不等式复习资料

1、第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【高考会这样考】 1 考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 （或取值范围）.2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围.【复习指导】1 .掌握确定平面区域的方法（线定界、点定域）.2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 （图解法），注意线 性规划问题与其他知识的综合.01 考基自主导学基础梳理1. 二元一次不等式表示的平面区域（1）一般地，直线I: ax+ by+ c= 0把直角坐标平面分成了三个部分： 直线I上的点（x, y）的坐标满足ax+ by+ c= 0; 直线I 一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足

2、ax+ by+ c0; 直线I另一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足ax+ by+ cv0.所以，只需在直线I的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（X0, y）,从ax0 + by。 + c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.（2）由于对直线Ax+ By + C = 0同一侧的所有点（x, y）,把它的坐标（x, y）代入Ax + By+ C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（X0, y0）,由AX0+ By+ C的符号即可判断 Ax+ By+ C0表示直线 Ax+ By+ C =0哪一侧的平面区域.2. 线性规划相关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函

3、数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x, y的一次不等式（或方程）组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题助鬲微博一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时.经常采用.“直线定界，特殊点定域的 方法.(1) 直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线;.若不等式含有等号,把直线画成实线:.(2) 特殊点定域，.即在直线Ax土 By 士.C亍.0.的某一侧取一个.特殊点(xo, yo)作为测 试点

4、代入不等式检验，若满足不等式，.则表示的就是包括该点的这一侧,否则就 表示直线的另一侧.：特别地，当.C.于.0.时，.常把原点作为测试点当.一C.0时， 常选点.(1,0)或者(0,1)作为测试点.一个步骤利用线性规划求最值，.一般用图解法求解，其步骤是:在平面直角坐标系内作出可行域;一(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形;(3) 确定最优解：.在可行域内平行移动目标函数变形后的直线.，从而确定最优解；(4) 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.两个防范(1)画出平面区域一避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化一.求二元一一次函数.z.ax土by(ab

5、艺0).的最值，将函数z.ax土by.转化为直线的斜. 截式：y三二；x 土：，通过求直线的截距b的最值间接求出乙的最值-要注意;当b 0 .时.，截距b取最大值时?z也取最大值；截距b取最小值时,z也取最小值；当 b 0.时截距b取最大值时z取最小值；截距.b取最小值时z取最大值.:双基自测（人教A版教材习题改编）如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为).2x y 3 0C.2x y 3 02x y解析将原点（0,0）代入2x y 3得2X 0 0 3= 3 0.答案 B2.下列各点中，不在x + y K 0表示的平面区域内的点是（）.A. (0,0) B . ( 1,1) C .

6、( 1,3) D . (2, 3)解析 逐一代入得点（1,3）不在x+ y 10+y10C/D.JiX 2y+ 20解析 两条直线方程为：x+ y1 = 0, x 2y+ 2 = 0.将原点(0,0)代入x+ y 1得1 v0,代入 x 2y+ 2得 20,即点(0,0)在x 2y+ 20的内部，在x+ y 1 0,故所求二元一次不等式组为x 2y+ 2 0.答案 A4. (2011安徽)设变量x, y满足|x|+ |y| 0y 0,【例1】？（2011湖北）直线2x+ y10= 0与不等式组表示的平x y 2,4x+ 3y 20面区域的公共点有（）.A. 0个 B . 1个 C . 2个 D

7、 .无数个审题视点准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2x + y 10 = 0与4x+ 3y 20= 0的斜率即可判断.解析由不等式组画出平面区域如图（阴影部分）.直线 2x+ y 10= 0 恰过点 A（5,0）,4且斜率k= 2vkAB= 3,即直线2x+ y 10= 0与平面区域仅有一个公共点A（5,0）.方法结答案 B 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交 集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.0 x0,所表示的平面区域的面kx y+ 2 0积为4,则k的值为（）.A. 1B. 3C. 1 或一3D . 0解析 其中平面区域kx y+ 20是含有

8、坐标原点的半平面.直线 kx y+ 2= 0 又过定点（0,2），这样就可以根据平面区域的面积为 4,确定一个封闭的区域，作 出平面区域即可求解.平面区域如图所示，根据区域面积为4,得A（2,4），代入直线方程，得k= 1.答案 A考向二求线性目标函数的最值【例2】？（2011广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域 D由不等式组0 x2,y2,给定.若M（x, y）为D上的动点，点A的坐标为（.2, 1）则z=x 2yOM O只的最大值为（）.A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4,2审题视点作出平行域D ,然后解出目标函数z的表达式，用截距法求z的最大 值.解析 画出区域D，如图中阴影部

9、分所示，而z= 0加O云=2x+y,y= 2 x+ Z,令Io： y= 2x,将Io平移到过点（.2, 2）时，截距z有最大值，故Zmax =2X 2 + 2 = 4.答案 B八求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函 数等于0,将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.px+ 2y 30,若目标函数z= ax+ y（其y 1 0）仅在点（3,0）处取得最大值，则a的取值范围是（）.a,- 2B. 2,0解析 画出X、满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z= ax+ y仅在点（3,0） 处取得最大值，则直线y= ax+ z的斜率应小于直线x+ 2y 3=

10、 0的斜率，即1 1av 2，a 答案 D考向三求非线性目标函数的最值px 4y+ 3 0,【例3】？变量x、y满足3x+ 5y 25 1.(1) 设z= y，求z的最小值；入(2) 设z= x2 + y2，求z的取值范围.审题视点利用目标函数所表示的几何意义求解.x 4y+ 3 0，解 由约束条件 3x+ 5y 25 1.作出(x，y)的可行域如图所示.x= 1，3x+ 5y 25 = 0，22，5.由尸X解得C(1,1).x 4y+ 3= 0，解得 B(5,2).x 4y+ 3= 0，3x+ 5y 25= 0，(1)vz=x=巳.：z的值即是可行域中的点与原点连线的斜率.观察图形可知(2)

11、z= x2 + y2的几何意义是可行域上的点到原点 0的距离的平方.结合图形可知, 可行域上的点到原点的距离中，dmin = |0牛0 ,dmax= |OB|=V29.2 z 0,【训练3】如果点P在平面区域 x+ y- 2 0=1上，那么|PQ|的最小值为（）.A.3b.45- 1C. 2 2- 1D. 2- 1解析f 1 3如图，当p取点o, 2 , Q取点（0, -1）时，|PQ|有最小值为2.答案 a考向四线性规划的实际应用【例4】？某企业生产A, B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗 如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A产品394B产品1045已知生产每吨A产

12、品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因 条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦, 试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？ 审题视点题目的设问是“该企业如何安排生产，才能获得最大利润 ”，这个 利润是由两种产品的利润所决定的，因此 A, B两种产品的生产数量决定着该企业的总利润，这里两种产品的生产数量是问题的主要变量，故可以设出A, B两 种产品的生产数量，列不等式组和建立目标函数.解 设生产A, B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得3x+ 10y 300,9x+ 4y 360，4x+ 5y0，y0.200A0目标函数为z

13、= 7x+ 12y.作出可行域，如图阴影所示.当直线7x+ 12y= 0向右上方平行移动时，经过 M(20,24)时z取最大值. 该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润.二一2线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的 关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简 单的线性规划问题.【训练4】(2011四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量 为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往 A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一 次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450

14、元；派用的每辆 乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司合理计划当天派用两 类卡车的车辆数，可得最大利润 z=().A. 4 650元B. 4 700元C. 4 900元D . 5 000元|解析 设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z= 450x+ 350y,x+y 12,2x + y72,作出相应的平面区域，z= 450x0 x 8，0 y 7，x + y= 12，+ 350y= 50（9x+ 7y）,在由确定的交点（7,5）处取得最大值4 900元.2x+ y= 19答案 C03为考题专项突破难点突破16高考中线性规划问题近几年新课标高考对线性规划问题的考查主

15、要是以选择题或填空题的形式出现，线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得， 所以对于一般的线性规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代 入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值.yx+ 2y 5 0，【示例11 ? （2011山东）设变量x，y满足约束条件 x y 2 0，数z= 2x+ 3y+ 1的最大值为（）.17A. 11 B. 10 C. 9 D.?分别求出两爾直线的交点代人目标函数號江 即可估.：+纤一5 - 0,得（齐1片茫=iof.：一j 2 = i *二厂得（诗八寻油一 $2 =山得口-弟“ = .g.1 = 0*%、= R.选

16、B这种解底喊少了作圉的时间，休现了特殊与 I.康虹救学禺漣x+ 3y 30,【示例2】? （2010浙江）若实数x, y满足不等式组 2x y- 3 0,且 z= x+y的最大值为9,则实数m等于（）.A. 2 B. 1 C. 1 D. 2转化刚好是示例1的一个逆向问题，仍可以利用边 界点未处理【由目标函数七=.工+了的最大值是呎易知当目| 标函数取最大值时即为直线=+ $ = 9在伙轴上的截距12 3刁、刁2-汀3 = oT 7 了 丿m；不在直线一丁+了=9上*所以直线一卄厂9.+=3 =的交点或 / 一 my 11 = 0*经过i f2；r y3 = 0t:d 的交点，: 卫 1 = 0

17、:由2 j. y 3 = 0t得5儿:r+ y = 9t代人r uiy + 1 = 0得胡=1,故选C【处理线性规划问题的解题思路是由平面区域【 : : 育詁 _【到区域的边界线”再到边界线的交点，一步一; 已啰步从般情况退化到特殊的情况，从而有IiI上述快速而巧妙的解法:不等式第1讲不等关系与不等式【高考会这样考】结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用.【复习指导】不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结 论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少 做偏难题.II,KAOJIZIZHUDAOXUE“一 一

18、 一一+ 一 一- 一一一一一亠“ 一一从+ 一一十一一一十 一一 一“ 一一 w 亠一 “一一一01冷考基自主导学懸老嗒徑J荻学相區基础梳理1. 不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、W、工连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系, 含有这些不等号的 式子，叫做不等式.2. 比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a b0? ab； a b = 0? aaaa=b； a bv 0? av b.另外，若 b0，则有 1? a b；1? a= b；v 1? a bbbv b.3. 不等式的性质(1) 对称性：ab? bva；(2) 传

19、递性：ab，bc? ac；可加性：ab? a+ cb+ c, ab， cd? a+ cb+ d；(4) 可乘性：ab，c0? acbc； ab0， cd0? acbd；(5) 可乘方：a b 0? an bn (n N，n2)；(6) 可开方：ab0? na n b(n N， n2).助修撤（專一个技巧作差法变形的技巧.:作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式 相等的法则求出参.数.，最后利用不等式的性质求.出目标式的范围两条常用性质（1）倒数性质:.1 1.a b, ab 0? a. .a 0 b 0,0v c

20、d?1 1 10 a x b 或ax b 0? bX b 0, m 0,则 真分数的性质: b b士.m b b-.mv ; = (b- m0)；a 士 m a m假分数的性质:-;川 m工土q ba- ba 0) 一. b b m双基自测1.（人教A版教材习题改编）给出下列命题：a b? ac2be2；a |b|? a2 b2;ab? a3b3；|a|b? a2b2其中正确的命题是（）.A .B.C.D .解析 当 c 0 时，ac2 bc2,.不正确；a |b| 0, a2 |b|2 b2,.正确；a3b (a b)(a? + ab +)(a b) a + 3b 1 +0,正确；取 a 2

21、, b2 2 3,则 |a|b,但 a 4v b 9,.不正确.答案 B2 .限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h,写成不等式就是（）.A. vv 40 km/hB. v40 km/hC. vm40 km/hD. v b” 是“ ac2 be2的().02A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析 ab /? ac2bc2,v当c2= 0时,ac2 be2；反之,ac2bc2? ab.答案 B4.已知ab, cd,且c, d不为0,那么下列不等式成立的是（）.A. ad bcB. acbdD. a+

22、cb+d解析 由不等式性质知：a b, cd? a+ c b+ d.答案 D5.# 1与羽+ 1的大小关系为1解析(一3+ 1) ( .2+ 1) ( 3+ 1) 一2 一3v0,寸2 1.、一 v 3 + 1.2 1答案 一2 1v 3+ 1KAOXIANiSTAN JIUDOXH 为考向探究导析研析琴向？秦例突破考向一比较大小【例11 ?已知a, b, c是实数，试比较a2 + b2 + c2与ab+ bc+ ca的大小.审题视点采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可.解 / a2+ b2 + c2 (ab+ bc+ ca) = *(a- b)2+ (b c)2+ (c a)2 0, 当

23、且仅当a= b= c时取等号.2 2 2 a + b + c ab+ bc+ ca.比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小.).【训练11已知a, b R且ab,则下列不等式中一定成立的是(a饪 1 B . a2C. lg(a b)0aa解析 令a=2, b= 1,则ab, &= 2,故亏 1不成立，排除A;令a= 1,b= 2,则a2= 1, b2 = 4,故a2 b2不成立，排除B;当a b在区间(0,1)内时,(1 lg(a b)v0,排除 C; f(x)= 在 R 上是减函数，：ab,：f(a)vf(b).答案 D考向二不等式的性质【例21 ?(2

24、012包头模拟)若a0b a, cv dv 0,则下列命题：(1)adbc； a b(2)& +0; (3)a cb d; (4)a (d c)b(d c)中能成立的个数是().A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 审题视点利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假.解析.a0b, cvdv0,/adv0, bc0,.advbc, (1)错误.*a 0 b a , a b 0,C v d v 0 , -c d 0, a(-c) (-b)( d),a b ac+ bdac+bdv ，d+c=-Cd - v 0,/(2)正确.Cv d,._ d,ia b,.a+ ( c) b+ ( d),a c

25、b d,.(3)正确.ab, d c0,a(d c)b(d c),(4)正确，故选 C.答案 C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断 的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等.c d【训练2】已知三个不等式：ab0；bcad；舌&以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是().A. 0 B. 1 C. 2 D. 3c d解析 命题1:若ab0，-，则bcad;a bc d命题 2：若 ab0，bcad，则a；c d命题 3:若一，bcad，则 ab0.a b答案 D

26、考向三 不等式性质的应用【例3】？已知函数f(x)= ax2 + bx,且 Kf( 1)2,2f(1)4求f( 2)的取值范 围.审题视点可利用待定系数法寻找目标式f( 2)与已知式f( 1), f(1)之间的关系，即用f( 1), f(1)整体表示f( 2),再利用不等式的性质求f( 2)的范围.解 f( 1)= a b, f(1)= a+ b.f( 2) = 4a 2b.设 m(a+ b)+ n(a b) = 4a 2b.m+ n = 4,m= 1,m n= 2,、n= 3. f( 2)= (a+ b) + 3(a b) = f(1)+ 3f( 1).v 1 f( 1) 2,2 f(1)

27、4, 5 f( 2) bc,求证： +0.a b b c ca审题视点充分运用已知条件及不等式性质进行求证.明 a b c,. c b.-a c a b 0,b 丄0.a b a cF(x, y) = mf(x, y) + ng(x, y)，用恒等变形求得 m, n,再利用1 0.1 1 1ab+匸a 0.又bc ，.岚 0.1c a1 a b m (1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件.同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式.【训练 4】若 ab0, cvdv 0, ev0,ee求证：22.(ac)(b d)证明 cv d v 0,一c d 0.又t ab0, a

28、 cb d0. (a c)2 (b d)2 0.a 0v12T2(a C)(b d)03KAQTI2HUANXIAHGTUP0 净考题专项突破难点突破15数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式， 涉及的知识点和问题求解的方 法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解 析几何、导数等知识，内容丰富多彩命题的方式主要是选择题、填空题，考查 不等式性质、函数性质的应用.、作差法【示例】？（2011陕西）设0vav b,则下列不等式中正确的是（）.A. av bv abva+ bB. av , abva+ bC.av.abv bva+ b2D. . ab

29、va+ b,av v b作差法，特值法作为选择题的数式大小比较采用特值法显然快 而滾只需比较与、ah , b与J 的大小作差法：-（応丫 = u（a 3 戸耳9II特值法【取n = 2tb= S可得*选B【示例】?若Ovxv 1, a0且a 1,则|loga(1 x)与|loga(1+ x)|的大小关系是()A |loga(1 x)| |loga(1 + x)|B. |loga(1 x)|v |loga(1 + x)|C. 不确定，由a的值决定D. 不确定，由x的值决定矽一采用作商法幌胃二計篷 恒等变式.得到1 I隔心(1 戏)i 1 - LogC1+j (l-：?) 1 | log/1-.r

30、) |i:I logd + .r) It 选 A匚本题也可以采用特值法，取口 = 2“ = 则:厶:1= 1 (1禺弓、中间量法【示例】？若 a = 20.6, b= log n3, c= logzsin# 则(A. abcB.b a cb c aC. cab分别与0或丄比较大小3= 206 2& = hJ 0 = log 1 = logn 3 log* n = 1*：e = iog2 sii)警 20(a 0)或 ax + bx+ cv 0(a 0).求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的

31、关系如下表：判别式= b2 4acA 0= 0Av 0二次函数y= ax2+bx+ c (a 0)的图象yLll-MjmTx一兀二次方程ax+ bx+ c= 0 (a 0)的根有两相异实根X1, x2(X1 0 (a 0)的解集 xlx x2 或 xV X1牛-gR2ax + bx+ cv 0 (a 0)的解集xlX1 V xV X2?=助療撤惮一个技巧一元二次不等式ax2 + bx+ cv 0.但工0)的解集的确定受a的符号、b24ac的符号 的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数 y =ax2+ bx+ c(吐0)的图象，数形结合求得不等式的解集:.若一元二次

32、不等式经2过不等式的同解变形后，化为一.ax. + bx+ c.0(或v0)(其中.a0).的形.式.，其对应.2 2的方程.ax. 土. bx+ c= 0 有两个不等实根.xi,x2,(xiv. x2)(此时b一4ac.0),则 可根据.“大于取两边，小于夹中间”求解集.两个防范二次项系数中含有参数时，参数.的符.号影.响不等式的解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况;.(2) 解含参数的一.元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类耍不重丕漏.双基自测1. (人教A版教材习题改编)不等式x2 3x+ 2v 0的解集为().A.

33、(, 2)U ( 1 ,+x)B. ( 2, 1)C. (, 1)U (2,+x )D. (1,2)解析 .(x 1)(x 2)v 0,/-1v xv 2.故原不等式的解集为(1,2).答案 D2. (2011广东)不等式2x2 x 10的解集是().1A. 2, 1B. (1,+)( nC. (, 1)U (2,+x )D. , 2 U (1,+x)解析 Tx2 x 1 = (x 1)(2x+ 1) 0,IKAOXIANGTAIMJIlJDAOXIi粽考向探究导桁02研析电向：実例夷破 x 1 或 XV 2故原不等式的解集为J 2 1,+).答案 DD. R3 .不等式9x2 + 6x+ K

34、 0的解集是().A. xX 3 F i rC/X|乔 xw 衣解析i9x2 + 6x+ 1 = (3x+ 1)2 0,2f r9x + 6x+ 1 w 0 的解集为 *x= 3 K 答案 B4. (2012许昌模拟)若不等式ax2 + bx 2v0的解集为1x| 2vxv4，则ab =().A. 28 B . 26C. 28 D . 26解析x= 2, 4是方程ax2 + bx 2= 0的两根,12,-b=- 4a=4, b= 7；ab= 28.答案 C5 .不等式ax2 + 2ax+ 1 0对一切x R恒成立，则实数a的取值范围为.解析当a= 0时，不等式为10恒成立；a 0,a 0,当a

35、 0时，须即 2工 0,4a 4aw 0.0v aw 1,综上 0w aw 1.答案0,1考向一 一元二次不等式的解法【例1】?已知函数f(x)Tx解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；确定判别式的符号；若0,则求出该不等式对应的二次方程的根，若 0,解析依题意知2 + 2x, x：0,.x2 + 2x, xv0,解不等式 f(x) + 2x x 0,x 2或 x： 1 , 解得1 v xv 3. 1 a2(a R)的解集.X：0；3 或,-X + 2x 3审题视点对x分x0、xv0进行讨论从而把f(x)3变成两个不等式组.xv2 3 解得：x 1. x + 2x 3, 故原不等式

36、的解集为x|x 1.审题视点先求方程12x2 ax= a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集解 / 12 ax a2 , 12x2 ax a2 0,即(4x+ a)(3x a) 0,令(4x+ a)(3x a)= 0,得:xia4,x?a3.a 0时,解集为 収|xv 乎或x3 ；a= 0 时，x20,解集为x|x R 且 x 0;av 0时,a a43解集为，x|xv 3或x a综上所述：当a0时，不等式的解集为lx|xv号或x3； 当a = 0时，不等式的解集为x|x R且xm0； 当av0时，不等式的解集为1x|xv或x 齐W胡宀解含参数的一元二次不等式的一般步骤:(1)二次项若含有参

37、数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式.(2) 判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.(3) 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系, 从而确定解集形式.【训练2】 解关于x的不等式(1 ax)2v 1.解 由(1 ax)2v 1,得 a2x2 2axv0, 即卩 ax(ax2)v0, 当 a = 0 时，x ?.当a0时,由 ax(ax 2)v0,得 a2x x | v0,2即 0vx0时，不等式解集为 叹Ovxva ,；当av0时，不等式解集为 伙彳vxv0 1 2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取 值范围.审题视点

38、化为标准形式ax2 + bx+ c0后分a= 0与a0讨论.当a0时，a 0,有 2= b 4acv 0.解 原不等式等价于(a+ 2)x2 + 4x+ a 1 0对一切实数恒成立，显然a= 2时, 解集不是R，因此a工一2，a+ 2 0，从而有2 ,彳c4 4(a+ 2a 1 戶 0，a 2，a 2，整理，得所以：/a 2a+ 3 0，kav 3 或 a 2，所以a2.故a的取值范围是(2,+).V不等式ax2 + bx+ c 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时,，广!a 0，2b = 0, c0;当a0时，S不等式ax + bx+ cv0的解是全体实数(或恒a 恒成立, 求a

39、的取值范围.解 法一 f(x) = (x a)2 + 2 a2,此二次函数图象的对称轴为 x= a.当a ( x, 1)时，f(x)在1,+)上单调递增，f(x)min = f( 1) = 2a+ 3要使 f(x) a 恒成立，只需f(x)mina,即 2a+ 3 a,解得30,即 4a2 4(2 a)w 0 或 av 1,g 1 0.解得3 w a w 1.所求a的取值范围是3,1.* KAQriZHUNXIAHGTUPO*03務 考题专项突破老躍屈乎宿歸第读规范解答12怎样求解含参数不等式的恒成立问题【问题研究】含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于新课标对导数应用的加强

40、，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起， 在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势对含有参数的不等式恒成立问题，破解的方法主要有：分离参数法和函数性质法【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题.【示例】？(本题满分14分)(2011浙江)设函数f(x) (x a)2ln x, a R.(1) 若x e为y f(x)的极值点，求实数a；(2) 求实数a的取值范围，使得对任意的x (0,3e,恒有f(x)w4e2成立.注：e为自然对数的底数.本题对于问的解答要注意对于结果的检验，因为f (xo) 0, x0不一定是极值点；对于(2)问的解答可以

41、采用分离参数求最值的方法进行突破，这样问题就转化为单边求最值，相对分类讨论求解要简单的多.2解答示范(1)求导得 f (x) = 2(x a)ln x+2X=(x a)(2ln x+ 1 ;). (2 分)入入因为x= e是f(x)的极值点，所以f (e)= (e a) 3？ = 0,解得a = e或a= 3e.经检验，符合题意，所以a = e或a= 3e.(4分)(5分)(2)当0v x 1时，对于任意的实数 a，恒有f(x) 0v 4e2成立.当 1vx 0,2e飞西=2ln 3e1加丿.(9a令 h(x) = 2ln x+ 1 ,贝U h(1) = 1 av0,xa且 h(3e) = 2ln(3e) + 1 歪2 In(3e) + 1 又h(x)在(0,+x)内单调递增，所以函数h(x)在(0, +)内有唯一零点，记此零 点为 X0,贝U 1 vX0 3e,1vX00;当 x (x0, a)时，f (x)v 0;当 x (a,+) 时，f (x)0即f(x)在(