第五公设”的故事

1、第五公设”的故事在第六章平面图形的认识（一）的学习中，我们 学到了 很多简单的几何知识，这些知识源自人类历史上的光 辉巨著几何原 本，作者为欧几里得，是一位古希腊伟大的数学家.我们所学的 几何通常称为“欧几里得几何”或“欧 氏几何”，就是以他的名字 来命名的.几何原本这本书上一共有五条公设，大家都知道公 设又叫“公理”，是不需要 证明直接用的.其中最后一条公设是这 样表述的：“若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于 两直角之和，则 两直线延长后必相交于该侧一点.”关于这条公设 背后有着很多有趣的故事.在写几何原本的时候，欧几里得总是对这最后一条 公设感到 不大满意，为什么呢？由于它的叙

2、述不像其他四条 公设那样简洁明 了，所以当时就有人怀疑它不像一个公设而 更像一个定理，并由此产 生了从其他公设和定理推出这条公 设的想法.从此，也就是从古希腊时代开始，数学家们就没有放弃对第五公 设消除疑问的努力：他们或寻求以一个比较容易接 受且更加自然的等 价公设来代替它；或试图把它当做一条定理由其他公设、公理推导出 来.在众多的替代公设中，今天最常用的就是我们第六章学的平 面图形的认识（一）中一条公理：“过一点外有且只有一条直线 与这条直线平行.” 一般将这一结论替代公设的创意归功于苏格兰 数学家普莱菲尔，然而问题是：所有这些替代公设并不比原来的第五 公设更好接受，更加自然.文艺复兴时期对

3、希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第 五公设.然而，每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价 的假定，要么存在着其他形式的推理错误而且，这类工作中大多数 对数学的进展没多大现实意义.因此，在18世界中叶，达朗贝尔 把第五公设的证明问题称为“几何原理”中的家丑.“数学王子”高斯在15岁的时候，也曾经试图证明过 第五公 设，并且他在证明其过程中有了新的发现.与此同时，高斯大学时 代的同学一一W.波尔约，虽然也曾经从事第五公 设的证明，但是没 有突出的成就.在大学时代，老师认为高 斯和W.波尔约将是会在数 学上有杰出成就的人，然而，最后扬名的只有高斯一人，原因可能是W.波尔约错误地把第五公

4、设当做 了自己的研究对象，对此没有突出的成就.然而，W.波尔约的儿子 约翰？波尔约在研究第五公设的问题时有了新的发现.21岁的约 翰？波尔约在写给父亲的信中说：我已从乌有中创造了整个世 界.” 1823年，父亲把儿子的成果一个关于与欧几里得平行公设 无关的空间的绝对真实性学说附在自己几何著作之末，并把该书寄 给高斯.然而高斯冋信说：“称赞他就等于称赞我自己，整篇文章 的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我在30至35年前 的思考不谋而合 ”回信使年轻的约翰？波尔约倍感失望，他认为 高斯剽窃了自己的成果，于是抛弃了心爱的数学，而去研究神学了. 但是为什么高斯在30年前发现的成果却一直没有发

5、表呢？主要是因 为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的 攻击.高斯虽有“数学王子”的美誉，但对于此，却怯于与传统公 开挑战.其实在高斯的遗稿中可以了解到：第五公设不能从其他欧 几里得公理中推理出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中 不成立的新几何，他先称之为反欧几里得几何，最后改成为 非欧几何.而非欧几何的诞生则是数学史上的一件大事， 它开辟了几何新领域.那么，在高斯对自己的发现秘而不宣，约翰？波尔约又去 研究 神学之后，谁最早、最系统地发表了自己的研究成果 呢？答案是罗巴 切夫斯基，一个最坚定地宣传和捍卫了自己的新思想的伟大数学家. 他用与第五公设相反的断言：通过 直线外一点，可以引不止一条而至 少是两条直线平行于已知直线，作为替代公设，并由此出发进行逻辑 推导而得出一连串新几何学的定理，形成了一个逻辑上可能的、无矛 盾的理论，这就是高斯遗稿中所命名的非欧几何.从第五公设的故事中可以看出数学家们对待数学的严谨性在 我们数学的学习过程中，也应当学习他们的这种怀疑一切的精神. 但是我们不能像约翰？波尔约一样，因为别人 比自己先出了成果， 就认为别人剽窃了自己的成果，最后自暴自弃，去研究神学；也不能 像高斯一样，为了自己“数学王子”的美誉，怯于与传统挑战.因 此，我们在学习数学的时候，更多的是要有对数学的好奇心和勇敢尝 试的心，要勇 于尝试一些新东西，