CFA考试投资分析的数量方法投资工具

1、第一章：货币的时间价值Chapter 1. The Time Value of Money1.解释利息率是对投资者的不同风险予以回报的实际无风险利率和风险溢价的 总和利息率和折现率(Interest Rates and Discount Rate)货币时间价值概念的基础：收益率( rates of return)、利息率(interest rate)、要求的收益率(required rates of return )、折现率(discount rates )、机会成本 (opportunity costs )、通货膨胀 (inflation ) 和风险(risk )。货币的时间价值，反映了时间

2、、现金流量和利息率三者之间的关系。投资者偏好现在消费。利息率是投资者推迟现在消费的回报。在确定世界，利息率被认为是无风险(risk-free )利率。一般是国家的短期债券，如美国的国库券(Treasury-bills, T-bills )。在不确定的世界，有两个因素影响利息率：通货膨胀。贷款者承担通货溢价(in flationpremium )和推迟消费的机会成本。因此，货币的名义成本(nominal cost of money )，由实际利率(realrate)和通货溢价组成。风险。贷款者还承担了不履行风险(default risk )。因此，利息率包括：名义的无风险利率和不履行风险溢价。利

3、息率的意义：收益要求率。即促使投资者放弃现在消费所要求的收益。折现率(利息率和折现率可以交互使用)。机会成本。即投资者按某一选择行为而放弃其他选择所失去的价值。影响利息率最重要的因素是：资金的供求关系。2.计算整笔现金的终值(FV和现值(PV单一现金流量的终值( The Future Value of a Single Cash Flow )整笔现金流(或 lump-sum investment )的终值计算公式(N的初值为0)：FVn =PV (1+ r )基本概念：le interest )，即利息率乘原始本金。复利(compounding )，即利息所挣的利息；复合期间数(或投资年数)N

4、。终值因素(1+ r )单一现金流量的现值( The Present Value of a Single Cash Flow )单一现金流量的现值计算公式:PV飞Vn ( 1+厂N01+r) N是现值因素，它是终值因素得倒数(reciprocal)3.区别设定的年利息率(the stated annual rate )和实际的年利息率(the effective annual rate )复合的频率 m (the frequency of compounding )设定的年利息率 (stated annual interest rate/quoted interest rate )。即：在复利

5、情形下，年度中利息支付次数为一次以上(利息支付期间少于1年)的，金融机构提供的利息率报价不是利息支付期间的期间利息率，而是年度利息率。这个利息率报价即为设定的年利息率，用rs表示。实际利息率(EAR )，即：在给定设定的年利息率(rs)和m的情况下，单位货币投资 1年(N=1后)所得的终值。在 m = 1时，EAR = rs ;在m 1时，EAR rs。4.给定设定的年利息率和复合频率(the frequency of compounding )，计算实 际年利息率。设定的和实际的年利息率( stated and effective rates)期间利息率(the periodic rate

6、)与设定的年利息率的关系：期间利息率=/m(m为年度内支付利息的次数)。实际利息率( EAR )的计算公式：EAR =( 1 +期间利息率)m 1 = (1 + rs/ m) m - 1 永续复合时，实际利息率与设定的年度利息率的关系:EAR =rs 15.在复合期间不是1年的情形下，解决货币的时间价值问题复合的频率 m (the frequency of compounding )1. 年度的复合期间超过 1次时，终值的计算公式为:FVn = PV (1 + rs/ m)mx N2.年度的复合期间超过 1次时，现值的计算公式为:/、 ( m x N )PV = FVn (1 + rs/m)r

7、 x n )s 是 transcendental永续复合(continuous compounding)永续复合(年度复合期间次数为无限大)即上述等式中,number，e = 2.712818。则终值为：FVn = PV e( rsx N)6. 计算普通年金(the ordinary annuity ) 和预付年金(annuity due ) 的终值 (fv和现值(PV现金流量系列的终值(The Future Value of a Series of Cash Flow ) 年金(annuity ):有限系列的现金流系列，且所有现金流系列的价值相等。 普通年金(ordinary annuity

8、 ):普通年金的首次现金流量，发生在一个期间后(时间指数t =1 )。 预付年金(annuity due):首次现金流量立即支付的年金(时间指数t= 0)。 永续支付年金(perpetuity ):系列无限的现金流系列，且首次现金流量发生在一个期间后(时间指数t= 1)。等值的现金流量(equal cash flows)普通年金1.等值(即每次现金流量的数目相等)普通年金的图例。A即年金的数目(the annuity amount )，它表示每次支付的现金流量的数目。N即支付年金的期间个数(the number of time periods )。r 即各年金支付期间的利息率( the int

9、erest rate per periods)。2. 等值普通年金的终值计算公式:FV = A X (1+ r ) N 1 / r系列非等值的现金流量(qual cash flows)非等值普通年金的终值计算公式：FV = Ai (1+ r ) N1 + A2 (1+ r ) N 2 + + An (1+ r )现金流量系列的现值( The Present Value of a Series of Cash Flow )1.系列等值现金流量(a Series of Equal Cash Flow )的现值。系列等值现金流动，是首次支付发生在t = 1、末次支付发生在t = N时的现金流动。其现

10、值(PV)的计算公式：1 2 N N驭预付年金(+歸uity cdutt 的现在价值的计算方法。=A1 (1+ r) /r预付年金的现值可以分为两部分，即：现在支付的年金金额及支付(N-1)次的普通年金(ordinary annuity )的现值。其计算公式为：(N 1) N7系列无限的等值现金流量的现在价值一一 永续年金永续年金，是首次支付发生在t= 1时的普通年金的无限延伸。现值(在t= 0时的现值)的计算公式为：8 p对货币的时间价值问题,m根据给定的相关变量计算未知量t 工 0 的现金流动的现值( PresteflXValues Indexed at Times Other Than

11、t = 0)在将来某时间t o (t o为首次支付的期间序数)开始支付的年金(或永续年金)的现值，可以表示为其首次支付前的一个期间( t 0-1)的现值PV (to)，然后再将该现在价值折算成目前的现值PV(0 )。B (t = t o 1)(t= t o)D (t)1.永久支付年金的现值：单一现金流(N= t o 1)L息率和增长率的求解(SPV= FV (1+ r ) N t= 0t = 1; AA /(1 + r)2A /( 1 + r) 2olvi ngor It= 2流量(n = t t o + 1 )的现值:La &N ；A “AX( 1 + r) N1A X( 1 + r) N

12、2A /(1 + r) N1 2 NPV = A (1 + r)1 + (1 + r)2 + + (1 +r) N FV = A X(1+ r) N 1 /r(compound growth rate )，是一系列不同的期间利息率的总体测评。用g1; g2 ；-1.单一现金流量的利息率或增长率(用g表示)公式：2.的计算r = ( FVn / PV) 1 / N/ J 人复合g n表示不同期间内的利息率，则:g = ( 1+ gi)X( 1 + g2)X X( 1 + g n) 1 o期间数(N)的求解(Solving for the Number of Periods)单一现金流动的期间数的

13、计算公式：N = ln( FVn / PV)/ ln( 1+ r)年金数额( A) 的求解(Solving for the Size of Annuity Payments )1.普通年金(t= 1时的年金)的年金数额( A)的计算公式:2.3.4.A = PV X r / 1 ( 1+ r) N :复利年金数额 (/A( 的+十算公式1 A = PV x( rs/ m) / 1 ( 1 + rs/ m) mXN 预付年金FVt x0(时s/年金)/的年金数额s/ m)的计算公式:NA 二 PV X r/ 1 ( 1 + r)_ /( 1+ r)永续年金的年金数额( A ) 的计算公式:A=T

14、X PV9.解释现金流量的累加原则(additivity principal )年金数额(A)的求解(Solving for the Size of Annuity Payments )累加原则，即对相同时间点的货币金额可以进行累加(或扣除)。累加原则是解决非恒定现进 流量(uneven cash flows )问题的重要方法。等价和累加(Equivalence and Additivity )在近似恒定的现金流量中的应用近似恒定的现金流量，是指在大多数期间内都能保持现金流量的恒定，但是，因为在极少数期 间现金流量不能保持恒定而不能将它视为恒定的现金流量。等价(equivale nee)，即现

15、值和终值等式，是指现值和终值是被时间分割而价值相等的两个量。因此，单一金额或单一现金流量(a lump sum )可以视为与年金等价，而年金也可以视为是与其终值相等价的单一金额。由此可见，对于现值、终值和现金流量系列，只要三者被定格在同一时间点，则可以认为它们是等价的。这样对于同一时间点的现金流量就可以适用累加原则。10.计算非恒定现金流量系列(uneven cash flow )的终值和现值等价和累加(Equivalence and Additivity )在近似恒定的现金流量中的应用根据Page 35-36的例题可将方法归纳为：根据近似恒定的现金流量假定一个恒定的现金流量。 根据近似恒定的

16、现金流量和恒定的现金流量的关系，在假定一个(或多个)现金流量系列。该假定的系列现金流量一般仅在一个期间有现金流量，而其他期间的现金流量为0,因而可以用单现金流量的现值和终值公式求解。应用累加原则求近似恒定现金流量的现值和终值。11.能够作出时间直线，指出时间指数和解决有关货币的时间价值问题的实际应 用，如大学学费或退休金的储蓄和抵押借款(mortgage)第二章：现金流量折现的应用Chapter 2. Discounted Cash Flow ( dcf ) Applications1.计算和解释投资的净现值(NPV和内部报酬率(IRR)现金流量折现的分析(DCF Analysis )财务决策

17、有三个主要领域：资本预算（capital budget），即对相对长期的投资的资金分配； 资本结构，公司为要进行的投资提供长期资金的抉择；在投资资本的管理（ working capitalma nageme nt），即短期资产和短期债券的管理。净现值规则（the net prese nt value rule）净现值，即某项投资现金流入的现值（获利）减去其现金流出的现值（成本）。计算NPV的步骤： 识别该项投资所发生的所有现金流量；判断适合于该投资项目的折现率r （或机会成本）：用折现率计算每一个现金流量的现值（现金流入的现值为正、现金流岀的现值为负）；求岀NPV ;净现值规则的应用：NPV

18、0,则可进行该项投资；NPV v 0，则不可进行该项投资；两项可选投资，应选取NPV较大者进行投资。NFNPVW寸阖CF勺预期现进流量；N，NPV的计算公式:即投资的计划存续时间（the investment projected life ）；r，资本的折现率或机会成本。上述各变量的数据要保持相互的匹配。如：在现金流量为年金时，则r应为年利息率。内部报酬率规则(the in ternal rate of return rule的折现率。它仅取决于投资的现金流量，而不(yield to maturity for bonds )和投资组合的货)。内部报酬率（IRR），即使净现值（NPV）等于0 需

19、要外部的数据。内部报酬率有两个其它的名称：债券得到期收益率币权重收益率（ dollar-weighted rate of retur n for portfolios对IRR的解释要注意：即使我们的现金流量计划是正确的，但是，只有在所有暂时的（interim ）现金流量正好以内部报酬率（IRR rate ）进行再投资时，我们才能得到正好与IRR相等的复合收益率（compound rate of return ）。IRR的求解方程为（各变量的数据要保持相互的匹配）：的机会诚N息率的影响IRRP规则：如果计划或投资RR ）平巳大于资本的机会成本，则该计划或投资可以接受。如果资本 成或要求报酬率（比

20、较净现值规则和内部报酬率规则部报酬率方法的有关问1 舷IRR ） t t= 1PV的计算取决于由市场决定的外部的折现率（或资本的机会成本），hurdle rate )等于 IRR，贝U NPV 等于 0。(CF0 = In vestme nt)IRR不受任何外部利讨论内部报酬率方法的有关问题内部报酬率方法的有关问题如果投资计划互不依赖（即对某项目投资的决策不会影响到另一投资项目，则按IRR和NPV规则做岀的投资决策是相同的。如果公司不能为所有的投资计划提供资金，则这两个规则可能会给 岀相互矛盾的投资决策。NPV就是投资预期的财富增加NPV规则吸收了由市场决定的资本的机会成本作为折现率，所以 额

21、。在IRR和NPV规则相互冲突时，一般使用NPV规则。4.计算投资组合收益率的资金权重和时间权重投资组合收益的计量(portfolio return measurement )1. 资金权重的收益率( dollar-weighted rate of return )。投资组合的资金权重收益率，即为投资组合的内部报酬率(IRR)。其计算可方程(求解得到IRR)为：PV (outflows )= PV (in flows )。PV (outflows )为所有现金流入的现值；PV (in flows )为所有现金流岀现值。2. 时间权重的收益率(time-weighted rate of retu

22、rn )。其计算步骤： 在投资组合有任何较大现金流入或流岀前，即对投资组合估价，并且根据现金流入或流岀的日期将整个的评估期间作为亚期间(subperiods )。 计算投资组合每个亚期间的期间持券收益率(holding period return )。 复合持有期间收益率HPR，以得到该年的年度收益率(即该年的时间权重收益率)；组合中的投资超过一年的，则对年度收益率取几何平均值以得到时间权重的收益率。每一次现金的流入或流岀即对投资组合评估，代价太高。实践中常采用近似的方法，即按确定 间隔期间对投资组合评估。假定以每月为间隔期间，则：r t=( NVE t- MVB t)/ MVB t。( NV

23、B t和NVE t表示t月初或月末的市值值)用N表示测评期间的不同年度，t表示各年度内的亚期间，r t表示年度内不同亚期间的持有期间收益率，r n表示测评期间各年度的时间权重收益率，r tw表示所有测评年度时间权重收益率的几何平均值。则：对年度内的亚期间：r n =( 1 + 口)( 1+ r 2)-( 1+ rj 1。对各年度：r tw = (1 + m)x( 1 + r2)x x( 1 + r n) 1n 1。5.区别收益率的资金权重和时间权重投资组合收益的计量(portfolio return measurement )资金权重和时间权重的收益率的比较：投资组合的资金权重收益率，取决于投

24、资组合中现金流入或流岀的时间和数量。在投资行业，时间权重的收益率是优先选择，原因有二：它不受投资组合中现金的流入或流岀的影响；它计量的是投资组合中1美元的最初投资在整个计量期间增长的复利息率。因此，如果客户在不利的时间向投资组合注入资金，则会使资金权重收益率有下降的趋势，反 之，则会使资金权重收益率升高。而时间权重收率则可消除其影响。6.计算美国国库券的银行贴现收益率、持有期间收益率、实际年收益率和货币 市场收益率。货币市场收益率(Mo ney Market Yields)货币市场，即风险低、折现性高的短期债务工具(debt instruments )。有些债务工具是纯折现工具，即利息表现为借

25、贷金额和偿还金额之间的差额。如投资者购买国库券的支付低于票面金额(faceamou nt)，在到期时得到票面金额的折现。1.银行贴现收益率或贴现收益率(bank discount yield )的计算。rBD为年度的贴现收益率；D为货币折扣(the Dollar discount )，即国库券的面值F与购买价格P的差；t为F为面值。则：rBD =( D/ F)x( 360/1)贴现收益率对投资者收益的测评没有意义，原因：该收益率取决于面值而不是购买价格，投资的收益必须参照投资的金额来评估；该收益率以 365天为一年的天数；贴现收益的年度化仅考虑了单利(simple rate)，而忽略了复利。为

26、此，由下述三种替代的收益测评方法。2. 持有期回报率 HPY ( holding period yield )的计算。po即债务工具的最初购入价格；P1即债务工具到期时能得到的价格；D1是债务工具到期时能分配到的现金(即所生的利息)。则： HPY =( P1 po+ DJ/ po。使用这个公式进行计算，要注意：买进或卖岀的价格必须是任何应计利息(accrued in terest)与交易价格的和； HPY是以150天为期间的收益。3. 实际年收益率 EAY (effective annual yield )的计算。实际年收益率EAY = (1+ HPY ) 365/1 1。实际年收益率考虑到了

27、HPY的复利并扩展到1年。贴现收益率小于实际年收益率。4. 货币市场收益率( mo ney market yield / the CD equivale nt yield )的计算。若一年以360天计算，则该转换使国库券的报价收益率与生息的货币市场工具(interest-bearing )的收益率报价可相互比较。7.持有期间收益率、实际年收益率和货币市场收益率的相互转换货币市场收益率(Mo ney Market Yields )1.货币市场收益率与持有期间收益率的转换。一般地，假定360天一年，则货币市场收益率与年度化的持有期间收益率相等。货币市场收益率 mm = HPY x( 360/ rB

28、D)2货币市场收益率与贴现收益率的转换。货币市场收益率mm = 360x rBD /( 360 t xbd)8.计算债券等值收益率(boncTequivaenBDyield)基本的债券评估(Basic bond valuatio n)两类债券：附息债券(coupon bonds),即定期支付券息(coupon interest )的债券； 零券息债券(Zero- coupon bonds )或纯贴水债券或不附息债券( strips )。债券的内部报酬率，即为债券的到期收益率。债券的净现值，是债券的现值(以要求的收益率 对债券承诺的偿付进行折算)与其市场价格的差。债券的价格准确，则NPV为0;债

29、券被低估，则NPV为正。债券的三个关键属性：到期期间(term to maturity )，到期即发行人支付债券面值(par value)以回赎(redeem)债券； 券息； 本金，即面值。券息率(coupon rate)与本金相乘，可得债券的利息收益。零券息债券和无套利评估方法(the arbitrage-free valuati on approach)不附息债券的利息，等于购价和本金(面值)的差，因此，可以用整笔金额的计算公式，即： PV = FVn (1 + r) N ;或：r = ( FVn / PV) 1 /N 1。债券的面值为FVn，r是债券的内部报酬率，要与N匹配。债券的等值收

30、益率即为债券的到期收益率YTM ( yield to maturity )。如果M为到期值(Maturity )或面值；P为购价；m为每年的复利期间数。则其计算公式为：一 mx N,1YTM = m x ( M / P) 1 。将公式变形可得债券的购价P的计算公式：P = M (1 + YTM / m) 一 z N。到期收益率 YTM 与实际年收益率 EAY的换算：EAY =( 1 + YTM ) 一N 1。债券的实现收益取决于：债券至购进日或偿付日的价格升值(appreciation )；收到的券息；券息再投资能获得的利息。不附息债券的收益仅取决于价格升值，投资者不会得到券息和券息再投资的收

31、益。投资人持有 不附息债券获得的收益，等于债券的实际年收益(EAY )。在固定收益分析中，不附息债券的到期收益率YTM有重要作用。N年不附息债券的 YTM称为N年的点利息率(spot interest rate)，由点利息率和到期收益率组成图像称为点收益率曲线(spot yieldcurve )。我们可以点利息率来给复杂的债务工具(包括附息债券)定价，这种方法称为无套利的评估方法(arbitrage-free valuation approach )。其方法(以附息债券为例)：将附息债券的每个现进流(到 期前每一期间支付券息、到期时的券息和本金)看作为相应支付期间的不附息债券，将这些不附息债券

32、的现金流以适当的点利息率予以折算为对应的现值(即价格)，折算公式为：P = M ( 1 + YTM/ m) 一N，然后求岀所有现金流现值的和，即为附息债券的价格。比较该债券当前的价格和上述计算得出的价格，如存在差额，则可实现套利。第三章：统计概念和市场收益Chapter 3. Statistical Concepts and Market Returns1.区别描述性(Descriptive )统计推理性(Inferential )统计。什么是统计？ ( What is Statistics ?)统计方法包括： 描述性统计(Descriptive statistics )，即如何有效地归纳数据

33、，以描述一个大 的数据集合的重要方面。 推理性统计(Inferential statistics)，即如何从实际观察到的较小群体， 对大群体进行预测、评估和判断的。推理统计的基础是概率理论(Probability Theory )。本章的内容是描述性统计。主要关心：向心趋势(central ten de ncy )，即数据的中心在何处； 分散性(dispersion)，即数据从中心扩散的距离； 偏度(skewness)，即分布是否对称； 峰 度(kurtosis )，即极端结果岀现的几率。2.群体(population)和样本(sample)的区别。3解释参数(parameter)和样本统计的

34、概念。参数是群体特征的描述尺度；统计是样本特征的描述尺度。通过样本统计(sample statistics )，可以估算未知的群体参数。4. 测评刻度(measurement scales类型的不同。测评刻度 Measurement Scales (levels of Measurement)为了选择适当的统计方法来归纳和分析数据，应对不同的测评刻度进行区分。 名义刻度(nominal scale )，即仅对观测对象归类但不排序。 普通刻度(ordinal scale)，即对观测对象分类归类，并按某些特征对这些类别进行排序。 间隔刻度(interval scale )，即对观测对象进行归类并对

35、类别排序，而且还保证刻度值之间的 差别相等，但是，间隔精度的零点不能反映被测参数值的完全缺乏。因此，刻度值之间能够均衡地相加或相减，但不能地形成比例。比例刻度(ratio scale )。5.定义和解释频率分布(frequency distribution 。频率(Frequency Distributions)频率分布(Freque ncy Distribute ns )，是归纳数据的最简单方法之一。它将数据归纳到数字相对 较小的一系列间距中，用表格表示这些数据。间距(intervals)，是观察对象落于其中的一系列值。频率分布，就是间距与相应的频率值组成 的图表。建立频率分布表的重要考虑因

36、素，是间距的数量。6.定义和解释持有期间收益(holding period return/total return)频率分布(Frequency Distributions )持有期间收益率 R t的计算公式：R t = ( P t P t-1 + D t)/ P t-1。P t为在期间t的期末的市值，P t-1为在期间t 1的期末的市值，D t为在期间t所得的现金分配。 该公式的特点：与时间和货币单位无关。7.计算相对频率和累积相对频率(cumulative relative frequency。频率分布(Frequency Distributions )absolute frequency

37、 )。 相对频率累积绝对频率和累积相对频率，就 给定间隔对应的观察对象的实际数据，就是绝对频率(relative frequency )，就是用绝对频率与观察对象总数的比。 是将绝对频率或相对频率依次累加。8.柱状图表(histogram)或频率多边形(polygon)表示数据的特征。图表表示 Graphic Presentation1. 柱状图表(The Histogram / Bar Chart)柱状图表(Histogram)，是频率分布(Frequency Distributions )的图表等价形式。每一柱状的宽度，就是频率分布的间距(interval )。柱状的高度表示落于相应间隔的

38、观察对象的频率。2. 频率多边形和累计频率分布(The Freque ncy Polygon and The Cumulative Freque ncy Distribution )频率多边形，即多边形每一顶点的横坐标为每一间距的中点，纵坐标为对应间距的绝对频率，然后将相邻的点用直线连接起来。另一个线条形式的图表是累计频率分布。这种图表不仅能描述累计绝对频率分布，而且能描述 累计相对频率分布。9.计算和解释向心趋势参数(measures of central tendency。向心趋势参数( Measures of Central Tendency )向心趋势标度，就是通过找到一个单一的点来描

39、述一组观察对象。通常的向心趋势尺度包括：平均值(mean)、中值(median)、加权平均值 (weighted mean )、众数(mode)、几何平均值 (geometric mean)。定位参数(location parameters )包括：向心趋势标度( Measures of Central Tendency )；四分值(quartiles)；五分值(quintiles)；十分值(deciles)；百分值(percentiles)；其他。1.群体平均值 ：(Population Mean / Average)的计算方法:2.N样本平均值士 计洋Mean / Average)的计算方

40、法:算术平)的特征: 算术平均值相当于一个物体的重心。在一条直线上标出观察对象的值，再将每个观察对象的 频率用柱状图表示 (柱体高度代表频率)，则由此组成的杠杆，只有当支点在算术平均值的位置时， 才会保持平衡。 观察对象与平均值的差(X i - X 一)，即为观察对象的分布偏差( deviation )。所有观察对象 偏差的和为0。相对算术平均值的偏差表明了风险。 它容易受到极端值的不适当影响。 对特定群体，算术平均值只有一个。3. 中值(The Median )将观察对象按升序(获降序)排列。如果观察对象的数量为奇数，则中值为序数在( n+ 1)/2位置的观察对象的值； 如果观察对象的数量为

41、偶数，则中值应在序数为n/2和(n+ 2)/2的位置，求这两项的平均值，可得中值。中值不受到极端大(或小)值的影响。4. 众数(The Mode )众数即分布中岀现频率最多的的值。某个分布可能有多个众数或没有众数。股票收益数据和其他呈连续分布的数据，可能没有众数。然而，把这些数据按一系列的间距分 组，就会发现最高频率间距，这就是“众数间距(modal interval ) ”。Mode是向心趋势标度中唯一能够与名义数据( nominal date )连用的标度。10. 四分值、五分值、十分值、百分值(Quartiles 、Quintiles 、Deciles、 Perce ntiles )四分

42、值、五分值、十分值、百分值四分值、五分值、十分值和百分值，是与中值( median)相对应的。在一个有n个按升序排列的元素的系列中，P y为第y个百分值，L y为第y个百分值P y在升序排列系列中的位置，则：L y = y (n+ 1)/ 100计 如果L y是一个整数i，则P y = X i，X i是在第i个位置的值； 如果L y不是一个整数，则取与L y两边相邻的值 Xi、X j，i、j在L y的两边。则：P y =X i + ( L y i )( X j XJ。11.计算和解释：加权平均值、范围、平均绝对差、方差和标准差。加权平均值(The Weighted Mean )加权平均值能够对

43、不同的观察对象给予不同的权重，算术平均值则是对所有观察对象都同等对 待。一系列的观察对象 X!，X2,，X n，它们对应的权重分别是 W!, W2，W.，则加权平均值的计算公式是:n几何平X均值4沖訥eOimetric Mean )系列观察对象=1X1, X2,，X n的几何平均值G的计算公式（X n 0）：分散性参数及其应用( Measures of Dispersion and Their Application )一般地，当分散性的意义：它表示收益是围绕平均值的分散性，分散性说明的是风险。分散性参数有：范围（range）、平均绝对差（ mean absolute deviation ）、

44、方差（varianee）、标准差（standard deviation ）。这些参数都是绝对分散（absolute dispersion ）参数1.范围(The Range)范围可用间距或比例数据计算。范围即数据集合中的最高值与最低值的差额。Range = Maximum Value Mini mum Value范围能反映极端人值和极端小值的结果，而不能描述分布的情况。2.平均绝对差（Mean Absolute Deviation ）的计算公式（X -为算术平均数）：3.群,n本方AD ?=(PguiaXn 丫我呷)的计算公式:N i = 1刀(X i - ) 2 / Ni = 1N4.群体标

45、准差刀? opUlattt Standard Deviation ),即对其方差（？2）开平方。5.样本方差i = 1s 2 ( Sample Variance ) 的计算公式:ns 2 =刀(X i X-)2 /( n 1)6,比较样本标准圭（2Sampl-Standard/Deviation ），即对其方差群体方差和样本方差可知=1羊本方差计算公式的分母为s 2）取平方根。n 1而群体方差计算公式的分母般将（n 1）称为自n 1 ）个独立的偏差N。这样，就提高了样本方差的统计特征，样本方差是群体差的公正评估者。- 由度（the degrees of freedom ）。一旦计算岀样本的平均

46、值，则仅存在（(deviations)平均绝对差（MAD ）永远小于或等于标准差（Standard Deviation ），因为，标准差通过乘方给予 大的偏差更多的权重。12.比较：方差、半方差和目标半方差（target semivariance 。13.切拜谢夫不等式（Chebyshevs inequality）。切拜谢夫不等式切拜谢夫不等式：假设k是任何大于1的正常数，那么对于所有k 1,观察对象落在平均值（算术平均值）周围 k倍标准差（Standard Deviation ）范围内（即 X 士 ks, s为标准方差）的比例，不会 少于（1 -1/k2）。这个不等式适用于样本数据或群体数据

47、，也适用于连续的或不连续的数据，不论其分布的形状 如何。14.计算和解释方差指数（coefficient of variance 。相对分散（Relative Dispersion ） |相对分散（Relative dispersion ），是与参照点或基准点相比较的变量。相对分散的常用参数是方差指数CV （coefficient of variation ）。它表示相对于分布的平均值存在多大的分散性，因而，它可以使我们比较不同数据集合的分散性。CV = s/ X -15 I计算和解释夏普比率(Sharp ratio)风险调整业绩的夏普参数The Sharpe Measure of Risk-

48、Adjusted Performance方差指数（CV ）的意义：方差指数的倒数在一定程度上说明了每单位风险的收益，因为收益的 标准差通常作为投资风险参数。某一投资组合p的夏普参数或比率（Sharpe measure or ratio ）的定义为（是更为精确的收益一风 险参数）：? f为无风险资产的平均收益; ?卩占？丿？ fP即卩exCess return，为投资者承担额外风险所得到的额外 收益（投资组合 p的额外收益）；fp为标准差。夏普比例大的投资组合，要比比例较小的投资组合更受欢迎，因为，假定投资者偏好收益而不 喜欢风险。16.非偏向（nonsymmetrica）分布的平均值、中值和众

49、数的相对位置。收益分布的对称性和偏向性（Symmetry and Skewness）收益分布的对称程度，是在向心趋势和分散性之外描述收益分布的重要参数。如果收益分布关于它们的平均值（mea n）对称，则一边的分布与另一边的分布是镜像对称的。其中最重要的分布是正态分布（normal distribution ），它是一种对称的、钟状分布。它具有以下特占：八、 它的中值（median）和平均值（mean）相等。 正态分布可由平均值和方差两个参数完整地描述。 约有66%的观察对象在正负一倍标准差的范围之内；95%的观察对象在正负二倍标准差的范围之内；99%的观察对象在正负三倍标准差的范围之内。17.

50、偏度（skew）的定义和解释，及正偏向和负偏向收益分布的意义收益分布的对称性和偏向性（Symmetry and Skewness）偏向性（Skewness）的分布有两种： 正偏向性分布（在右边有一条长长的尾巴，损失较小而收益较大） v中值（median ）v平均值（ mean）。对该分布：众数 （mode）。对该分布：众数 （mode）绝对偏度（absolute skewness）的计算，是对所有观察对象的偏差(Xi - X 一）的立方求平均值。 负偏向性分布（在左边有一条长长的尾巴，损失较大而收益较小） 中值（median ）平均值（ mean）。如果绝对偏度的符号为正，则分布是正偏向分布，

51、并且中值v平均值。对该分布：有一半以上观察对象的偏离是负数，而不到一半观察对象的偏离为正数。为了让总和达到正数，则损失必定较小，收益可能更极端（偏大）。因此，观察对象正偏离的平均数，要比负偏离的平均数大。如果绝对偏度的符号为负，则分布是负的偏向性分布。 如果绝对偏度的值为零，则分布可能是对称分布。样本相对偏度 S k (sample relative skewness )的计算公式:coefficins k比较大从正态分布中抽取的. ent，为士 i0.5|时，上式可以修改为:本的规模等于-1 ）（ n2或更大）、或者偏度指数（skew ness 18.峰度（Jurtosisx的定义s3并解释

52、余额峰度（收益分布的峰度（ kurtosis In Retur n Distributio nsexcess kurtos)。收益分布与正态分布相背离的原因：偏向性； 较多的收益紧密地集中在平均值（mea n）附近，即此类分布更尖锐（ peaked : 较多的收益偏离平均值（having fatter tails ）。峰度（Kurtosis ）是描述某分布比正态分布更平坦或更少尖锐的统计参数。某分布如比正态分布更尖锐，则称为纤细分布（leptokurtosis ）；某分布如没有正态分布尖锐，则称为平阔分布 （platykurtosis ）；正态分布则为适中（ mesokurtosis ）。峰度

53、（Kurtosis ）的计算：先求岀平均差（average deviation），将其4次方，然后再除以标准差的4次方。所得的,于0。n对所有的正态分布，峰度的值等于4 占斤余额峰度/（excss）kurto2），即m某一分布 值。因此，占态分布的余额峰度等于0;纤细分布的余额峰度大于的峰度减去3后0;平阔分布的余额峰度小样本余额峰度的计算公式:余额峰度 =K 3 （ n- 1） 2/（ n-2）（ n-3）当n比较大（样本的规模等于或超过100 或余额峰度 时，上式为: 19.的测算。第三章：概率Chapter 3. Probability Concepts1.定义：随机变量、结果、事件、相

54、互排斥事件和完全涵盖事件。Probability ， Expected Value， and Variance随机变量(random variable )，即结果不确定的数；结果( outcome)，即随机变量的值；事件(eve nt)就是随机变量的任一结果或结果的特定集合。相互排斥事件(mutually exclusive eve nt )，即每次只能发生一件事件；完全涵盖事件( mutually exhaustive eve nt)，即事件包括了所有可能的结果。相互排斥事件和完全覆盖事件最基本的类型，是随机变量各不相同的所有可能结果的集合。2.解释概率的两个定义属性(the two def

55、ining properties。Probability ， Expected Value， and Variance概率的定义。概率的两个定义属性：OW P ( E) 1。P ( E)表示任一事件 E发生的概率；所有相互排斥和完全涵盖事件发生概率的总和等于1。3区别：经验概率、主观概率、先验概率、客观概率。Probability ， Expected Value， and Variance 经验概率(empirical probability )。即通常按发生的相对频率来估算某一事件发生的概率。想 要经验概率正确，关系就必须稳定。对于没有历史纪录的事件或极少发生的事件，我们不能计算其 发生的经验概率或得出可靠的经验概率。 主观