2.2.3平面向量数乘运算及其几何意义

1、2.2.3 向量数乘运算向量数乘运算及其几何意义及其几何意义1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: :aAbBCba aaAbBbOCba 首尾相连，始到终首尾相连，始到终共起点，对角线共起点，对角线b a b Ba ABAab O共起点，指被减共起点，指被减2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: :3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: :已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 ,你能发现什么？你能发现什么？aaaa类比上述结论，类比上述结论， 又如何呢？又如何呢？()()()aaa aOaaaABC3aPQaMaNa3a与与 方向相同方向相同3aa33aa即与

2、与 方向相反方向相反3aa33aa即探究探究1： 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向规定如下：规定如下：aa| |;aa（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a课本课本P90,P90,练习练习2,32,3练一练练一练: :a)2(3a)2(3aa6=baba22 a2b2baba22)(2ab探究探究2：)()(

3、)()1(2)(3)结合律第一分配律第二分，（是实数（律）配aaaaaabab 112122=2ababab 、向量的加、减、数乘运算统称为，对于任意向量 、以及任意实数 、 、，恒有向量的线性运算（）例例1、计算下列各式、计算下列各式a4)3)(1 (ababa)(2)(3)2(a12b5)23 ()32)(3 (cbacbacba25 课本课本P90,P90,练习练习5 5练一练练一练: :?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab?),0(/)2(是否成立则若abaab/ba成立成立探究探究3：3、向量共线定理：、向量共线定理：0,.()ababa 向量与 共线 当且唯一使一个仅当

4、有实数课本课本P90,P90,练习练习4 4 练一练练一练: :abab即 与 共线ba(0)a A AD DE EC CB BBCAB33BCAB3AC3 与与 共线共线 AEACDEADAE 解：解：例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO总结总结:121212122362348:eeABeeBCee CDeeAB 1、已知两个非零向量和不共线，如果，求证、D三点共线.12121212232eeABekeCBee CDeeAB 2、设和是两个不共线的向量，如果，若 、D三点共线，求k值，练习练习:例例5.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，且 ，你能用，你能用 、 来表示来表示 。,A