闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、第十节第十节 闭区间上延续函数的性质闭区间上延续函数的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义: :. )()()()(,),( 000上上的的最最大大值值在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任意意如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间IxfxfxfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y) (或最小值或最小值) )()( (0 xfxf 或或, xy ,),(上上在在.

2、 , 无最小值无最小值无最大值无最大值定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上延续在闭区间上延续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaxf 有有使得使得则则上连续上连续在在若若留意留意:1.:1.假设区间是开区间假设区间是开区间, , 定理不一定成立定理不一定成立; ; 2. 2.假设区间内有延续点假设区间内有延续点, , 定理不一定理不一定成立定成立. .xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上

3、延续的函数一定在闭区间上延续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax Mxfm )(有有:得得由由最最大大值值与与最最小小值值定定理理,)(mMbaxf与与最最小小值值上上必必有有最最大大值值在在函函数数即即:,maxMmK 取取 )( , Kxfbax 有有则则.,)(上上有有界界在在函函数数baxf二、介值定理二、介值定理定义定义: :. )(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx 0)( f定理定理3零点定理零点定理假设函数假设函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上延续，上延续，且且异号异号与与)(

4、)(bfaf), 0)()( ( bfaf即即那么在开区间那么在开区间),(ba内至少有一点内至少有一点 使使ab3 2 1 几何解释几何解释:. , )( 轴至少有一个交点轴至少有一个交点曲线弧与曲线弧与则则轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个若连续曲线弧若连续曲线弧xxxfy 定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值上连续，且在这区间的端点取不同的函数值, ,即即: : BbfAaf )( )(及及 那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数 C，在开区间，在开区间 ba,内

5、至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 Cf )( ) (ba . . xyo)(xfy 几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 故由零点定理故由零点定理,得：得：),(ba 至至少少有有一一点点, 0)( 使使, 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 推论推论 在闭区间上延续的函数必能取到介于最在闭区间上延续的函数必能取到介于最大值大值 与最

6、小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一个个根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上连连续续在在则则xf, 01)0( f又又02)1( f由零点定理由零点定理,得得使使至至少少有有一一点点),1 , 0( , 0)( f01423 即即. )1 , 0(014 23 内内至至少少有有一一个个根根在在方方程程 xxMm例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上

7、连续在在则则baxFaafaF )()(而而0 由零点定理由零点定理,得得:使使至少有一点至少有一点),(ba , 0)( FbbfbF )()(0 0)( f即即 )( f即即课堂练习课堂练习. )()(,),()(),()(,)(),(. 1 gfbabgbfagafbaxgxf ）使使得得（试试证证：至至少少存存在在一一点点上上连连续续，又又在在设设函函数数（提提示示：用用反反证证法法）恒恒为为正正或或恒恒为为负负。上上则则在在上上连连续续，又又在在若若函函数数)(, 0)(,)(. 2xfbaxfbaxf 三、小结三、小结四个定理四个定理最值定理，有界性定理，零点定理，介值定理最值定理，有界性定理