第九讲(边缘分布及随机变量的独立性)

1、练习七练习七 参考答案参考答案一一 解：解： 所以可能的取值为所以可能的取值为0，1，4，9,且且YX2 P YP XP XP YP XP XP XP YP XP XP XP YP XP X22220000.20;11110.200.200.40;44220.100.150.25;9930.10. Y 0 1 4 9P 0.25 0.40 0.15 0.10所以所以Y的分布律为的分布律为二二 解：方法一解：方法一YXyyFyP YyPXyP Xyfx dxdxx33332(1)(1)( )1(1) 1( )(1) YYyfyFyyyy233 2613(1)( )( )(1) 1(1) 1(1)

2、 yx31 方法二方法二 由于函数由于函数 在在R上为严格单上为严格单调减函数，从而有反函数调减函数，从而有反函数xh yy3( )(1) YXfyfh yh yyyyy233 26( ) ( )( )13(1)(1) 1(1) 1(1) YyyxXyyyyF yP YyPXyPXfx dxedx2211222112211( )1 2221( )2 yyYYyyyfyFyeeey22112222141111( )( )222212(1) 三三 解：解：1）当）当 时时y1 2( )120( )0YYFyP YyPXyfy 当当 时时y1 yYeyfyy141,1( )2(1)0, 其其他他22

3、2,0( )0,yYeyfy 其其他他2222222222)(21)(21)()(21)()()(,0, 0)()()(0)2yyyYYxyyYYeyeyeyFyfdxeyXyPyXPyFyyXPyYPy Fy时当时，当第九讲第九讲 边缘分布及边缘分布及随机变量的独立性随机变量的独立性 二维联合分布全面地反映了二维随机变量二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律. 而单个随机变量而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要问那么要问:二者之间有二者之间有什么关系呢什么关系呢?这一节里这一节里,我们就来探求这个问题我们就来探求这

4、个问题 .二维随机变量二维随机变量 (X,Y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函具有分布函数数 ,F x y而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为 ,XYFxFy XFxP Xx 变量变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次称为二维随机依次称为二维随机 ,YFyP YyP XYyFy 一、边缘分布函数一、边缘分布函数 ,P Xx Y ,F x一般地，对一般地，对离散型离散型 r.v ( X,Y )，则则 (X,Y) 关于关于X 的边缘分布律的边缘分布律为为X和和Y 的联合分布律的联合分布律为为, 2

5、 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp ,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律. ip (X,Y) 关于关于 Y 的边缘分布律的边缘分布律为为jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3

6、) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0YX1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3PX=3, Y=1+PX=3, Y=3=1/8. 30,1kP Xk Y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3k

7、P Xk Y 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8 对对连续型连续型 r.v ( X,Y ) ，X 和和Y

8、 的联合概率密度为的联合概率密度为则则 ( X,Y ) 关于关于 X 的边缘概率密度的边缘概率密度为为),(yxfdyyxfxfX),()( dyyxfdxxFxFxX,事实上事实上 , ,XXfxFxfx y dy 三、连续型随机变量的边缘概率密度三、连续型随机变量的边缘概率密度 x ( X,Y )关于关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度为为dxyxfyfY),()( y 例例2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的概率密度为的概率密度为xyxyyf x y8,0,01,( , )0, 其其他他联合分布函数为联合分布函数为求边缘概率密度与边缘分布函数求边缘概率密度与边

9、缘分布函数F (x,y) =0, x 0 或或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1 ，2x2x4 , 0 x 1, y 1 ，y4 , x 1, 0 y x ，1, x 1, y x ，解：解：),()( xFxFX=0, x 0，2x2x4 , 0 x 1, 1, x 1当当x0时时),()( xFxFX),()( xFxFXxx242 当当 时时x01 1 0 当当 时时x1 XFx( )0, y 0y4 , 0 y 1, 1 , y 1=),()(yFyFY dyyxfxfX),()( 其他其他, 010,81xxvdvxv=u10uv

10、1 其其他他, 010,443xxxYfyf x y dx( )( , ) 08,010,yuyduy 其其他他v=u10uv1yy34,010, 其其他他XXxxxfxFx344,01( )( )0, 其其他他YYyyfyFy34,01( )( )0, 其其他他或或 yxyyxxyxf,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 于于是是 21122112221212221)()(2)( xxyyxy dyeexfxyxX2112222121)1(212)(221121)( dyyxfxfX),()(由由于于 令令),(1111222 xyt则则有有 同理同理

11、 yeyfyY,21)(22222)(2 xedteexfxtxX,2121)(2121221212)(122)(1 那么要问，在什么情况下，由边缘分布那么要问，在什么情况下，由边缘分布可以唯一确定联合分布呢？可以唯一确定联合分布呢？两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立 . 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互相互独立独立 .四、四、 随机变量的独立性随机变量的独立性1、两个随机变量的相互独立性、两个随机变量的相互独立性定义定义)()()

12、,(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立 . 它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .因此因此,二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立相互独立,则边缘分则边缘分布完全确定联合分布布完全确定联合分布.),(yxf其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互相互独立独立 .对任意的对任意的

13、x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v ，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立处处成立.分别是分别是X的的)(),(yfxfYX边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 . 若若 (X,Y)是离散型是离散型r.v ，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称X和和Y相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有jiijppp 即即 若两

14、个随机变量相互独立若两个随机变量相互独立, 且又有相同且又有相同 的分布的分布, 不能说这两个随机变量相等不能说这两个随机变量相等. 如如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X ,Y 相互独立，则相互独立，则X-1 1 -1 10.25 0.25Y 0.25 0.25P X = Y = 0.5, 故不能说故不能说 X = Y .注意注意 02222212122222121212122)(22)(1)()(2)()1(212212121121 yxyyxxeee证证对任何对任何 x,y 有有21,yx取取);,;,(),(222211NYX相互独立相互独立命题命题 212212

15、121121 故故0 将将0代入代入),(yxf即得即得)()(),(yfxfyxfYX 因为因为X与与Y 相互独立相互独立,解解所以所以ijijP Xx YyP Xx P Yy, 0.3 0.60.18 于是于是P XYP XP Y1,212 例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为Y 2 4PY 0.6 0.4X 1 3PX 0.7 0.3求随机变量求随机变量 (X,Y) 的分布律的分布律P XYP XPY1,41 4 P XYP XPY3,23 2 P XYP XPY3,43 4 0.70.60.42 0.3 0.40.12 0.70.40.28

16、 因此（因此（X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX2 4 0.18 0.12 3 0.42 0.28 例例5 已知已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为的联合概率密度为其他, 010 , 10,4),(1yxxyyxf(1)其他, 010 ,0,8),(2yyxxyyxf(2)讨论讨论X ,Y 是否独立？是否独立？解解(1)11xx2 ,01,0, 其其他他yy2 ,01,0, 其其他他显然，显然，)()(),(1yfxfyxfYX 故故X ,Y 相互独立相互独立 dyyxfxfX),()(xydyx104,01,0, 其其他他Yfyf x y dx( )( , ) xydxy104,0

17、1,0, 其其他他(2)xxx24 (1),01,0, 其其他他yy34,01,0, 其其他他显然，显然，)()(),(2yfxfyxfYX 故故X ,Y 不独不独 立立11 dyyxfxfX),()(xxydyx18,01,0, 其其他他Yfyf x y dx( )( , ) yxydxy08,01,0, 其其他他上上服服从从均均匀匀分分布布且且都都在在相相互互独独立立设设1 , 0,YX有实根的概率。有实根的概率。求方程求方程02 YXtt),1 , 0(,UYX解解1, 01( )0Xxfx，其他1, 01( )0Yyfy，其他,(,)X YX Y相互独立 则的概率密度为( , )( )

18、( )XYf x yfx fy例61, 01 010 xy，其他042 YX42XY 24XP Y24( , )xyf x y dxdy 10402xdxdy121 xy0142xy 有实根有实根方程方程02 YXtt042 YX例例7 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面.如果甲来到的时间在如果甲来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀之间是均匀分布分布. 乙独立地到达乙独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀分布之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一试求先到的人等待另一人到达的时间不超过人到达的时间不超过5分钟的概率分

19、钟的概率. 又甲先到的又甲先到的概率是多少？概率是多少？解解: 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX所求为所求为P |X-Y | 5 及及PXY 其它其它, 0600,601)(yyfY解解: 设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻， Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概

20、率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一：解一： 45155x5xdxdy18001P| X-Y| 5 xy015451060405yx5yx=P -5 X -Y 5=1/6=1/2xy01545106040yx PXY 451560 xdxdy18001解二：解二：5| yx |dxdy18001PX YP| X-Y| 5 随机变量相互独立的概念随机变量相互独立的概念可以推广到可以推广到 n 维随机变量维随机变量则称随机变量则称随机变量X 1, X 2 , , X n 相互独立相互独立若若nnXXXnF xxxFx Fx

21、Fx121212(,)()()() 判断二维连续型随机变量相互独立的判断二维连续型随机变量相互独立的 两个重要结论两个重要结论1、 设设f (x,y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量(X ,Y )的联合的联合 密度函数，密度函数，r (x), g(y)为非负可积函数，且为非负可积函数，且.).()()(),(eaygxryxf 则则(X ,Y )相互独立相互独立且且.).()()()(eadxxrxrxfX .).()()()(eadyygygyfY 利用此结果，不需计算即可得出利用此结果，不需计算即可得出(1)中的随机变量中的随机变量X 与与Y 是相互独立的是相互独立的.再如，服从矩

22、形域再如，服从矩形域(x,y)| a x b, c y d上上的均匀分布的二维随机变量的均匀分布的二维随机变量( X ,Y ), 其其他他0,)(1),(dycbxacdabyxfX ,Y 是相互独立的是相互独立的. 且其边缘分布也是均匀分布且其边缘分布也是均匀分布 其其他他, 0,1)(bxaabxfX 其其他他, 0,1)(dyccdyfY若若 其他其他00, 06),(32yxeyxfyx则则 X ,Y 是相互独立的是相互独立的. 且其边缘概率密度为且其边缘概率密度为 其其他他, 00,2)(2xexfxX 其他其他, 00,3)(3yeyfyY若若 其他其他00, 21),(3yxeyxfy则则 X ,Y 是相互独立的是相互独立的. 且其边缘概率密度为且其边缘概率密度为 其其他他,