2021-2021版高中数学第三章变化率与导数3计算导数学案北师大版选修1-1

1、3计算导数【学习目标1.会求函数在一点处的导数2理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.问题导学知识点一导函数思考 对于函数f(x)，如何求f、f(x) ? f(x)与f 有何关系?梳理 如果一个函数f (x)在区间(a, b)上的每一点x处都有导数，导数值记为 f(x) ?那么f (x)是，称f(X)为f(x)的，通常也简称为 区别联系f ( xo)f (Xo)是具体的值，是数值在x= xo处的导数f ( X0)是导函数 f(X)在x = xo处的函数值，因此求函数 在某一点处的导数，一般先求导函数， 再计算导函数在这一点的函数值f (x)f (x)是f(x)在某区间1上每一点都 存在导

2、数而定义的一个新函数，是函数知识点二导数公式表函数导函数y= c( c是常数)y=y= x ( a为实数)y=xy= a ( a0, a* 1)y=xy = ey=y = logax(a0, a* 1)y=y= In xy=y = sin xy=y = cos xy=y = tan xy=y = cot x, 1y =祜题型探究类型一利用导函数求某点处的导数例1求函数f(x) =-x2 + 3x的导函数f(x)，并利用f(x)求f (3) , f ( 1).反思与感悟f(Xo)是f(x)在x = xo处的函数值.计算f(Xo)可以直接使用定义，也可以先求f (X)，然后求f ( X)在x =

3、Xo处的函数值f(xo).1跟踪训练1求函数y= f(x) = -+ 5的导函数f(X)，并利用f(x)，求f (2).X类型二导数公式表的应用例2求以下函数的导数.(1) y = sin ； (2) y = x x ； (3) y= log sx ； sin xx y = x；(5) y=5.2X2cos 1反思与感悟对于教材中出现的8个根本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin号=23是常数，而常数的导数一定为零，就n%不会出现sin可=cos 这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可先33转化为指数式，再利用公式求导.跟踪训练2求

4、以下函数的导数.(1) y =(1 y = 2cos2|-1.类型三导数公式的综合应用命题角度1利用导数公式求解切线方程例3点P( 1,1)，点Q2,4)是曲线y= x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线,假设有，求出切线方程，假设没有，说明理由.引申探究假设例3条件不变，求与直线 PQ平行的曲线y= x2的切线方程.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1) 切点处的导数是切线的斜率；(2) 切点在切线上；(3) 切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练 3过原点作曲线 y = ex的切线，那么切点的坐标为 ，切线的斜率为命题角度2利用导数公式求参数例4 直线y =

5、kx是曲线y= In x的切线，贝U k的值等于()11A. e B . e C. D . ee反思与感悟解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程.跟踪训练4函数f(x) = x, g(x) = aln x, a R,假设曲线y= f (x)与曲线y= g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值.52(sin x) = cos 乂；笑(x) = x;1 1(log 3x) = 3 x；(ln x) = x*其中正确的有()A. 0个B . 1个C . 2个D . 3个12. 质点的运动方程是 s =尸(其中s的单位为m t的单位为s)，那么质点在t

6、 = 3 s时的速度 为()4 4A. 4X3m/sB. 3X3m/s一 5一 5C. 5X3m/sD. 4X3m/s3. 设函数 f(x) = log ax, f (1) = 1,那么 a=.1 一4. 在曲线y= 上一点P处的切线的斜率为一4，那么点P的坐标为 .5. 曲线y= ex在点(2 , e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .-规律与方法.1. 利用常见函数的导数公式可以比拟简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归.2. 有些函数可先化简再求导.如求y= 1 2sin 2|的导数.厂,2x因为 y= 1 2si

7、n= cos x,所以 y= (cos x) = sin x.3. 对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.合案精析问题导学知识点一思考f 1 + x fzvxf x+x f xAxf (1)可以认为把x= 1代入导数f(x)得到的值.梳理 f (X)Amif x+A x f xA xi0关于x的函数导函数导数知识点二0 ax1axln a1xln acos x1sin x2-cos x题型探究解 f( x)f x+A x fA2只Ax+ A x + 3 x+ Ax23x=pm! ( A x 2x + 3) = 2x+ 3,即 f (x) = 2x + 3,f

8、 (3) = 2X 3+ 3= 3,f ( 1) = 2X ( 1) + 3 = 5.跟踪训练 1 解 TA y = f (x+A x) f (x)11=+ 5 - + 5x+A xx A xx+A x x， Ay =-1A x= x +A x x， f (x) =lim 字=limX10 A x A Xi1x+A x x1=孑1 =-4.例 2 解(1) y，= 0.厂3(2)因为 y= x x = X2,所以 yz= (x2)3 132X2 = 2、x.1y =盹次)=而sin x因为y=x2cos2 1 2sin xcos x=tanx,所以 y= (tanx)，=1h.cos x y

9、= (5x) = 5xln 5.跟踪训练2解1 1_x=x2,y =12x32.(1) y = (1 )(1 +$)(2) v y = 2cos 2 1 = cos x,.y = (cos x) = sin x.PQ垂直的切线.例3解 因为y = (x2) = 2x，假设存在与直线设切点为(xo，yo)，4 1由PQ的斜率为k =1,而切线与PC垂直，1所以 2xo= 1,即 xo = 21 1所以切点为(一2 r .所以所求切线方程为1 1y4=(1)(x+p,即 4x + 4y+ 1 = 0.引申探究解因为y= (x2) = 2x, 设切点为Mxo, yo),4- 1由PQ的斜率为k =

10、21 = 1,而切线平行于PQ1所以 2xo= 1，即 xo = 21 1所以切点为Mg， 4)-1 1所以所求切线方程为y- 4= x - 2,即 4x 4y- 1 = 0.跟踪训练3(1 , e) e解析 设切点坐标为(xo, exo).x .x(e) = e ,过该点的直线的斜率为exo,所求切线方程为y exo= exo(x -xo).切线过原点， exo=- xoexo，解得 xo= 1.切点坐标为(1 , e)，斜率为e.1 例 4 C y= (In x) = x.z.设切点坐标为(xo, yo),1那么切线方程为y yo= (x-xo),即 y= x + InxoXo 1.直线y = kx过原点，1-1n xo 1 = o,得 xo= e,. k = _.