求解数学综合题的思维策略

1、求解综合题综合求解综合题综合题的思维策略题的思维策略 上海市金山区教师进修学院 白伟雄 数学综合题指的是涉及数学的不同分支或同一分支的多个方面知识点，因而不能靠单一地运用某个概念、性质或方法来解。求解综合题需要解题者全面深刻地分析题目所提供的信息，广泛联想已有的数学知识、方法及思想，努力探索和发现信息之间的联系，以期沟通。综合题虽然比较复杂、题型千变万化，但解题时如能根据具体情况，采用相应的思维策略，问题还是能够圆满解决的。 一、循序渐进是数学解题的一、循序渐进是数学解题的 有些综合题，主要是多种概念、方法的综合，解此类综合题只要顺其自然，循序渐进，层层深入，引向结论。 基本思维策略基本思维策

2、略. . . . 例1如图，已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A( ,0)为圆心、1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A与A关于y=x对称，设直线l过点A，斜率为k。2yoxA.(2)当k=1时，在双曲线S的上半支上求点B，使其与直线 l的距离为 ；2(1)求双曲线S的方程；(3)当0k 1 时,若双曲线S上支上有且只有一个点B到直线l的距离为 ，求斜率k的值及相应的点B的坐标.2yoxA.双曲线S的渐近线解： (1)由题意得：y=x，因而可设双曲线方程为： x2y2=m (m0)，2将点A(0, ) 的坐标代入得，所以双曲线 S 的方程为： x2 y2= 2。m=2，yoxA.方程

3、为： 例1如图，已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A( ,0)为圆心、1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A与A关于y=x对称，设直线l过点A，斜率为k。2(1)求双曲线S的方程；(2)设B(x, )22x是双曲线 S 的上支上到22222xx则 ，|22|2xx所以 =2得：222xx=2 或222xx = 2，222xx由 = 2得： x= 2检验知满足方程，故方程 =2无解，222xxx 0，22x2所以B( ,2)。yoxA.B直线l:y=x 的距离为 的点，22l(2)当k=1时，在双曲线S的上半支上求点B，使其与直线 l的距离为 ；2当0k1时，双曲线S 的上支在直线l的

4、上方，所以点(3)B在直线l的上方， 将直线l向上平移至直线l，使直线l 与直线l之间的距离为 ，2的上支只有一个公共点。设直线l的方程为y=kx+m，由l上的点A到l的距离为 ，得：2| |= ，212kmk2所以m= k ，2221k点B在直线l的上方，得(k21)x2+2mkx+m22=0，因为k21，xyoA.则问题等价于直线l与双曲线S221k2m= k+ ，联列方程，消去y，所以=4(m2 2+2k2) =8k(3k2 )=0，12k又0k0)，若C的上半支的顶点为A，且与直线y=x交于点P，以A为焦点，M(0,m)为顶点的开口向下的抛物线通过点P,当C的一条渐近线的斜率在区间 y

5、xMPoA,322 23上变化时，求直线PM 斜率的最大值。(92年上海高考题)已知双曲线C的方程为：(1a2)x2+a2y2a2=0，(参数a0)，若C的上半支的顶点为A，且与直线y=x交于点P，以A为焦点，M(0,m)为顶点的开口向下的抛物线通过点P，当C的一条渐近线的斜率在区间分析： 由双曲线C方程得： 112222aaxyP(a,a) 从而得出A(0,1)，以A为焦点、 M为顶点开口向下的抛物线方程： x2= 4(m1)(ym)， 故应有：a2=4(m1)(am)， 又两条渐近线的斜率为 aa213212 232aa2a3。aam a2=4(ka+k1)ka ，因a0,(4k2+4k

6、1)a=4k , ma,k0，a=,14442kkk即：m=mk+a，代入上面方程得且4k2+4k1 0， 2444132kkk解之得： 1326514kkmax514yxMPoA由于kPM=上变化时，求直线PM 斜率的最大值。,322 23 说明说明：这里的分析过程完全根据题目的要求，循序渐进，一步一个脚印，层层深入，引向结论的。 一、循序渐进是数学解题的一、循序渐进是数学解题的 有些综合题，主要是多种概念、方法的综合，解此类综合题只要顺其自然，循序渐进，层层深入，引向结论。 基本思维策略基本思维策略一、循序渐进是数学解题的基本思维策略一、循序渐进是数学解题的基本思维策略二、转化是重要的思维

7、策略二、转化是重要的思维策略 (1)有些综合题，表面上看起来很复杂，但若能对题目仔细分析，适当地转化，就能使问题得以顺利解决。(1) 如果 f(x)当x(,1 时有意义,求的取值(90年全国高考理科题)成立。(aR,nN*,n2) , n1(2) 如果a(0,1,证明 2f(x) 0其中 x1,n2，即：)()2)1xnn1(xxnna Lx1, ( )knx(k=1,2,n 1)在(,1上都是增函数， ( )( )() 121nnnnxxxLL在(,1是也增函数，121()nan 121().故它在x=1时取得最大值为n2)，(1)如果f(x)当x(,1时有意义,求的取值范围；即分析：第(1

8、)题可转化为利用函数的单调性求a值域。第(2)题可利用换元法转化为不等式问题。由于x0，所以g(x)恒大于零，故0，从而原命题得证。(2) 分析：要证2f(x)f(2x)， a(0,1 ，当x0时成立，只要证： 1+2x+(n1)x+nxa2n1+22x+(n1)2x+n2xa，即证：41+2x+(n1)x+nxa2 4n1+22x+(n1)2x+n2xa0，使f(a)=1；(3)对x(0,2a)，有f(x)0.问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；使f(a)=1；(3)对x(0,2a)，有f(x)0.例4设函数f(x)的定义域关于原点对称，且适合下列三个条件。)()(1)()()

9、(212121xfxfxfxfxxf(1)对于定义域内的x1、x2都有 求出它的一个周期；若不是，请说明理由。(2)存在常数a0，问f(x)是否是周期函数？若是，分析：本题条件(1)类似于两角差的正切公式，故联想f(x)是周期函数，周期为4a。条件(3) (0,2a)类似(0,/2)，解：f(x2a)=f(x a)=)()(1)()(afxfafxf)(11)(xfxf)()(1)()(afaxfafaxf)(11)(11)(11)(xfxfxfxf)(1xff(x4a)= f(x2a)2a= f(x)f(xa)af(x)是以4a为周期的周期函数条件(2)类似tg =14p三、适当分类，以求简

10、化三、适当分类，以求简化 一、循序渐进是数学解题的基本思维策略一、循序渐进是数学解题的基本思维策略二、转化是重要的思维策略二、转化是重要的思维策略 有些题目由于约束条件较少，在解题过程中不能以统一的形式进行研究；也有些题目由于含有参数而使得结论不能唯一确定，对于这类综合题，可根据题目的特点和要求，适当分类，转化成若干个小问题来解决。 例5已知22332222)1()1()1()1(nnnrrrrrrrrSL其中r0，记Tn = Sn+2n， ，WTTnnn1求 。limnnW分析：Sn=rrrrrrnnn2422421112LL()求Sn时运用等比数列求和公式时，应对r 进行分类，limnnW

11、limnnq求的存在性，对r 进行分类。时还要根据 解：1.当r =1时，Sn=0，Tn = 2n， WTTnnnnn1222则 =1 limnnW2.当r1时，Sn= rrrrrrnnn2422421112LL()Srrrrrrnnnn22222211112()() Trrrrrrrrrnnnnn2222222222111111()Wrrrrrrnnnnn()()2222222211(1)当0r1时， Wrrrrrrrnnnnn ()()222422421112limrWnnlimnnr 0由于 四、借助图形，直观分析四、借助图形，直观分析三、适当分类，以求简化三、适当分类，以求简化 一、循

12、序渐进是数学解题的基本思维策略一、循序渐进是数学解题的基本思维策略二、转化是重要的思维策略二、转化是重要的思维策略 有些题目的条件具有某种几何意义，若用纯代数方法去解运算很繁，不易得出结论，若注意利用条件的几何意义，以形辅数，则能轻易地得到结论。 例6. 当s, tR时，求(s+53|cost|)2+(s 2|sint|)2的最小值。 分析： 设： P(s+5, s)、 Q(3|cost|,2|sint|)，则P、Q为两动点，原问题转化为求|PQ|2的最小值。解：由P(s+5, s)消去s得P的轨迹方程：y=x 5由Q(3|cost|,2|sint|)消去t得Q的轨迹方程：其中(0 x3, 0

13、y2) 14922 yx55 32yxo由图形直观可知，过点(3,0)到直线y=x 5的距离即为|PQ|的最小值，即|PQ|2min=2即原题的最小值为2五、分析、探索、归纳、证明五、分析、探索、归纳、证明 四、借助图形，直观分析四、借助图形，直观分析三、适当分类，以求简化三、适当分类，以求简化 一、循序渐进是数学解题的基本思维策略一、循序渐进是数学解题的基本思维策略二、转化是重要的思维策略二、转化是重要的思维策略 有些题目只有条件而没有结论或只给出结论而没有条件， 这就需要解题者去探索其结论或应具备的条件。解这类题目一般要通过分析、探索、归纳、证明，从而使问题得以解决。例7. 设等差数列an

14、的首项为a1，公差为d。(2)探索数列 是什么数列？nSn(3)利用(1、2)的结论求解下列问题：等差数列an，bn的前n项分别为Sn和Tn，若对一切n都成立，求432nnTSnn1212ba等差数列an，bn的前n项分别为Sn和Tn，若，求132nnTSnnnnnbalim等差数列an 的前m项分别为30，前2m项和为100，求它的前3m项的和。(1)探索数列 是什么数列？1212nSn例7. 设等差数列an的首项为a1，公差为d。(1)探索数列 是什么数列？(2)探索数列 是什么数列？nSn1212nSn分析：nana22nnaan) 12(2)(12(121nnS1212故它是以a1为首项，d为公差的等差数列。分析：211dnSnSnnnSnnSn 是以a1为首项， 为公差的等差数列。2dndnnna) 1(211dna) 1(211(3)利用(1、2)的结论求解下列问题：等差数列an，bn的前n项分别为Sn和Tn，若对一切n都成立，求432nnTSnn1212ba等差数列an，bn的前n项分别为Sn和Tn，若，求132nnTSnnnnnbalim 1312nn1) 12( 3) 12(2nn1212TSnn1212nTn1212nSnbann分析：nnnbalim32分析：732542332232323TS2323T2323S1212banann