特别解析：线性规划求最值

1、特别解析：线性规划求最值、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题沪2 0,例1已知点p（x, y）在不等式组y-1 0, 表取值范围是（）.（A） : 2, 1（B） : 2, 1 （0 ： 1 , 2（D）： 1 , 2Vi32-宀0zlx2=0解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z - x-y,变形为y =x-Z , 这是斜率为1且随z变化的一族平行 70lz 0 取得最大值为2；直线经过点（0, 1）时，目标函数z二x-y取得最小值为一1.故选（C）.注：本题用“交点法”求岀三个交点坐标分别为（0, 1）,（2, 1）,（2, 0）,然后再一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为

2、-1, 2更为简单.x + y 0例2已知实数x、y满足约束条件x-y + 50,贝U z=2x +4y的最小值为（X 3直线.-z是直线在y轴上的截距.当直线满足约束条件且经过点（2,0）时，目标函数z二x-y1 z分析：将目标函数变形可得y二-一X+,所求的目标函数的最小值即一组平行直241 一y = X + b在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。2解析：由实数X、y满足的约朿条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又C(3,3),故 z=2x+4y 的最小值为 Zmin = 2咒 3+4% (-3)二一6。二、数行结合，

3、构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题X y-2 0,则z=-最大值是IXpy3 0,解析：画岀不等式组所确定的三角形区域ABC(如图2),二表示两点X X 00(0,0) P(X, y)确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由图2可以看出直线0P的斜率最大，故P为x + 2y-4二0与2y3二0的交点，即A点.).故答案为I 2 )2注：解决本题的关键是理解目标函数z 二士 7的 X X 0几何意义，当然本题也可设二t,则y二tx,即为求X1-2-0y二tx的斜率的最大值由图2可知,y =tx过点A时,t最大.代入y二tx,求出t23即得到的最大值是彳匕

4、 A-+2y-4=()例3.已知实数X、v满足不等式组Z二乂空的值域.x+1解析：所给的不等式组表示圆X2 +y2=4的右半圆(含边界),Z二XP可理解为过定点卩(-1, -3),斜率为Z x+1的直线族.问题的几何意义：求过半圆域2+y 2 0) 任一点与点P(1,3)的直线斜率的最大、最小值.由图知，过点P和点A(0, 2)的直线斜率最大，z卸=2(二算二5 .过0 (1)因此Zmin=刃宁。一646三、平面内两点间的距离型(或距离的平方型)，构造两点间的距离公式法解决最值问题fx + yl o,则八T2 2W = x + v 一4x一4v + 8 的最侑为2 2 2 2解析：目标函数W

5、=x + v -4x-4v+8二(X-2) +(v-2),其含义是点(2. 2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示:-11-、.cx+y-l=0求B ( -2,-1),结合图形知，点可行域为图屮Labc内部(包括边界)，易(2, 2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，=(2 -2)2 +(12)2 =25点2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最12 + 2-1| 372小值，% 二二x-y+2 0,已知x + y -4 0,，求(2xy 5l,求u二X + y2+4x2y的最小值。解析：目标函数 U =x2 + y2+4x-2y 二(x +

6、 2)2+(y-l)2-5,其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5o由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示-(-2,1) 12x+y=l点(-2, 1)至问行域内的点的最小距离为其到直线2x+y二1的距离，由点到直线的距离公式可求得 dj 2/,2)+xT二迹，故 d2 -5J -5J555lx - y +20,例8已知x - y 40,求z二x +-10y+25的最小值.I2x -y 5 0,解析：作出可行域，并求出顶点的坐标 A( 1,3 )、B( 3, 1 )、C( 79)而 z=x2+ (y5)2表示可行域内任一点(X, y)到定点M( 0, 5)的距离的平方，

7、过M作直线AC的垂线，易29知垂足 在线段AC上，故z的最小值是MN1五、变换问题研究目标函数例9(08年山东)已知x + y 2,且z二2x + y的最大值是最小值的3倍，a等于(X 二 fi：+ yx J 得 A (a, a),由 ix 二 yly 二xtf , 一 Zmax =3，：nin - 由题意，得六、综合导数、函数知识类例10( 06山东).已知函数f (x)的定义域为/,*c)，部分对应值如下F(X)%f(x)的导函数，函数汁f(X)的图象如右图所示.若两正数a, b满足f (2a +b) 50)B类产品(件)( 140)租赁费(元)甲设备510200乙设备620300b x+

8、一 y 105x+2y 14X 0, y 0I 5x+6y50则满足的关系为10x + 20y340即：*x30,八 0y io作出不等式表示的平面区域，当Z二200X +300 y对应的直线过两直线x屮弓 一的交点x+2y二14(4, 5)时,目标函数z=200x +300y取得最低为2300元.附：线性规划常见题型及解法、求线性目标函数的取值范围X 0I例2、不等式组x + y -30表示的平面区域的面积为（1） 0y兰2解：如图作岀可行域，$4即为所求，由S梯形OMBC减去三、求可行域屮整点个数例3、满足|x|+ |y| 2的点(x ,y）屮整点都是整数）有（13个x + y 0,y0)

9、解：|x|+ |y|0, yYO)-x + y 2(xYO, yHO)-X - y 0)取得最小值的最优解有无数个,则将I向右上方平移后四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件x- y+ 50,使IX 0）取得最小值的最优解有无数个，A、一 3B、3C、一 1解：如图，作出可行域，作直线I : x+ay与直线x+y二5重合，故沪1，选D五、求非线性目标函数的最值2x + y一2 0 例5、已知x、y满足以下约束条件x2y+4 03x -y -3 兰 0的最大值和最小值分别是()A、 13 ,1B、 13 , 2D、辰，史5解：如图，作出可行域,x汁护是点值为点A (

10、2,3)到原点的距离的平方，BPlAOl42x + y 2二0的距离的平方，即为一，选5y)到原点的距离的平方，故最大2=13,最小值为原点到直线Co六、求约朿条件屮参数的取值范围例6、已知|2x y + m 3表示的平面区域包含点(0,0 )和(一 1,1 )，则m的取值范围是()A、( -3,6 )B、( 0, 6 )C. ( 0, 3 )D. ( -3,3解：|2xy + m 3由右图可知i，故 03,选 CEm-3 0七、比值问题当目标函数形如Z二一时，可把z看作是动点xbP (x, y)与定点Q (b, a)连线的斜 a这样目标函数的最值就转化为 PQ连线斜率的最值。jx一 y+ 2 w 0, 已知变量X