福州市高三5月综合练习文科数学试卷及答案

1、2014届福州市高三5月综合练习数学(文科)试卷 第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合a=x|x2(a+3)x+3a=0,b=x|x25x+4=0,集合ab中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为( ) a.0 b.0,3 c.1,3,4 d.0,1,3,42.抛物线y=2x2的准线方程为( )a.b. c. d.3.已知ar,且a0,则是“a1”的( ). a.充分非必要条件 b.必要非充分条件 c.充要条件 d.既非充分又非必要条件4.函数y=ln(x+1)与的图像交点的横坐标所在区间为(

2、 )a.(0,1) b.(1,2) c.(2,3) d.(3,4) 5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为,则判断框内应填入的条件是( ) a.k3 c.k46.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )7.函数(0x9)的最大值与最小值的和为( ). a. b.0 c.1 d.8.如图,半径为r的圆c中,已知弦ab的长为5,则=( )a. b. c

3、. d. 9.已知直线a,b异面, ,给出以下命题:一定存在平行于a的平面使;一定存在平行于a的平面使;一定存在平行于a的平面使;一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点.则其中论断正确的是( )a. b. c. d.10.已知p(x,y)为椭圆上一点,f为椭圆c的右焦点,若点m满足且,则的最小值为( )a. b.3 c. d.111.在abc中,若a、b、c分别为角a、b、c所对的边,且cos2b+cosb+cos(ac)=1,则有( ). a.a、c、b 成等比数列 b.a、c、b 成等差数列 c.a、b、c 成等差数列 d.a、b、c成等比数列12.已知都是定义在r上的函数，,且（）,

4、对于数列(n=1,2,10),任取正整数k(1k10),则其前k项和大于的概率是( ). a. b. c. d.第卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下,2;,3;,4;,5;,4;,2.则样本在上的频率是 14.已知函数(其中,)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式是 .15. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .16.已知且,现给出如下结论:;的极值为1和3.其中正确命题的序号为 .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本小题

5、满分12分)已知是一个公差大于0的等差数列,且满足.(i)求数列的通项公式;()若数列和数列满足等式:(n为正整数) 求数列的前n项和. 18. (本小题满分12分)如图,经过村庄a有两条夹角为60的公路ab,ac,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂p,分别在两条公路边上建两个仓库m、n (异于村庄a),要求pmpnmn2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)19.(本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为.试就方程组() 解答下列问题:()求方程组没有解的概率;() 求以方程组

6、()的解为坐标的点落在第四象限的概率.20.(本小题满分12分)已知正abc的边长为, cd是ab边上的高,e、f分别是ac和bc边的中点,现将abc沿cd翻折成直二面角a-dc-b,如图所示. ()试判断折叠后直线ab与平面def的位置关系,并说明理由;()若棱锥e-dfc的体积为,求a的值;()在线段ac上是否存在一点p,使bpdf？如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线c1经过点p(2,2),以c1上一点c2为圆心的圆过定点a(0,1),记为圆与轴的两个交点.(1)求抛物线的方程;(2)当圆心在抛物线上运动时,试判断是否

7、为一定值？请证明你的结论;(3)当圆心在抛物线上运动时,记,求的最大值22.(本题满分14分)已知函数 ().()若,求函数的极值;()设 当时,对任意,都有成立,求的最大值; 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.2014届福州市高三5月综合练习数学(文科)参考答案1-6 dbbbcc 7-12 abdadd13. 14. 15 . 1/2 16 . 17. (i) an是一个公差大于0的等差数列,且满足.an=2n1-4分()n2时,-8分n2时,sn=(4+8+2n+1)2=n=1时也符合,故sn=2n+26-12分18.解法一:设amn，在amn中，因为mn2,所以amsin(12

8、0) 2分在apm中,cosampcos(60).4分ap2am2mp22 ammpcosampsin2(120)422 sin(120) cos(60) 6分sin2(60) sin(60) cos(60)41cos (2120) sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150),(0,120) 10分 当且仅当2150270,即60时,ap2取得最大值12,即ap取得最大值2.答:设计amn为60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小12分apmnbc第17题图d解法二(构造直角三角形):设pmd,在pmd中,pm2,pd2sin,md2cos.2分在amn中,an

9、mpmd,amsin,adsin2cos,(时,结论也正确).4分ap2ad2pd2(sin2cos)2(2sin)2sin2sincos4cos24sin2 6分sin24sin2cos2sin(2),(0,).10分当且仅当2，即时，ap2取得最大值12，即ap取得最大值2 此时aman2,pab30 12分解法三:设amx,any,amn.在amn中,因为mn2,man60,所以mn2am2an22 amancosman,即x2y22xycos60x2y2xy4.2分因为,即,所以siny,cos.4分cosampcos(60)cossiny.6分在amp中,ap2am2pm22 amp

10、mcosamp,即ap2x2422xx24x(x2y)42xy.10分因为x2y2xy4,4xyx2y22xy,即xy4.所以ap212,即ap2.当且仅当xy2时,ap取得最大值2. 答:设计aman2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 12分 解法四(坐标法):以ab所在的直线为x轴,a为坐标原点,建立直角坐标系.设m(x1,0),n(x2,x2),p(x0,y0).mn2,(x1x2)23x4.2分mn的中点k(,x2) mnp为正三角形,且mn2,pk,pkmn,pk2(x0)2(y0x2)23, kmnkpk1,即1,4分 y0x2(x0),(y0x2)2(x0)2(1)(x0

11、)23,即(x0)23,(x0)2xx00 x0x2,x0x12x2,y0x1 6分ap2xy(2x2x1)2xx4x2x1x244x1x244212,10分即ap2. 答:设计aman2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 12分解法五(几何法):由运动的相对性,可使pmn不动,点a在运动.apmnbcfe由于man60,点a在以mn为弦的一段圆弧(优弧)上,4分设圆弧所在的圆的圆心为f，半径为r，由图形的几何性质知:ap的最大值为pfr.6分在amn中,由正弦定理知:2r,r,8分fmfnr,又pmpn,pf是线段mn的垂直平分线.设pf与mn交于e，则fe2fm2me2r212即fe

12、，又pe.10pf,ap的最大值为pfr2. 答:设计aman2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小12分19.解:()由题意知,总的样本空间有组 1分方法1:若方程没有解,则,即 3分(方法2:带入消元得,因为,所以当 时方程组无解) 所以符合条件的数组为, 4分 所以,故方程组没有解的概率为 5分()由方程组得 6分若,则有 即符合条件的数组有共有个 8分若,则有 即符合条件的数组有共个 10分所以概率为 ,即点p落在第四象限且p的坐标满足方程组()的概率为. 12分20.解(1)ab/平面def,如图.在abc中,e,f分别是ac,bc的中点,故ef/ab,又ab平面def,ab/平

13、面def, 4分(2)adcd,bdcd, 将abc沿cd翻折成直二面角a-dc-badbd,ad平面bcd,取cd中点m,则em/ad,em平面bcd,且em=a/2,a=2. 8分(3)存在满足条件的点p.做法:因为三角形bdf为正三角形,过b做bkdf,延长bk交dc于k,过k做kp/da,交ac于p.则点p即为所求.证明:ad平面bcd , kp/da,pk平面bcd,pkdf,又 bkdf,pkbk=k,df平面pkb,dfpb.又dbk=kbc=bck=30,dk=kf=kc/2.故ap:oc=1:2,ap:ac=1:3 12分21.(1)由已知,设抛物线方程为x2=2py,22=

14、2p2,解得p=1.所求抛物线c1的方程为x2=2y.-3分(2)法1:设圆心c2(a,a2/2),则圆c2的半径r=圆c2的方程为.令y=0,得x22ax+a21=0,得x1=a1,x2=a+1.|mn|=|x1x2|=2(定值).-7分法2:设圆心c2(a,b),因为圆过a(0,1),所以半径r=,因为c2在抛物线上,a2=2b,且圆被x轴截得的弦长|mn|=(定值)-7分(3)由(2)知,不妨设m(a-1,0),n(a+1,0),-12分22.解: ()当a2,b1时,f (x)(2)ex,定义域为(,0)(0,).所以f (x)ex.2分令f (x)0,得x11,x2,列表x(,1)1

15、(1,0)(0,)(,)f (x)f (x)极大值极小值由表知f (x)的极大值是f (1)e1,f (x)的极小值是f ()4.4分() 因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex,当a1时,g (x)(x2)ex.因为g (x)1在x(0,)上恒成立,所以bx22x在x(0,)上恒成立 7分记h(x)x22x(x0),则h(x).当0x1时,h(x)0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x1时,h(x)0,h(x)在(1,)上是增函数;所以h(x)minh(1)1e1; 所以b的最大值为1e1. 9分解法二:因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex,当a1时,g

16、(x)(x2)ex.因为g (x)1在x(0,)上恒成立，所以g(2)e20,因此b0.5分g(x)(1)ex(x2)ex因为b0,所以:当0x1时,g(x)0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x1时,g(x)0,g(x)在(1,)上是增函数所以g(x)ming(1)(1b)e1 7分因为g (x)1在x(0,)上恒成立，所以(1b)e11,解得b1e1因此b的最大值为1e1.9分解法一:因为g (x)(ax2a)ex,所以g (x)(axa)ex.由g (x)g (x)0,得(ax2a)ex(axa)ex0,整理得2ax33ax22bxb0.存在x1,使g (x)g (x)0成立.等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立 11分因为a0,所以.设u(x)(x1),则u(x)因为x1,u(x)0恒成立,所以u(x)在(1,)是增函数,所以u(x)u(1)1,所以1,即的取值范围为(1,).14分解法二:因为g (x)(ax2a)ex,所以g (x)(axa)ex.由g (x)g (x)0,得(ax2a)ex(axa)ex0,整理得2ax33ax22bxb0.存在x1