应用随机过程8-随机积分

1、第8章 随机积分一Ito积8.1关于随机游动的积分 8.2关于布朗运动的积分8.3Ito积分过程8.4 Ito公式8.5 Black-Scholes模设X/,X2，.是独立的随机变量，PXl =1 = PXf =-1=（公平赌博）。令为表示相应的游动,S“ = X + X2+ X”。令代=o（X,X2，,X令瓦表示化一1可测的随机变量序列（第次赌注），则第次收益为乙二工 BX =工 Bt （S 厂 S）=工 BtASti-lz=lz=l这里S（）=0,称乙为3“关于S”的积分。注:易证乙是关于化的鞅，即EZn+m Fn = Zn,且EZn = 0若假定E氏 oo，则77畑（ZJ = EZ：二工

2、码2Z=12010-8-1理学院施三支设B为一个标准Brown运动。考虑一个简单过程X:设0 =心：_ V：=卩为0,厂的一个分害1,存在常数c,Ci，,c“i,使得9YzM Jc，若UCq 右tj t tM,i =0丄,_1nX(f) = Co/o(O +工认齐Al定义一个关于Brown运动的积分：nJX(f)dB(f) =q(B(%)-B4)(1)z=lX(f)dB(f) = Eq(B()-B()(1)Z=1公式左边是一个Gauss分布的随机变量，均值为0,方差为 畑(X (%(“) =工寸亿+H)Z=1下面推广到较一般的情形：2010-8-1理学院施三支、简单过程Ito积分的定义定义8.

3、2.1 设X(0,0r:T为一个简单随机过程，即存在0,7的一个分割 0 = tQ - tn_x tn = T ,随机变量轨,匚，加,使得是常数，：依赖于但不依 赖于右异=0,1,屮一1,并且nX(f) =泵)+工詁皿N)定义1=1TnZ=1称之为X关于B的Ito积分，简记为XdB,二、简单过程Ito积分的性质性质8.2.1(1)线性 若X(t), Y(/)是简单过程，贝U(必+ 阳小力二订 X (t)dB(t) +歼 Y(t)dB(t) 这里0是常数。rT其中/“是区间S，切u 0,T的示性函数。性质8.2.1(3) 零均值性如果E2oo(i = 0,l, 1),贝U町(4) 等距性女口果E

4、fj oo(i二0,1,屮一1),则(E2=下面将Ito积分推广到更一般的情形:三、可测适应过程Ito积分的定义设X*是F.V.列，代是6代数流，如果对任何X, Xn 0是随机过程，Fnt 0是6代数流， 如果对任何X(f)是耳可测的，则称X关于厲适应的。记v = h:h是定义在0 Tl的可测适应过程,满足 E/z2(s)soov = h:h是定义在OT1上的可测适应过程, 满足 E/z2g)soo定义823设f ev(05r),则于的Ito积分定义为T. rTf(t.(o)dB(t. q) = lim 血(匚亿 q)0ns Jo这里0是初等随机过程列，使得当Too时，可:/-血问TO(4)例

5、8.2.1设/是连续函数，考虑下面两种情况下的 /(B(f)dB(f) 的二阶矩是否存在。.2.f 二 f ./(0 = e注:将“改为如下更广泛的形式v=h:力是定义在0,门上的可测适应过程，满足h2(s)ds 0,Xgv对任何tT ,积分x(s)dB(s)是适定的 例822 求积分J = tdBQ)的均值和方差。例823估计使得积分f1 (1-tya庞定仅的值。Jo8.3 Ito积分过程积分y(r)= x (s)dB(s)是一个随机过程。定理831 设并且EXs)ds ,贝IJ 丫二x(s)個;s), 0tT是零均值的连续的平方可积鞅(即sup EY2(t) 00)0toY(t)也是平方可

6、积鞅。,0“訂是ito积分,J0如果在依概率的意义下，极限定义8311陀叫）-当矿；0遍取Of的分割，且其模q二max（第-0in-l时存在，则称此极限为丫的二次变差，记为r,r（0定理833设 y(0 = X(s)dB(s), 0tT 是 Ito 积分,y,y(0= fx2(5)(5)JO8.4 Ito公式定理831设g是有界连续函数，仏是0刀的分害Q,贝【J对 任何 W（B（Xi）,BS）,（即B（詹）之间的任意值）, 依概率意义下的极卩-1ft巴工 g ）3（匚）-B（f ）2 = Jo g（B（s）dsn i-定理842 Ito公式如果/是二次可微函数，则对任何T,有ZW）= /（O）

7、 + 打 W皿 G）+抑（BG）冲（6）定义8.3.1如果过程Y = y(0,0 t 卩可以表示为 y()= y(o)+ r(s)dB(s) 其中过程“(f)和cr(r)满足(1) . “是适应的，并且力00，a.s,*(2) . a(t) e v则称Y为Ito过程注：将Ito过程记为微分形式：dY=“力 +（T0t T（7J函数“（f）称为漂移系数，cr（f）称为扩散系数。它们可以依 赖于丫或B（ss0)，使得dXt - bXtdt + oXtdBt(8)其中b称为期望收益率，b称为波动率，由Ito公式得2X广 Xexp-丁) + 码注:方程(8)是随机微分方程。随机微分方程的一般形式为X,

8、 = X。+ b(s, XJt/s + b(s, X J姐(9)nJ/cjdXt =b(t,XJdt + cr(t,XJdBt定理8.5.1若加墙足：存在常数C0,使得| x) - cr(t, y) | +1 b(t, %) - bQ, y)Cx-y 则方程(9)存在唯一解X, o：、Black-Scholes方程设一种标的资产为股票的欧式期权持有人在t时刻的 损益为/(SJ,股票价格S,满足dSt = SQbdt + adBt)设该期权的交割时刻为八 交割价格为K,问在片0时刻购 买这种期权应付多少钱？当/(S= (Sf-K)+时，这个期权称为欧式看涨期权，看 涨期权的卖出方有在时刻：T以价格K卖给乙方(期权的买入 方)该期权所系股票的义务，但乙方可以购买也可以不买。当/(S= (K-SJ+时，这个期权称为欧式看跌期权，看 跌期权的卖岀方有在时刻T以价格K从乙方(期权的买入方 买进该期权所系股票的义务，但乙方可以卖也可以不卖。设在卩时刻的损益为f(Sr)的股票期权在时刻r(o的价 格为F(t,SJ,在AO时该期权的定价为/o=F(O,5o),则 由Ito公式可知,F(t,SJ所满足的微分方程为dF 12 252F8F 口 门a x + rxrF