2009-2010学年一概率统计

1、福建师范大学福清分校20092010学年第一学期概率论与数理统计期中考试卷(适用专业：08计本、网工、环科、应化考试时间：120分钟，满分100分)(参考答案)班级座号姓名题号-一-二二三四五总分阅卷人得分、是非说明题(共5分，每题1 分)1 (V)设A,B,C为随机事件，则 A与A B C是互不相容的.2 (V) F(x)是正态随机变量的分布函数，则F( x) 1 F(x).标准正态3 (X)等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布4 (V)在古典概型的随机试验中，P(A) 0当且仅当A是不可能事件.在几何概型中，命题“ P(A) 0当且仅当A是不可能事件” 是不成立的5 (X)连续

2、型随机变量的密度函数f (x)与其分布函数F(x)相互唯一确定改变密度函数f(X)在个别点上的函数值，不会改变分布函数F (x)的取值二、选择题(18分，每题3分)(1)设B A，则下面正确的等式是-(b) _。(a) P(AB) 1 P(A);(b)P(B A) P(B)P(A);(c) P(B|A) P(B);(d)P(A| B) P(A)(2)离散型随机变量 X的概率分布为P(X k)A k(k 1,2,)的充要条件是(a)。1(a)(1 A)且 A 0;(b)A 1且01 ；1(c) A1 且1 ;(d)1A 0 且 01.(3)设10个电子管的寿命 Xi (i 110)独立同分布，且

3、D(Xi) A(i 110),则10个电子管的平均寿命Y的方差D(Y)(b).(a)A;(b) 0.1A;(c)0.2A ;(d)10A.(4)设每次试验成功的概率为p(0p 1)，重复进行试验直到第n次才取得r (1rn)次成功的概率为(a)(a)Cr 1n 1rn rp (1 p);(b)c；Pr(1n rp);r 1r 1n r 1rn r(c)C n 1p (1 p);(d)p (1 p)(5) 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y max (X , 2003)的分布函数_ (b) _(a)是连续函数；(b)恰好有一个间断点；(c)是阶梯函数；(d)至少有两个间断点.(6) 设随机变

4、量 (X,Y)的方差D(X) 4,D(Y)1,相关系数 XY 0.6,贝y方差D(3X 2Y) - (c) .(a) 40;(b) 34;(c) 25.6;(d) 17.6 .三、填空题(21分，每题3分)(1)设随机事件 A,B互不相容，且P(A) 0.3, P(B) 0.6，则P(B A) 4/7(2)设随机变量X服从(-2, 2)上的均匀分布，则随机变量Y X2的概率密度函数为 fY(y)1/( 4 y)0 y 40其他(3)设随机变量(X , Y) N(0,22；1,32； 0)，则概率 P( 2X Y 1) =0.8446解：因为0所以X、Y相互独立E 2XY2EXE Y2 0 11

5、D 2XY4DXD Y4 4 925P( 2XY1)1P( 2XY1)1P 12X Y 11111 15510.4010.65540.510.1554 0.8446（4）设随机变量（X , Y）的联合分布律为(X,Y)(1,0) (1,1)(2, 0)(2,1)P0.40.2ab若 E(XY) 0.8，则 cov(X , Y)0.1 .（5） 若随机变量X服从1,b上的均匀分布，且有切比雪夫不等式P（X 1）-3则 b 3,2。（6） 批电子元件共有100个，次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为 19/396.四、计算与应用题（56分，每题8分）1）某厂卡

6、车运送防 甲流”用品下乡，顶层装 10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用 口罩、3箱消毒棉花.到目的地时发现丢失 1箱，不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任 意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率解：A任取2箱都是民用口罩,丢失的一箱为kk 1,2,3分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花3P(A)P(BQP(A Bk)k 12 2 21 Ci3Cl1_8_2 c；10cl5 c：36P(B A) P(BJP(A BJ/P(A)C2Cr/P(A)C93836 36求(1)常数A ; (2)条件密度函数fY X(y x)； 讨论X与Y的相关性.解:(1) A 1/4.(2)fx(

7、x)f (x, y)dyxx(1/4)dy0x/2其丿、0x2他当0x 2 时，fYx(yx)f(x,y) fx (x)1 /(2x)0x y其他x2 2E(X) 0(x2/2)dx4/3,E(Y)2dx0xx(y/4)dy0,2xE(XY) oxdx %(y/4)dy0,cos(X,Y)E(XY)E(X)E(Y) 0所以X与Y不相关 2)设随机变量(X，丫)的联合密度函数f(x, y)A 0 x 2, y x0其 他3)设随机变量 X U (0,1)(均匀分布)，Y E(1)(指数分布)，且它们相互独立，试求Z 2X Y的密度函数fZ(z).解:fx(X)10x10 其他fY(y)fz(z)

8、fX (x) fY(2x z)dx0 x 10 x 1得z轴上的分界点0与22x z 0x z/21oe (z 2x)dx ez(1 e2)/2 z 01fZ(z)z/2e (z 2x)dx (1 ez 2)/20 z 2. 0z 2另解：fZ(Z)1 12fx 2(z y) fY(y)dy时，上式被积函数不等零如图：当z 2时，fZ z 0当0 z 2时2 z1ydyfz ze0 21y2 z12 z-e0-e2211z e2fz z2 z1ydy12 zz1 z2eee 1 e22综上所述得1ez(1 e2) z 02fz(z);(1 ez2) 0 z 220z 24)某彩电公司每月生产2

9、0万台背投彩电，次品率为0.0005.检验时每台次品未被查出的概率为0.01.试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.解：设Xi第i台彩电为次品且未被查出其他5i 1 2 1013E(Xi)5 10 6, D(Xi)5 10 6(15 10 6)2 105经检验后的次品数Yi由中心极限定理，近似地有P(Y 3)1 P(Y 3)1Xi ,1E(Y)N(1,110 6D(Y)10 6)5）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数f (x,y)2e 2x求Z maxX,Y的密度函数.解:由题意知X,Y相互独立，且fX(x) 2e2x1 5 10 6，(2) 0.0228. 0,fY(

10、y)当z 0时,Fz(z)PXfz(z)fx(z)FY(z)fz (z)另解:Fz(z)fz zx其他0,Pmax(X,Y)zPY zFx( z)fY(z) 2e2z(1 e2e2z3e3zz 0.其他Fx(z)Fy(z)PXFx(z)Fy(z)z乙丫Z(1e 2z)e2e 2z 3e 3z2z e2z e3z2e2z3e3z6）设一工厂生产某种设备，其寿命X （以年计）的概率密度函数为:1 re 44x0x0x0若工厂售出一台设备赢利100工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：设备一年内损坏概率为1 P(X 1)-4设Y为出售一台设备的净盈利dx 1，则丫 f(X)(3001e4P(X1)1 P(X100)100200 X100 X所以,y100100-300p1e411 - e 4E(Y) ( 200)*P(X1) 100* P(X 1)1 1200 200e4 100e；33.64五、证明题(8分)设随机变量 X与Y相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明X 丫仍服从泊松分布，参数为6.证明由题设P(X m)m33e 3，P(Y m!n)3n3e ， n,m 0,1,2, n!iP(X Y i)P(X k, Y ik)iP(X k)P(Y