2023-2024学年河南省淇县高级中学下学期高三年级期中考试数学试题试卷

2022-2023学年河南省淇县高级中学下学期高三年级期中考试数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定义，已知函数，，则函数的最小值为（）A． B． C． D．2．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（）A． B． C． D．3．已知函数，若曲线上始终存在两点，，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④5．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．46．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}7．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（）．A．1 B． C．2 D．38．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．9．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1 B． C．2 D．410．正项等差数列的前和为，已知，则=（）A．35 B．36 C．45 D．5411．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要12．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则___________．14．“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．15．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.16．若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求f(x)的单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.18．（12分）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）已知在处的切线与轴垂直，若方程有三个实数解、、（），求证：.19．（12分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.20．（12分）已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）在边长为的正方形，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，构成一个三棱锥.（1）判别与平面的位置关系，并给出证明；（2）求多面体的体积.22．（10分）已知抛物线：（）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.（1）求p的值；（2）设（）为抛物线上的动点，过P作圆的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得，，则,(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，故选：A.【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.2．B【解析】

把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．【详解】由题意，，或，，不妨取或，若，则函数为，四个选项都不合题意，若，则函数为，只有时，，即是对称轴．故选：B．【点睛】本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．3．D【解析】

根据中点在轴上，设出两点的坐标，，（）.对分成三类，利用则，列方程，化简后求得，利用导数求得的值域，由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知，两点的横坐标互为相反数，不妨设，，（），若，则，由，所以，即，方程无解；若，显然不满足；若，则，由，即，即，因为，所以函数在上递减，在上递增，故在处取得极小值也即是最小值，所以函数在上的值域为，故.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.4．B【解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；【详解】解：由题意可得，又∵和的图象都关于对称，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正确，②错误.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.5．C【解析】

将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．【详解】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故选C．【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．6．C【解析】

先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．【详解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．7．C【解析】试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，，渐近线方程为，求出交点，，，则；选C考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；8．D【解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法9．C【解析】

设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．10．C【解析】

由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.【详解】正项等差数列的前项和，，，解得或（舍），，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.11．B【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若，则可得，必要性成立.故选：B【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.12．C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．-2【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可．【详解】由题意得：目标函数在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1，∴，，∴直线AB的方程是：，∴则，故答案为.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题．14．【解析】

分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．【详解】第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为．故答案为：1．【点睛】本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．15．【解析】

根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；故其概率是故答案为：．【点睛】本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.16．4【解析】

由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为：4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.【详解】（1）函数，，由，得.所以的单调递增区间为.（2）因为且为锐角，所以.由及正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.18．（1）①当时，在单调递增,②当时，单调递增区间为,,单调递减区间为（2）证明见解析【解析】

（1）先求解导函数，然后对参数分类讨论，分析出每种情况下函数的单调性即可；（2）根据条件先求解出的值，然后构造函数分析出之间的关系，再构造函数分析出之间的关系，由此证明出.【详解】（1），①当时，恒成立，则在单调递增②当时，令得，解得，又，∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.（2）依题意得，，则由（1）得，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增∴若方程有三个实数解，则法一：双偏移法设，则∴在上单调递增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上单调递减，∴，即设，∴在上单调递增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上单调递增，∴，即∴.法二：直接证明法∵，，在上单调递增，∴要证，即证设，则∴在上单调递减，在上单调递增∴，∴，即（注意：若没有证明，扣3分）关于的证明：（1）且时，（需要证明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，则∴【点睛】本题考查函数与倒导数的综合应用，难度较难.（1）对于含参函数单调性的分析，可通过分析参数的临界值，由此分类讨论函数单调性；（2）利用导数证明不等式常用方法：构造函数，利用新函数的单调性确定函数的最值，从而达到证明不等式的目的.19．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.设研究在处左正右负，求导，分，，三种情况讨论求解.【详解】（1）因为，所以，令，则，所以是的增函数，故，即.因为所以，①当时，，所以函数在上单调递增.若，则若，则所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意，②当时，所以函数在上单调递减.若，则若，则所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意.③当时，，使得，即，但当时，即所以函数在上单调递减，所以，即函数)在上单调递减，不符合题意综上所述，的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.20．（1），（2）【解析】

（1），所，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由，整理得，得到，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，，即可求得数列的前项和.【详解】（1）