur uuur3DC，用 a,b表示 AD，贝V ADr b rb 丄4 3- 4r a r a 1- 4 A cr

13、b r b 3-41-4 r a r a 1-43-4 B D2332【例39】已知ar b12k(2t 1)e3a，且a/b，试求t关于k的函数。【例40】证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.D【例41】向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知四边形ABCD，AC与BD交【例42】于O, AO=OC，DO=OB，求证：ABCD是平行四边形O是任意一点.已知口 ABCD的两条对角线 AC与BD交E，LUU HU UULT LUir uuu求证：OA + OB +OC +OD =4OE【例43】如图所示，A , A , A3,，A是eO的8个等分点，以Ai, A ,，A及0这9

14、个点中任意两个为起始点和终点的向量中，模等于半径2倍的向量有多少个？【例44】已知五边形 ABCDE , M、N、P、Q分别是边 AB、CD、BC、DE的中点，K、H分别 是MN和PQ的中点，求证：KH平行且等于-AE .4A【例45】如图，E、F分别是平行四边形 ABCD的边AD、CD的中点，BE、BF与对角线AC分别交于点R和点T .求证AR RT TC .（向量法）【例46】四边形ABCD中，E , F , M , N分别为BC , AD , BD , AC的中点，0为MN的中点, 试用向量的方法证明： 0也是EF的中点.【例47】在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O, E是线段0D的中点,AE的延长线与CD交于FADr b1- 2 r a1- 41 r1 r1 r 2 rC a -b D -a -b2 433【例48】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若uir jjj ujtAD xAB yAC ,贝U xy=【例49】