数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第二章习题答案

1、第二章 习题解答1. 比较维纳滤波器和K尔曼滤波器的主要界同点。解:(1相同点:都采用最小均方谋差准则來实现信号滤波:对大谋差抑制能力强,而对小 误差不敏感。(2)不同点：1) 维纳滤波垄于谱分解法,给III H(z)的闭式解:K尔曼滤波基于递推垠优估计理论,结果 以状态变吊的祜计值给吨2) 维纳滤波器要求知道随机信号的统计分布规律(观测信号的功率谱以及观测信号与期塑 信号的相关函数);I；尔曼滤波需耍已稣前一时刻状态的估计值和当前的观测数据,利用递 推关系给岀当前时劾的状态佔计值。3) 维纳滤波是信号进入了稳态后的分析;K尔曼滤波是从初始状态采用递推的方法进行滤波,即卡尔曼滤波仃过渡过程;对

2、于平稳随机信号.邇望过程结束以后，K尔曼滤波的稳 态解等丁因果维纳滤波器解。*|4) 维纳滤波器优点:简电易行:物理概念沾处.缺九不能丈时处PH：仅适川丁维平稳 随机信号。卡尔曼滤波优点:适合于讣算机处理；叩U来处张多维和非平稳随机信号。2. 维纳滤波器和维纳线性预测的实质是相同的,为什么说Yule-Walker方程较维纳後夫方程更冇意义。.解：维纳鬣夫方程需要己知期規臂与观测数据的有相关函数卑观测数据的I相关函数, 通过求逆和矩阵乘法得到最佳的心)。为选择的滤波器长汝M较人时，计算丄作量很大, 目儒要计算自相关阵的逆矩阵,从而瑚的存贮钛也很大。此外,在具休实现时,滤波器的 长度足山实验來确定

3、的，如果想通过用加长度捉高逼近的粘度，就需耍/l?W M 础I-电新 进行计算。Yulc-Walker方程具心的如卜特恵和优点而便符辛比维纳餐夫方程更心怠义：+1个方和I!除了笫-个方程外，具余部足齐次方程；可以采用Leinson-dinhn递推公v|w(2)与维纳崔夫方程相比,不需知道疵测数据与期望廿号的互和关函数。该方用仃严I个方程，对应地，可以确定个系数你, = L2。和亟2(”)心，共计P+1 个未知数，因此可用來求解AR模型参数。这就足AR模住法进行功率谱估计的原理，它再-次揭示了时间序列信号模型、功率谱和相关两数瓜述个随机信号的等价性。3. 设线牡滤波器的输入佶号为|x(/) =

4、5(/) + v(/),共jtE5(/) = 0,Ev(/) = 0, II.&(r) = c |r|,/;v(r) = e 2|rl.(r) = 0,求内果连续维纳滤波器的传递函数。解:求输入信号的功率谱及其信專模盘对(，Q.(r)iM边拉氏变换，得同理：Cs) = _(-2Re(.s)2) G() = 0:匚(C = E(5(/) + 叩)($(/ + r) + v(t + r)= /;,.(r) + /；T(r)对上式两边敢双边拉氏变换,得6(72+5)(72-5)24一 一、一 一人“)血 + M)+ =济($)(2 ；) Z)(/)取双边拉氏变换.彳“6(72 + 5)( s/2-5

5、)(l + s)(2 + y)(l-$)(2-$)(-1 Re(.s) (s)= (l+s)(2 + s)(1-$)(2-$)(2)址件因果连续维纳滤波器求解般形式F将左半T而冬极点给*()云=6, B(a)=先将W)白化，再进行处理画出该肉果连续帥蹴器如卜所示:G“)的逆拉氏变换为 g(/) 则;(/) = 5(/) = M(/)*g(/) = J (r)M(/ 一 r)c/rE|e(/)| = E5(/)-J zK(r)B-(/-r)dr =E卜(/) + g*(.v)g(r)Ei(/ - x)h(/ -r)didx 一g(r)E/(r)M-(/ -T)dT- / (CE$)wp - 厂)

6、冲= (0)+J/ 久g(C-辿仃CT：才作拉氏变换,得G(s)=二貝(叽耍使E”(/)门恥小，则g(r) =，；j(r)该因果维纳滤波器的闵I；解为刃如二丄G($)二丄丄/%)BG)(7； B(s) 1 ”八 K(3)求具体结果Fh x(/) = w(t) * b(t) t s(i) = s(/) * 5(/)Fll 相关卷积宦理，得/(r) = /;.5(r)*Z(r)对上式进行拉氏变换，得(.v) = 空土(一 S).G“)= 0,(r) = /;/T)= e_|r|.d法(亠R如)2(2$)(-1 Re(5)/2-5),=(y + l) 2(27)(1+以运-叭i 一血+1E(g(z

7、(Re(5)JH心丽2 + $ 6W)坨丽曲心1云 72+5(V2+l)(1+.v)6 y/2+s (x/2+l) x/2+1 y/2+s12 + 5(Re(5)-V2)4.设LL知 x(/) = s()+ ”()，以及 Pv(z)=0.92(1环心0.4或几几“具中s()衣示希塑得到的伫号,()表不加性门噪川j。求具物理可咲现的人|果维 纳滤波器的H叩及E|c()爲,非因果情况F的结果如何？解：(I)求功率谱和信号模型二v巴(Z)= 0 ：(加)=0 ,即噪声和信号正交对上式两边进行Z变换,得0.92(l-0.4z_，Xl-0.4z) ，_2(l-0.2z)(l-0,2zl) _(1-04)

8、(1-04)b沁)(八)1一02 八 .,1一0v B(z) Ji因果稳定系统，町彳 ,cr； = 2(z )=八1 - 0.4zl 04z（2）求物理对实现的因果维纳滤波器Hop（z）及E/（）hm1 I1 040.921 0.4此 B(z)耐）2(l-0.2z-1)(1 04zT)(1 0.4z) l-0.2z 0.92令二1(1一0.4八)(l-0.2z)(1-0.4 *) l-0.2z0.92(1-0.2-0.4)(1-0.4z：)(l - 0.2z)X(1 - 0.4)(1- 0.4z J)1一04广战”吻(二)=2(1-0.2zT1-0.4z= 2 ”opt一 0.2E|()mm

9、=右沙.(化(z) -) 0.92dz1 I0.922兀j 乂l(1 04z i)(l 0.4z)2 l-0.2z 1(l-0.4z i)(l04z)丿 z1 币0.92dz_ ZrJ也2(1-04三)(1-02乙7) T0.92令陀2乔阿ET7单位沁只刖”(卅Ln 二 ReM(z),02 =0.922(1- 04z)(l - 0.2z)x ； %(三 _ 2)=0.2而未经滤波的均方误寿Ep（）|： = |x（） s（“）f（3）卜而讨论非因果的情况脸二dM耳iwf(10.46W 化 + () 2(l02z)(l 02k) (l-0.2zXl-0.2z-1)(10.4八)(1一04訂Itim

10、ediaEl讪古呱巴-兀心心疔_ 丄巾(0.92046诞_ 27也(1 0.4z )(l-0.4z) _ (I-0.2z)(l-0.2z *) (l-0.4z )(l-0.4z)JT =1 q 0.92(1 -0.2z)(l-0.2z)-0.46x0.92 dz_ 石7(1 - 0右)(1二0.4z)(l -0.2z)(l -0.2k) 7丄戊0.46 dz27/ (1-0.2z)(1-0.2z !)TF(z) = 丄，中位恻内仃一个极点z.=0.2,山昭数定理得(l-0.2zXl-0.2z*) zE”()门 =Re5F(z),0.2 =- (z -0.2)=U刃Jmm(1-02打0-02广)

11、z K 十485.两个离散时间系统的垄分方程分别是1y() _ 0.5 v(/- 1)- 0.49$(- 2) + 0.125y( _ 3) + 0 06j(/z _ 4)=x( 一 1) 一 0.3x(/? 一 2) - 006x(/-3) + 0.008x( 一 4)(2) y()0.9$( -1)-0.2y(_2) = 丫()+ x(_ 1)试求其状态方程和输出方程。tion Lab解：（1）系统曲数形式为Hz） =-0.3尹-()巒厂+ 0.008存1 - 0.5Z1 - 0.49z-2 i 0.125z3 + 0.06ztion Laby伙）=0008人伙）一0.06需伙）一0.3人

12、伙）+入伙）/(A + 1)-/L(A) 入伙+ 1) =入伙) 心伙+ 1)二心伙) A4(k +1) = -0.06/ (A) 一025入伙) + 049/伙) +0.5 人(灯+ x()则状态方程和输出方程分别为tion Lab入伙+1）入伙+1）人伙+ 1）00-0.0600-0.1251 0 010010.49 0.5Uk)y(A) = 0.008 -0.06 -0.3 17 7 )z XI/ AA AA fA z( /V /( z 人入入儿 0010010 0c0A =0001J0一 0.06-0.1250.490.5（2）系统函数形式为H（“-C = 0.008 -0.06 -0

13、.3 1. D = 01+厂1-0.92 1 -0.2z人伙+1） 一入伙）人伙十1） = 0.2入伙）+ 0.9伙）+ x伙）丿（丘）=心（灯+ 0.2入伙） + 0.9爲伙）+工伙）则状态方程和输出寿程分别为y(k) = 0.2 1.9 0 1二00.2 0.91x(幻W 入伙)人伙+1）入伙+ 1）1 I &(灯 |0().9入伙)1JeaJ6. 个离散时间系统的状态方程和输出方程为W(+1)-2”:(+l)0I （?）卜帥、皿卩0试求该系统的系统函数和耒分方程妙;（）足（）解:W 4A2(z)船3“）見一二一） 二5:卜z-2 -0.50z-1/(二)A2(r)+ %）二M(z)=4(

14、i + 2+/”2 + Ff + 2 (z 2)(z 1)1 + z10.820.82=巴 + 化=（z - 0.6）（/ 一 0.6） _2.（7紳（训（）(1一06以)(1 06訂_ 2(l03z丨)(1一03刃- (-06)(-0.6)1一3严+2广2” -3z + 2故差分方柿为y（）_3y（_ l） + 2y（_2） = x（） + x（一 1） o7设系统模型尢（“）“（） +咻），其中咻）是均值为0、方怎为1的白噪声,l.s（） 和v（n）不申I关，设$（）的信号扌*型为$（ + 1） = 0.65（/?） + w（）, w（“）是均值为0、 方差为0.82的白噪声。K（1）求其

15、因果维纳滤波器的传输函数（2）设切） = 0,求一步线性预测系统的传输函数解：（I）求因果维纳滤波器的传输换数 对s（ +1） = 0 6s（）+ w（）两边进行Z变换,行2S(z) = 0.6S(z) + W(z),故(z)二二一!W(z) z 0.6Q Q*III J-5（/7）与W）不相关（因为均值为0,就是IF交几二几/、，.（”06）（ -0.6）设激励工（）的口噪川为叫（），条统凶数为B,则皿）是因果稳定的，（沪备陀-圧|兀=2 1-06 0.82l)J+ _2(l_03w l)(z-0.6)(z-06)z 丨-0.6 z |-031-U.6z 1 0.82 -2(l_0.3z)(

16、l 0.6z J(1 -0.3z)7 、0.821故1一0.6广/()=2(1-0.3z,) l-0.6z2(1-0.3z J(1-0.6)(1 -03z)+(l-0.6z !)0.82-10.6 0.36_ 1_XmIJ0.6 1 0.6500.36 0.61ci26r, =-0.6,=0,E |e(/)|4132ill匕式得,= 0.82当旳）=：0时E)- /)-( _o 62)(1 _ o.6z_,)41| .对（Z）进行逆Z变换，得到x（）的I相关唄数 .（7W）= .0,6|wa厶取模型阶数/ = 2.各相关换数山上式计算，代入Yule-Walker若取 =3 ,计算町得q = 0

17、.6,t7; = 0“所以模型阶数/? = 1 v(/z) = x(n) = 0 6,v(/z I)山上式町得步线性预测系统的传输函数为：片（2）=丄11 = o.6%） 种求法：山 $（）二 x（/i）及 s（n + 1）二 0.65（/?） + w（）得 x（） 一 0.6x（/? - 1） =）r（/z - 1）, iinwiimiaiu故相半于阶AR模型，系数q=0.6,故（严0山=一0严06,贝9步线性预测系统的传输函数为：刃二工（灯尹二0.6刃*=08.己知观测数据x（-l）,x（-2）,班-/几，要求用维纳纯预测实现兀何的 预测，写出计算方法及相应公式。解：系统的输入为x（-）,x（-2）,x（-“）,，先经过白化滤波器肝（Z）得到白噪声输出w（ l）,w（-2）,，设待求的单位脉冲响应为g（k）,k 0 ,则x（一l）, x（” 一 2）,.y（ii） = i（w）W（一 l）jr（一 2）（/）二 x（/）=工 g（k ）w（ 一 k）Ar=lE|e（） = E x（） -若 g（柳S *）a -HO、；=E|x（） + 2g（）g（）EM -加）w（ - ） m=